2023-2024学年河北省承德市双滦区高二年级下册开学摸底数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年河北省承德市双滦区高二下册开学摸底数学

模拟试题

一、单选题

1.已知直线4经过A（-3,4）,3（-8,-1）两点，直线的倾斜角为135,那么4与4

A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直

【正确答案】A

根据两点求出直线4的斜率，根据倾斜角求出直线4的斜率；可知斜率乘积为-I,从而得到

垂直关系.

【详解】直线4经过A（-3,4）,3（-8,-1）两点直线4的斜率：Zr,=4j⅛=1

—3+8

直线4的倾斜角为135直线《的斜率：玲=tan135=7

ICT∙k­2=—ɪ∙,∙∕∣JLL

本题正确选项：A

本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜

率，根据斜率关系求得位置关系.

2.己知直线/经过点（1,-2）,（3,0）,则直线/的倾斜角为（）

π0πC2π〜3π

A.-B.-C.--D.—

4334

【正确答案】A

【分析】求出直线的斜率，即可求出倾斜角；

【详解】解：设直线/的倾斜角为9（6e［。,万）），贝IJtane=与早=L所以

故选：A.

3.经过A（0,0）,3（4,0）,C（T,1）,0（4,2）中三个点的圆的方程不可以是（）

A.(x-2y+(y-3)2=13B.(X-2)2+(J-1)2=13

8丫,八，169

D.

【正确答案】B

【分析】将点代入各方程判断是否满足圆的方程，即可得答案.

【详解】A：4(0,0),8(4,0)4(—1,1)在圆(》-2)2+。-3)2=13上，排除;

B：A(0,0),B(4,0)都不在圆(χ-2)2+(y-l)2=13上，符合要求；

C：4(0,0)。-1,1),0(4,2)在圆［4］+卜_£］若上，排除;

D：8(4,0),C(TI),0(4,2)在圆(Xqj+⑶一Ip=翳上，排除

故选：B

4.焦点坐标为(0,-4),(0,4),且长半轴a=6的椭圆方程为

ʌX2y2口χ2y2

36202036

C.—+^-=1D.—+^-=1

36161636

【正确答案】B

【分析】根据题意可知c=4,α=6,即可由^=∕-c2求出/，再根据焦点位置得出椭圆方

程.

【详解】因为c=4,α=6,所以从=/—¢2=20,而焦点在＞轴上，所以椭圆方程为

---1-----1.

2036

故选：B.

5.在正方体A8CO-A4GR中，E,F,G,”分别为A8,CC1,ADl,Gq的中点,

下列结论中，错误的是()

A.AβlAClB.8尸〃平面4QRA

C.BFLDGD.AtE∕/CH

【正确答案】A

【分析】建立直角坐标系，根据向量与线面关系即可判断.

【详解】如图，以。为坐标原点，DA为X轴，OC为y轴，QG为Z轴建立空间直角坐标系,

设正方体棱长为2,

A(2,0⑵，£(2,1,0),A(2,0,0),C,(0,2,2)

AE=((M,—2),ΛCl=(-2,2,2),因为AE∙AC∣κO,所以AE与AG不垂直，A错误；

因为平面8CG4〃平面ADRA，且8尸U平面8CG4,所以BF〃平面AQRA，B正确；

β(2,2,0),F(0,2,1),O(0,0,0),G(l,0,2)

BF=(-2,0,1),OG=(1,0,2),因为BFQG=O,所以C正确；

C(0,2,0),"(0,1,2),C"=(0,-1,2),CH=-AiE,所以A1E∕∕CH,D正确.

故选：A.

6.直线3x+4y=0与圆f+y2-2χ-2y+l=0相切，则人=

A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12

【正确答案】D

E⅛*∣-⅛∣

【详解】∙.∙直线3x+∙b=5与圆心为(1,1),半径为1的圆相切，.∙.J蜉匕Wf=I=>5=2

或12,故选D.

本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的

距离公式的应用.

7.如果双曲线经过点P(6,√J),渐近线方程为y=±4,则此双曲线方程为

2)

χ2V2

A.B.—-^-=1

91183

/Z-Dɪ2y2-1

C.1

819369

【正确答案】A

【分析】根据渐近线方程,设出双曲线的标准方程,代入点P坐标,得到答案.

【详解】渐近线方程为y=±半设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),双曲线经过点P(6,G),代入

双曲线方程得到:义=1,所以双曲线方程为<-V=l

答案为A

本题考查了利用渐近线求双曲线方程的知识，渐近线方程为y=±2χ时,设双曲线方程为

a

v-22

⅛-4v=Λ(λ≠0),代入计算较为简单.

a^Zr

8.在四棱锥S-ABC”中，底面ABCO是直角梯形，且NA3C=9θo,SA_L平面ABCO,

S4=Aβ=BC=2AD=l,则SC与平面ABCD所成角的余弦值为()

A.1B.IC.昱D.近

3232

【正确答案】A

【分析】根据四棱锥S-ABCD的线面关系建立空间直角坐标系，利用空间向量计算SC与平

面ABC。所成角的正弦值，再结合平方公式即可得SC与平面ABC。所成角的余弦值.

