2023年山东省昌乐一中数学高二年级下册期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数/(x)=e'lnx在χ=l处的切线方程是0

A.y=e(x-l)B.y=ex-∖C.y=2e(x-l)D.y=x-e

2.在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假

币的概率是()

332

A.—B.—C.—D.以上都不正确

353817

3.已知sin(α+♦)=',则COS(2α一二)的值是

633

5817

A.-B.——C.一一D.一一

9939

(

4.已知函数外幻是定义在R上的奇函数，当r＞。时，=2,_3,则=)

A.-1B.1C._2D.2

5.设集合U={0,l,2,3,4,5},A={2,3,4},6={3,4,5}则ACuB=()

A.{2}B.{0,l}C.{0,l,2,3,4}D.{0,1,3,4,5)

6.已知(x-3)展开式中常数项为1120,实数”是常数，则展开式中各项系数的和是

A.28B.38C.1或38D.1或28

7.(χ4+4+2χ)的展开式中含“5项的系数为()

A.160B.210C.120D.252

1ʌ

8.与曲线V=-Y相切于P(Ge)处的切线方程是(其中。是自然对数的底)()

e

A.y-ex-2B.y=2x-eC.y=2x+eD.y=ex+2

9.若复数(〃?-万)2所表示的点在第一象限，则实数0的取值范围是()

A.(―∞,—2)U(2,÷∞)B.(—2,2)C.(—00,—2)D.(-2,0)

10.已知函数/(x)=∕-α(x-l)2-(2α+l)x在(1,2)上单调,则实数”的取值范围为()

∙2-l)

11.设集合A={l,2,3},3={2,3,4},则AB=

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,3,4}

12.若函数/(X)=依-Inx在区间(l,+∞)上单调递增，则实数人的取值范围是()

A.(-∞,-2]B.(―∞,-1]C.[2,+∞)D.[l,+∞)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/(无)=2Sin(S—3x)的最小正周期为-

14.已知直线/的极坐标方程为QSine=2,。为极点，点A在直线/上，线段Q4上的点8满足IOAHo@=8,则

点B的轨迹的极坐标方程为.

JT

15.将函数/(x)=2sin(2x-7)的图象向左平移。(0>0)个单位，若所得到图象关于原点对称，则。的最小值为

Trl

16.若sin(α+-)=-，则sin2α=.

43

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图在直三棱柱ABC-ABlG中，AB=BC=BBI,。为AC中点.

(I)求证：B£>_L平面AACG∙

(∏)若AB=1,且AC∙AD=1,求二面角B-AQ-与的余弦值.

18.(12分)某企业有4、8两个岗位招聘大学毕业生，其中第一天收到这两个岗位投简历的大学生人数如下表:

A岗位8岗位总计

女生12820

男生245680

总计3664100

(1)根据以上数据判断是有97.5%的把握认为招聘的A、B两个岗位与性别有关？

(2)从投简历的女生中随机抽取两人，记其中投3岗位的人数为X,求X的分布列和数学期望.

n(ad-bc)"

参考公式：K2=其中〃=α+A+c+d.

(α+ZJ)(C+d)(α+C)("+d)

参考数据:

P(K*k°)0.0500.0250.010

ZO3.8415.0246.635

19.(12分)如图，设AABC的三个内角A、B、C对应的三条边分别为，且角A、B、C成等差数列,

线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点.

(1)若aBCD的面积为,求线段CD的长;

(2)若，求角A的值.

20.(12分)已知函数/(x+l)=x-l.

(I)求函数f(x)的解析式；

(∏)求函数y=∣∕(χ)∣的单调区间.

21.(12分)已知集合M={0,l,2},函数y=/(X)的定义域为。={1,2,3,4},值域为A∙

(1)若A=M,求不同的函数y=∕(x)的个数;

(2)若AqM,

(i)求不同的函数y=f(χ)的个数；

(ii)若满足AI)+/(2)+/(3)+/(4)=4,求不同的函数y=/(x)的个数.

22.(10分)为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了31人，从女生中随机抽取了51人参加环保知识测试,

统计数据如下表所示：

优秀非优秀总计

男生412131

女生213151

总计3151Ill

(1)试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；

(2)为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛，已知在环保测

试中优秀的同学通过预选赛的概率为二，若随机变量二表示这3人中通过预选赛的人数，求二的分布列与数学期望.

附:二.==

1-

P(K2≥k)1.5111.4111.Ill1.Ill1.Ill

k1.4551.7182.7133.33511.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

求导函数，切点切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程.

