高中数学人教A版选修2-1测评3-1-4空间向量的正交分解及其坐标表示

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课后篇巩固提升1.设向量a,b,c不共面,则下列可作为空间的一个基底的是()A.{a+b,ba,a} B.{a+b,ba,b}C.{a+b,ba,c} D.{a+b+c,a+b,c}解析由已知及向量共面定理,易得a+b,ba,c不共面,故可作为空间的一个基底.答案C2.已知向量{a,b,c}是空间的一个单位正交基底,向量{a+b,ab,c}是空间的另一个基底,若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(3,2,1),则它在{a+b,ab,c}下的坐标为()A.12,5C.52,1解析设向量p在基底{a+b,ab,c}下的坐标为(x,y,z),则p=3a+2b+c=x(a+b)+y(ab)+zc=(x+y)a+(xy)b+zc,所以x+y=3,x-y=2,z=1,解得x=52,y答案C3.在四面体OABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为()A.14,1C.13,1解析如图所示,连接AG1交BC于点E,则E为BC中点,AE=12(AB+AC)=12因为OG=3GG1=3(OG1-OG),则OG=34O答案A4.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a在基底{AB,AD,AA1}下的坐标为(2,1,3).若分别以DA,DC,DD1的方向为xA.(2,1,3) B.(1,2,3)C.(1,8,9) D.(1,8,9)解析a=2AB+AD3AA1=2DC-DA3DD1=8j答案D5.在正方体ABCDA1B1C1D1中,设AB=a,AD=b,AA1=c,A1C1与B1D1的交点为E,则BE=解析如图,BE==AA1+12(AD-AB)答案12a+12b6.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间任一点,设OA=a,OB=b,OC=c,则向量OD用a,b,c表示为.

答案12a12b7.下列关于空间向量的说法中,正确的有.

①若向量a,b与空间任意向量都不能构成基底,则a∥b;②若非零向量a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则有a∥c;③若{OA,OB,OC}是空间的一个基底,且OD=13OA+13④若向量{a+b,b+c,c+a}是空间的一个基底,则{a,b,c}也是空间的一个基底.解析对于①,若向量a,b与空间任意向量都不能构成基底,则a,b为共线向量,即a∥b,故①正确;对于②,若非零向量a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则a与c不一定共线,故②错误;对于③,若{OA,OB,OC}是空间的一个基底,且OD=13OA+1可得到A,B,C,D四点共面,故③正确;对于④,若向量{a+b,b+c,c+a}是空间的一个基底,则空间任意一个向量d,存在唯一实数组(x,y,z),使得d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c,由x,y,z的唯一性,得x+z,x+y,y+z也是唯一的.故{a,b,c}也是空间的一个基底,故④正确.答案①③④8.如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,MA=13AC,ND=13A1D,设AB=a,AD=b,AA1解连接AN,则MN=由已知可得四边形ABCD是平行四边形,从而可得AC=AB+AD=MA=13AC=13(a又A1D=AD故AN=AD+DN=AD-ND=AD-13A1D=b13(bc),所以MN=MA+AN=139.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,如图所示,设DA=e1,AB=e2,AP=e3,以{e1,e2,e3}为单位正交基