【详解】解：因为SA_L平面ABCO,AO,ABU平面ABCr),所以SAj.AD,弘，A3,

又底面ABa)是直角梯形，且3C=2AT>=1,∠L45C=90o,所以Nfi4D=90。，即AL>1ΛB,

如图，以A为原点，AaAB,4S分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

由S4=AB=3C=2AD=1,可得A(O,(),O),S(O,O,1),C(1』,O),所以SC=(IJT),

因为SA_L平面ABCD,所以AS=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量

AS∙SC_T_

所以CoS(AS,SC)=

∣AS∣∙∣SC∣-1×√3^3

即直线SC与平面A8C。所成角的正弦值为迫，

3

则SC与平面ABCo所成角的余弦值为ʌʃiɪɪ=当

故选：A.

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.过点P（l,2）且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0

B.直线y=3x-2在），轴上的截距为一2

C.直线氐+y+l=0的倾斜角为60°

D.过点（-1,2）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y=0

【正确答案】BD

【分析】A选项忽略了过原点的情况，错误，B选项计算截距得到正确，直线斜率为人=-g

时，倾斜角为120。，C错误，根据垂直关系计算直线方程得到D正确，得到答案.

【详解】过点尸（1,2）且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0和y=2x,A错误；

取X=O,y=-2,则直线y=3x-2在y轴上的截距为—2,B正确；

直线√iv+y+l=O的斜率为Z=-G，倾斜角为120。，C错误；

垂直于直线x-2y+3=0的直线方程斜率为女=一2,过点（-1,2）的直线方程为

y--2（x+l）+2--2x,即2x+y=0,D正确.

故选：BD.

10.如图所示，在平行六面体4B8-AB∣G。中，点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC

的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是（）

A.A∖M3QD∖PB.ΛlM⅜∕∕⅜Bιe

C.AM♦//平面。CC.D.AM♦//平面APQ与

【正确答案】ACD

【分析】根据题意可证明AM/"。，由此可判断A、C、D选项；根据AM与平AD。A交,

平面8CG8∣//平面BCC再可知AxM与BIQ互不平行，由此可判断B选项.

【详解】连接MP,因为Λ1,P别为棱A3,CO中点，所以MP//A。且〃P=AO因为

ABCD-AScQl为平行六面，所以A。//AA且AD=40,所以MP=AR且MP∕∕Λ,2,故

MAAP为平行四边形，AiM//PD1,故A正确；

因为RPU平面。CGA,AME平面DCCQ,所以AM〃平面QCCa；同理AM〃平面

DiPQBt,故C、D正确

因为A"与平A。。A交，且平面BCC百〃平面8CC内，所以AM与平BCCg交，又因为

BaU平BCC再交,所以AM与5Q互不平行.故B错误

故选：ACD

11.已知抛物线的方程为V=IOx,下列结论正确的是()

A.该抛物线的焦点在X轴上

B.该抛物线的准线方程为X=-5

C.该抛物线上横坐标为1的点到其焦点的距离等于6

D.由原点向过该抛物线的焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)

【正确答案】AD

【分析】根据抛物线定义即可判断A、B、C选项；利用反证法找出符合D选项的直线，根

据直线存在与否即可判断D选项.

【详解】根据抛物线定义可知，抛物线丁=IOx的焦点坐标为(|.0),在X轴上,准线方程为

X=-∣,A正确,B错误；

根据抛物线定义可知,在抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，抛物线上横坐标

为1的点到准线的距离为3.5,故抛物线上横坐标为1的点到其焦点的距离等于3∙5,C错误;

假设存在过该抛物线的焦点的某直线，过原点作垂直于这条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).

此时垂线斜率为/=i,则过焦点的直线斜率为％'=-2,该直线方程应该为y=-2x+5,此

直线存在，假设成立，D正确.

故选：AD

12.在平面直角坐标系XOy中，圆C的方程为（x-4f+（y-b）2=4,其中/+^=4,点P

为圆C的圆心，则下列说法正确的是（）

A.原点。在圆C上

B.直线χ+y=0与圆C有公共点

C.圆C与圆V+y2=]6相内切

D.直线y=x与圆C相交于A,B两点,若APjL3尸，则a=0,b=±2

【正确答案】ABC

【分析】圆C是动圆，半径为2,其圆心在以原点为圆心，半径为2的圆周上，

根据以上性质，再根据每个选项的几何意义，不难判断每个选项的正确性.