【详解】

求曲线X导函数，可得∕τ(X)=exlnx+-

X

：.f(1)=e,

V∕(l)=0,；.切点(1,0).

，函数/(x)=6加X在点(1,f(D)处的切线方程是：y-0=eCx-1),

即y=e(X-I)

故选：A.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基本知识的考查.

2、A

【解析】

设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，

则所求的概率即P(A∣B).

又P(AB)=P(A)=与,P(B)=C,

田由公公式式P((AIlB))=P(B)=-《--+-&--£--[=-6--+-4-x——16=-35.

本题选择A选项.

点睛：条件概率的求解方法：

n(AB)

⑴利用定义，求P(A)和P(45),则P(BIA)=告黑.

MA)

(2)借助古典概型概率公式，先求事件4包含的基本事件数〃(A),再求事件4与事件B的交事件中包含

n(AB]

的基本事件数〃(4或，得P(8∣A)二告U.

n(A]

3、D

【解析】

Sinla+斗，=l-2sin√α+^=2χ

cosI2aH—=Cos2a+—

I6；3I3I69

【解析】

先求出，二，再利用奇函数的性质得0_2可得出答案。

【详解】

由题意可得，「②=由于函数=*"是定义在N上的奇函数，

因此，f]_?：；.=一=J故选：ʌ-

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性求值，解题时要注意结合自变量选择解析式求解，另外就是灵活利用奇偶性，考查计算能

力，属于基础题。

5,C

【解析】

先求品再求4CUB

【详解】

GB={0,1,2}

.∙.A∪QB={0,l,2,3,4},

故选C.

【点睛】

本题考查了集合的并集和补集，属于简单题型.

6、C

【解析】

分析：由展开式通项公式根据常数项求得4,再令X=I可得各项系数和.

详解：展开式通项为4+I=GX8f(-g)'=(-α)'C>82,令8一2r=0,则厂=4,=112(),α=±2,

X

所以展开式中各项系数和为(l-a)8=l或38.

故选C.

n

点睛：赋值法在求二项展开式中系数和方面有重要的作用，设展开式为/(x)=%+qx+%χ2++anx,如求所有

项的系数和可令变量x=l,即系数为/(D,而奇数项的系数和为∙"D+∕(T),偶数项系数为1(1):/(一1),还可

22

以通过赋值法证明一些组合恒等式.

7、D

【解析】

先化简f√+ɪ+2J,

再由二项式通项&I=C屋一%。可得/项的系数.

Vx-JX

【详解】

(1λ5(1∖1°(1Y

2203r

√+-y+2%=X+-,∙∙∙Tr+i=q0(√)'L=q0x^,当r=5时，7；=Cjod=252/.故选D.

∖XJ∖Xj∖χj

【点睛】

本题考查二项式展开式中指定项的系数，解题关键是先化简再根据通项公式求系数.

8、B

【解析】

求出导函数，把x=e代入导函数，可求出切线的斜率，根据P的坐标和直线的点斜式方程可得切线方程.

【详解】

]2

由y=一T2可得y=一%,

ee

2

切线斜率％=VILe=-XILe=2,

e

故切线方程是y-e=2(x-e),即y=2x-e.故选B.

【点睛】

本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于简单题.求曲线切线方程的一般步骤是：(1)求出y=/(x)在X=XO处

的导数，即y=∕(χ)在点P(X0，/(Xo))出的切线斜率(当曲线y=∕(χ)在P处的切线与)'轴平行时，在处导数不存

在，切线方程为X=X0)；(2)由点斜式求得切线方程y(X)・(χ-χ°).

9、C

【解析】

利用复数代数形式的乘法运算化简复数(机-2i)2,再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可.

【详解】

(〃2-2i)2=(小—4)_4加表示的点在第一象限，

2

m-4>0

√.<-4m>O,解得〃z<-2.

••・实数团的取值范围是(F,-2).故选C

【点睛】

本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题.解题时一定要注意『=T和

/、/X/\/、a+hi(a+bι∖(c-di}

(α+Z√)(c+日)=(αc-M)+(αd+历)i以及.=(c+由",「山)运算的准确性，否则很容易出现错误.

