高中数学人教版教案《充要条件》

第一章集合与常用逻辑用语

.2充要条件

教学设计

一、教学目标

1.理解充要条件的意义；

2.会判断充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件.

二、教学重难点

1.教学重点

对充分、必要、充要条件的判断与证明.

2.教学难点

对充分、必要、充要条件的判断与证明，并根据不同条件求参数的值或范围.

三、教学过程

(-)新课导入

在上节课的时候我们学习了命题的充分条件和必要条件，那我们在学习充要条件之前先

复习一下上节课所学的内容.“如果p可以推出4,那p是什么条件，又是什么条件?”老师

引导学生回答.接下来我们在看书中的思考，其中提到了逆命题，那我们先来回想一下，什么

是逆命题，老师引导学生发言，并总结(命题“若p,则的逆命题为“若q,则p").

同学们要记住，将命题“若P，则，’中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若4,

则P"，称这个命题为原命题的逆命题.

(二)探索新知

思考

下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？

(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；

(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；

(3)若一元二次方程加+法+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0；

(4)若AU8是空集，则A与8均是空集.

先引导学生回答出四个逆命题分别是什么，在判断真假.

(1)若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等；

(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；

(3)若ac<0,则一元二次方程a^+bx+c=O有两个不相等的实数根；

(4)若A与8均是空集，则AUB是空集.

不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题：命题(2)是真命题，但它

的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.

探究一：充要条件

1.定义：如果“若p,则夕”和它的逆命题“若q,则p"均是真命题，此时既有〃=",又

有9=〃，就记作〃=•此时P既是4的充分条件，也是4的必要条件，我们就

说/，是如与q互为充要条件.

2.p与q互为充要条件时，也称“p等价于“q当且仅当p”等.

3.根据充要条件的定义可知，若原命题“若p,则及其逆命题“若“，则p"都是真命题，

则〃与4互为充要条件.

例3下列各题中，哪些。是q的充要条件？

(l)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；

(2)p：两个三角形相似，依两个三角形三边成比例；

(3)p：xy>0,<7：x>0,y>0；

(4)p：x=l是一元二次方程加+bx+c=O的一个根，<7：a+b+c=O(aHO).

解：(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形(也可能是菱形)，所以

q/P，所以?不是g的充要条件.

(2)因为“若p,则是相似三角形的性质定理，“若必则p”是相似三角形的判定定

理，所以它们均为真命题，即poq,所以p是q的充要条件.

(3)因为xy>0时，x>0,y>0不一定成立(因为孙>0时，也可能x<0,y<0),所以p/q,

所以p不是q的充要条件.

(4)因为“若p,则与''若q,则p”均为真命题，即poq,所以p是q的充要条件.

小结：在命题中“若p,则中，如何判断p与q互为充要条件？

只要判断出〃=外且4=〃，即p=“即可，其实质都是判断命题“若p,则

与它的逆命题的真假，若都为真，则p与g互为充要条件.

探究二：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？

(1)两组对边分别平行；

(2)两组对角分别相等；

(3)两组对边分别相等；

(4)一组对边平行且相等；

(5)对角线互相平分.

上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平

行四边形的其他定义形式.例如：两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；对角线互相平

分的四边形叫做平行四边形.

类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给出“三角形全等”的其他定义形

式(SSS、SAS、AAS、ASA、HL),而且这些定义是相互等价的；同样，利用“两个三角形

相似”的充要条件，可以给出“相似三角形”其他定义形式，这些定义也是相互等价的；等

等.

例4已知：。。的半径为r,圆心。到直线/的距离为d求证：d=z•是直线/与。。相切的充

要条件.

分析：设p：d=r,q：直线/与。。相切.要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性

(〃=g)和必要性Qq=p)即可.

证明：设p：d=r,q：直线/与。。相切.

(1)充分性(p=q)：如图，作0P，/于点P,则。尸=d.若(\

(

d=r,则点尸在。。上.在直线/上任取一点Q(异于点尸)，连接'J

。。.在RfAOP。中，。。＞。尸=/•.所以，除点尸外直线/上的点都

图1.4-2

在。。的外部，即直线/与。0仅有一个公共点P,所以直线/

与。0相切.

(2)必要性(q=p)：若直线/与。。相切，不妨设切点为P,则0P，/.因此，d=OP=r.

由(1)(2)可得，d=/•是直线/与。。相切的充要条件.

规律总结：

1.设原命题为“若p,则则逆命题为''若q,则p"，得p与q的关系有以下四种情形:

原命题逆命题P与4的关系结论

p是q的充分不必要条件；

真假p=q,但夕Np

q是p的必要不充分条件

p是q的必要不充分条件；

假真q=p，但〃Rg

q是p的充分不必耍条件

png且p，

真真p与q互为充要条件

即poq

p是q的既不充分也不必要条件；

假假〃Kq且qN〃

q是p的既不充分也不必要条件

充分、必要、充要条件都具有传递性，具体如下：

⑴若p=>q，q=s，则有〃=s，即p是s的充分条件；

(2)若夕="，s=q,则有s=〃，即p是s的必要条件；

(3)若p=qos，则有〃os，即〃是6的充要条件.

(三)课堂练习

1.下列各题中，哪些?是g的充要条件？

(Dp：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；

(2)p：。。内两条弦相等，q：。。内两条弦所对的圆周角相等；

(3)p-ACB为空集，q：A与B之一为空集.

解：(1)pOq，所以p是q的充要条件；

(2)。。内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，pKq,所以p不是q

的充要条件；

(3)取4={1,2},8={3},显然，A08=0,但A与8均不为空集，因此〃R乡，所以

p不是q的充要条件；

2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.

解：“两个三角形全等”的充要条件如下：

①三边对应相等；②两边及其夹角对应相等；③两角及其夹边对应相等；④两角及一角的对

边对应相等.

“两个三角形相似”的充要条件如下：

①三个内角对应相等（或两个内角对应相等）；

②三边对应成比例；③两边对应成比例且夹角相等.

3.证明：如图，梯形ABC。为等腰梯形的充要条件为4C=BD

证明：（1）必要性:

在等腰梯形ABC。中，

AB=CD,NABC=/DCB,

又,：BC=CB,.".△BAC^ACZ)B(SAS),

：.AC=BD.

(2)充分性：