2.4.2圆的一般方程教案-高二上学期数学人教A版2019选择性

2.4.2圆的一般方程课标解读1.理解圆的一般方程及其特点.2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．学情分析

1.对于圆的标准方程有了初步的认识，并且会用待定系数法和几何法求圆的标准方程2.通过配方将圆的一般方程化为标准方程易出现错误；不太会求圆的轨迹方程重难点重点：掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题温故导新：温故圆的标准方程的形式及待定系数法求圆的标准方程的步骤。前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式．请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题．用笔思考：探究1圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，能否化为二元二次方程的一般形式？探究2方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中的D，E，F满足什么条件时，这个方程表示圆？探究3根据教材p86例4，总结待定系数法求圆的一般方程的步骤？探究4轨迹与轨迹方程有什么区别与联系？提示轨迹是指点在运动过程中形成的图形，是几何问题；轨迹方程是指点的坐标所满足的关系式是代数问题，依赖坐标系的建立.有时候可以将二者一一对应起来，如(x－1)2＋(y－2)2＝4这个轨迹方程表示以(1，2)为圆心，以2为半径的圆.主动讲解讨论D，E，F对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0所代表的图形的影响？讨论教材P87例5有哪些方法可以求轨迹方程双师导学：知识梳理一1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆注意点：(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项．(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.3.几个常见圆的一般方程(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0),(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E24F>0);(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D24F>0);(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．(1)求实数m的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径．解(1)由表示圆的充要条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，解得m<eq\f(1,5)，即实数m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))).(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝eq\r(1－5m).知识梳理二待定系数法求圆的一般方程的步骤(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组.(3)解此方程组，求出D，E，F的值.(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.训练2已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程.解设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).∵圆经过点(4，2)和(－2，－6)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4D＋2E＋F＋20＝0，①,2D＋6E－F－40＝0.②))设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故x1＋x2＝－D.设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故y1＋y2＝－E.由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.知识梳理三常见求轨迹的方法角度1定义法求轨迹方程例3若线段AB的端点分别在x轴、y轴上运动，且|AB|＝4，求线段AB中点M的轨迹方程.解由题意，设原点为O(0，0)，则|OM|＝eq\f(1,2)|AB|＝2，由圆的定义，M在以O(0，0)为圆心，2为半径的圆上，即x2＋y2＝4，即为M的轨迹方程.角度2直接法求轨迹方程例4已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1，2)的弦的中点P的轨迹方程.解法一设点P的坐标为(x，y).当AP垂直于x轴，即点P的坐标为(1，0)时符合题意；当AP垂直于y轴，即点P的坐标为(0，2)时，符合题意；当点P与点A或点O重合，即点P的坐标为(1，2)或(0，0)时，符合题意；当x≠0，且x≠1时，根据题意可知AP⊥OP，即kAP·kOP＝－1，∵kAP＝eq\f(y－2,x－1)，kOP＝eq\f(y,x)，∴eq\f(y－2,x－1)·eq\f(y,x)＝－1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋(y－1)2＝eq\f(5,4)(x≠0，且x≠1).经检验，点(1，0)，(1，2)，(0，0)，(0，2)也适合上式.即中点P的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋(y－1)2＝eq\f(5,4).法二设点P的坐标为(x，y)，则A，P重合或OP⊥AP，总有eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝0，即(x－1，y－2)·(x，y)＝0，x(x－1)＋y(y－2)＝0，即x2＋y2－x－2y＝0，亦即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋(y－1)2＝eq\f(5,4).角度3代入法(相关点法)求轨迹方程例5已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.解以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2＋x,2)＝x0，,\f(0＋y,2)＝y0.))①∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋yeq\o\al(2,0)＝9.②将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).思维升华求轨迹方程的三种常用方法1．直接法求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)；(2)列出点M满足条件的集合；(3)用坐标表示上述条件，列出方程；(4)将上述方程化简；(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．2．代入法求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标