10>D

【解析】

求得导数r(x)=e'-*一1,根据/(x)在(1,2)上单调，得出r(x)20或r(x)≤0在(1,2)上恒成立，分离参数

构造新函数，利用导数求得新函数的单调性与最值，即可求解。

【详解】

由题意，函数/(x)=e'-a(x—l)2-(24+l)x,则/'(X)=e*—2初—1,

因为/(x)=eA—a(x—if—(2α+l)x,在(1,2)上单调，

所以①当/'(x)≥0在(1,2)上恒成立时，/(x)在(1,2)上单调递增,

x1

即，一2方一120在(1,2)上恒成立，贝e—在(1,2)上恒成立,

2x

令MX)=纪二1,X∈(l,2),则"(X)=交吐/2>0,/心)在(1,2)为增函数,

2x4x

a≤/?(1)=~~•

②当∕,(x)≤0在(1,2)上恒成立时，/(x)在(1,2)上单调递减,

即e`-20r-1≤0在(1,2)上恒成立，则ɑ≥≤≤在(1,2)上恒成立,

2x

同①可得α≥M2)=^U

综上，可得α≤e—k1或。之/£~-I1

24

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数单调性、最值问题，用到了分离参数法求参数的范围，恒成立问题的处理及转化与

化归思想是本题的灵魂，着重考查了推理与运算能力，属于偏难题.

11、A

【解析】

由题意AB={1,2,3,4},故选A.

点睛:集合的基本运算的关注点：

(1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.

(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决.

(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.

12、D

【解析】

试题分析：Fj=hLV函数/(X)="一InX在区间(1,+8)单调递增，.∙.f,χ∣“在区间(1,+8)上恒成

X

立.二£2二，而I=二在区间(L+8)上单调递减，.∙.上21∙.∙∙k的取值范围是［l,+s).故选D.

XX

考点：利用导数研究函数的单调性.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、—

3

【解析】

直接利用三角函数的周期公式求出函数的最小正周期.

【详解】

r∑7lr∑7t

由题得函数的最小正周期TF=-r.

rɔlɔ

故答案为日

【点睛】

本题主要考查正弦型函数的最小正周期的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

14、p=4sin^(∕?>0)

【解析】

设B的极坐标为(P,8)(。>0),A的极坐标为(8,。)S/()),将点A的坐标代入直线/上得出qsine=2,由

8

IQ4卜|。8|=8,得0W=8,得q=一,代入月Sine=2后化简看得出答案。

【详解】

设3的极坐标为(。，6)(∕>0),A的极坐标为(PJθ'){pl>0).

所以IoBI=夕，ICM=Q,且月Sine=2.

9

由∣α⅛∙Q用=8得p∙∙ʌ=8,即夕=4Sine(Q>0).故答案为：。=4Sine(Q>0)。

Sing

【点睛】

本题考查动点的极坐标方程，考查相关点法求动点的轨迹方程，解本题的关键在于弄清楚主动点与从动点两点之间极

径与极角之间的关系，并用这种相互关系进行替换，考查推理能力，属于中等题。

15、ɪ

12

【解析】

分析：先根据图像平移得解析式，再根据图像性质求0关系式，解得最小值.

详解：因为函数/(X)=2sin[2x~^]的图象向左平移Φ(Φ>0)个单位得g(x)=2sin(2(%+。)—7)，所以

2。一色=Jbr(ZeZ):.</>=—+—(keZ)

6122

TT

因为。>0,所以备II=运

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练

掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母X而言.

16,--

9

【解析】

利用二倍角公式直接计算得到答案.

【详解】

sin2α=-COS(2a+?=2sin2]α+.1-Iɪ-ɪ.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)见解析(Il)X叵

5

【解析】

试题分析：

(I)连结EO,由题意可证得BClE。，从而得D为AC中点，所以BDLAC,又由题意得得所以

得AALBO.(也可通过面面垂直证线面垂直)(II)由题意可得AB,BC,Bd两两垂直，建立空间直角坐标系，

求得平面44。和平面AIBD的法向量分别为m=(0,2,1),n=(-1,1,1),由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦

值.

试题解析：

(I)证明：连结E。，

∙.∙平面AS。c平面A8。=。，B1C平面480,

.∙.S1CED,

E为ABl中点，

。为AC中点，

∙.∙AB=BC,

.∙.BDlAC®,

法一：由AA，平面AgC,BDU平面ABC,

得AA_LBO,②，

由①②及AACAC=A,

所以平面AACG.

