预习03讲平面向量的数乘运算2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019）原卷版

2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册）预习03讲平面向量的数乘运算（精讲+精练）①平面向量数乘的定义及相关运算②平面向量的线性运算③平面向量共线的判定及应用一、向量的数乘（1）向量数乘的定义一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：①②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.（2）向量数乘的几何意义对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍．（3）向量数乘的运算律实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则：①结合律：②第一分配律：③第二分配律：二、向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有.三、向量共线定理（1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.（2）向量共线定理的注意问题：①定理的运用过程中要特别注意．特别地，若，实数仍存在，但不唯一．②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系．③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可．题型一：题型一：数乘运算的定义及其几何意义策略方法②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.【题型精练】一、单选题1．已知平面内的两个非零向量，满足，则与（

）A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反2．化简为（

）A． B．C． D．3．已知，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C．且 D．以上说法都不对4．下列计算正确的个数是（）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．35．下列说法中正确的是（）A．与的方向不是相同就是相反 B．若共线，则C．若，则 D．若，则6．已知点在线段上，且，若向量，则（

）A．2 B． C． D．二、多选题7．若都是非零向量，且，则（

）A．方向相同 B．方向相反 C． D．8．如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（

）A． B．C． D．9．[多选]向量，则下列说法正确的是（）A． B．向量方向相反C． D．三、填空题10．化简：．11．若，则.12．已知，若记，则．题型二：题型二：平面向量的线性运算策略方法向量线性运算的基本方法(1)类比法:向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作向量的系数.(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.【题型精练】一、单选题1．已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（

）A． B．C． D．2．在中，，则（

）A． B． C． D．3．在梯形ABCD中，，，则（

）A．5 B．6 C．－5 D．－64．在梯形中，是中点，，设，则（

）A． B． C． D．5．如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（

）A． B．C． D．二、多选题6．如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．7．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题8．设四边形中，且，则这个四边形是．9．如图，在中，向量，且，则.10．若点M是所在平面内一点，且满足：．则与的面积之比为．题型三：题型三：平面向量共线的判定及应用策略方法(1)证明或判断三点共线的方法①一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得AB→=λAC→(或BC→②利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点⇔存在实数x,y,使OA→=xOB→+y(2)利用向量共线求参数的方法已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.【题型精练】一、单选题1．设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则的值等于（

）A． B． C． D．2．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（）A． B． C． D．3．设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为（

）A．－8 B．8 C．6 D．－6二、多选题4．下列命题正确的的有（

）A．B．C．若，则共线D．，则共线5．（多选）已知，则下列结论正确的是（

）A．A，B，C，D四点共线 B．C，B，D三点共线C． D．三、填空题6．设与是两个不共线向量，且向量与共线，则.7．已知，是两个不共线的向量，向量，共线，则实数t的值为.四、解答题8．在平行四边形中，是的中点，在对角线上，且，求证：共线9．判断三点是否共线.(1)已知两个