法二：由AAL平面ABC,AAU平面AACeI,

平面AiACCl_L平面ABC,

又平面A1ACC1C平面ABC=AC,

所以BO，平面AACG∙

(II)解:由A5=1,得BC=BBl=1,

由(D知DA=LAC,又AC∙∩4=1,得4。2=2，

2

AC2=2=AB2+BC2,

.∙.ABlBC,

ABBC,BA两两垂直，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-孙z,

则4(1,0,1),B1(0,0,1),叫，可，

得4A=(1,0,0),BQ=11,

设m=(x,y,z)是平面的一个法向量,

，〃由4=χ=o(X=o

由｛11,得｛C

m∙B↑D=-x+—y-z=01y=2z

、22

令z=l,得〃7=(0,2,1),

设〃=(α,戾C)为平面48。的一个法向量，

CCabc(

n∙BD=—+—=0a=-c

由〈22,得L.

oλ八D=C

n.BA1=Q+c=0

令c=l,得〃=(一1,1,1),

n∙m3Vt5

.*.CoSrI,m=]~~——r=-7=—产=-----

∣n∣∙∣w∣√5∙√35

根据题意知二面角B-AtD-Bi为锐二面角,

所以二面角B-AtD-Bi的余弦值为叵.

5

点睛：向量法求二面角大小的两种方法

（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，解题时要注

意结合实际图形判断所求二面角为锐角还是钝角.

（2）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角

的大小.

18、（1）有97.5%的把握认为招聘的A、8两个岗位与性别有关.（2）见解析.

【解析】

分析：（1）根据所给公式直接计算求解作答即可；（2）先分析此分布为超几何分布，然后确定X的取值可能，根据超

几分布求解概率写分布列即可.

详解：

⑴K2-100(12x56-24x8)2

=6.25>5.024,

36×64×80×20

故有97.5%的把握认为招聘的A、3两个岗位与性别有关.

（2）X的可能取值为0,1,2,

P(X=O)=m=H，P(X=I)=警=£，p(χ=2)=f~=3∙

:∙X的分布列为

X012

334814

P

959595

4

EX

5

点睛：考查独立性检验和离散型随机变量分分布列，属于基础题.

19、（1）咨（2W

【解析】

试题分析:

(1)由题三角形ABC的三个内角A,B,C成等差数列，结合内角和为不，可以列出方程组4,所以可以

2B=A÷C

求出角8=工，又已知α=3C=2,且三角形BCD的面积为"，根据三角形面积公式可有立=」8D∙BC∙sinB,

3332

2

可以求出B。=—,在三角形BCD中，可以应用余弦定理求出CD边的长度；

3

(2)在三角形BCD中，应用正弦定理：/2=———,所以可以求出SinNBDC=1,于是得到NBOC=90,

sinBsinZBDC

所以BO_LC£>,则NΛDC=90,且DE为线段AC的垂直平分线，所以DA=DC,即三角形ADC为等腰直角三角形，所

以可以求出A角的值。本题考查解利用正、余弦定理解三角形，要求学生掌握定理的基本应用。能够灵活的运用定理

解决实际问题。

试题解析：

(1)V角A,B,C成等差数列，，.∙.

又∙.*∙ΔBCD的面积为，，；.，二

在4BCD中，由余弦定理可得

(2)由题意，在aBCD中，，即，

ʌ,贝U,即

又DE为AC的垂直平分线，故

考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.解三角形。

20、(I)∕(%)=x-2;(II)单调递增区间是[2,+8),单调递减区间是(一8,2].

【解析】

_2^ζ,>2

分析：(1)换元法x=t—1,/(r)=∙-2,进而得到表达式；(2)y=∣∕(x)∣=一"一结合图像得到单调区

间.

详解：

(I)令x+l=r,.∙.x=f-l,.∙.∕(r)=r-2,

即函数解析式为∙∙∙∕(x)=x-2.

ɪ_2ɪ>2

(∏)由(I)知y=∣∕(χ)∣=∣x-2∣=,一，结合函数的图像得至∣J,

2-X,X≤2

函数y=|/(χ)∣的单调递增区间是[2,物)，

函数y=∣∕(χ)∣的单调递减区间是(—∞,2].

点睛：这个题目考查了函数的解析式的求法，求函数解析式一定注意函数的定义域；常见方法有：换元法，构造方程

组法，配方法等；考查了绝对值函数的性质，一般先去掉绝对值，结合图像研究函数性质

21、(1)36；(2)(i)81；(ii)19

【解析】

(1)当定义域有4个元素，值域有3个元素，把4个元素分成2,1,1的三组，再对应值域里的3个元素，有

(2)(i)分值域有1个元素，2个元素，3个元素，讨论函数个数；(ii)满足条件的有0,0,2,2或0,1,1,2

或1,1,1,1三类，分三类求满足条件的函数个数.

【详解】

(1)函数的定义域是{1,2,3,4},值域是{0,1,2}

定义域里有2个数对