【详解】对于A,由。（0,0）的坐标满足圆C的方程，故A正确；

对于B,由原点O既在圆C上，也在直线χ+y=0上，可得直线χ+y=0与圆C有公共点，

故B正确；

对于C，由J∕+Z>ι=4-2=2,可知圆C与圆V+y2=i6相内切，故C正确；

对于D,若则三角形ABP为等腰直角三角形，可得圆P到直线V=X的距离为近，

有簪S

√2

.[a2+h2=4[a=±2[^=0

有lIi=2,联立方程IT=2'解得Ib=O或几±2,故D错误;

故选：ABC.

三、填空题

13.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在X轴上，且抛物线上有一点P（4,〃?）到焦点的距离

为6.则抛物线C的方程为.

【正确答案】V=8χ

【分析】设出抛物线方程，根据定义求出p,即可写出抛物线的方程.

【详解】由题意可设抛物线方程为y2=2px.

其准线方程为X=-],根据定义可得4+=6,解得p=4,

所以抛物线C的方程为y2=8x.

故y2=Sx

14.圆/+/一左一4yTl=0关于点P(-2,l)对称的圆的方程是.

【正确答案】(x+5y+V=16

先将圆χ2+y2-lr-4y-11=0,化为标准方程得到圆心，再求圆心关于点P(-2,l)的对称

点，即为所求的圆的圆心.

【详解】圆χ2+y2-2r-4y-Il=0,化为标准方程：(x—iy+(y-2)2=16,

设关于点P(-2,1)对称的圆的圆心为(。力),

丝1=一2

2a=-5

则Jr，解得

。+2.b=0

------=1

2

所以圆χ2+∕-2x-4y-ll=0关于点尸(-2,1)对称的圆的方程是:

(X+5)2+∕=16,

⅛(Λ+5)2+∕=16

本题主要考查圆与圆的对称问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

15.如图，在四棱锥P-ABC。中，已知底面ABa)是矩形，AB=2,AD=a,PO_L平面

ABCD,若边AB上存在点使得PΛ∕LCΛ∕,则实数。的取值范围是.

【正确答案】0<a≤l

【分析】利用直线与平面垂直的判定和性质将问题转化为以。C为直径的圆与A3有交点可

得答案.

【详解】连接DM,如图:

因为PD_L平面ABCD,所以Po_LCM。

又PMLCM,且如CPM=P,

所以CM_L平面PDW,所以CM_LD”，

所以以。C为直径的圆与AB有交点，

所以0<a≤l.

故O<4≤l

本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，属于基础题.

f22v2

16.如图所示，已知双曲线下-分=l(4>0)和椭圆κ+9=lS,>0)有共同的右焦点F,

4b；9b；

记曲线C为双曲线的右支和椭圆围成的曲线，若M,N分别在曲线建中的双曲线和椭圆上,

【分析】根据双曲线和椭圆定义，表示出一MN尸周长与NK、M耳的关系，根据三角形性质

・两边之差小于第三边得出当M,N,好三点共线时周长最小的结论，即可求出答案.

【详解】设双曲线和椭圆共同的左焦点为《，根据双曲线和椭圆定义可知M耳-MF=4,

得；MN尸周长为：

CMNF=MN+MF+NF

=MN+MFt-4+6-NFl

=2+MN-(NFl-MFt)

根据三角形性质可知，当M,N,G三点共线时NK-MK取最大值，此时JWNF周长最小,

当M,N,Fl三点共线时N耳-MK=MN,MNF最小周长为

Cmnf=2+MN-(NF1-MFl)=2+MN-MN=2

故2

四、解答题

17.已知点知-2,1),8(2,3),C(-l,-3).

(1)求过点A且与8C平行的直线方程；

(2)求过点A且与8C垂直的直线方程；

(3)若BC中点为£),求过点A与。的直线方程.

【正确答案】(l)2x-y+5=0

⑵x+2y=0

⑶2x+5y-l=O

【分析】(1)求出BC的斜率，利用点斜式求直线即可；

(2)求出与BC垂直的直线的斜率，利用点斜式求解即可；

(3)利用中点公式求解中点坐标，再确定两点斜率利用点斜式求解即可.

【详解】⑴W:-：k=--=l,

BC-1—2

•••过点A且与BC平行的直线方程为y-l=2(x+2),即2x-y+5=0;

(2)解：过点A且与BC垂直的直线的斜率为-；，

所以所求直线方程为y-l=-g(x+2),即x+2y=O；

(3)解：BC中点Γ^r=一^,

-Z—

2

•••过点力与O的直线方程y=-∣(x-g),即2x+5y—1=0.

18.已知圆G：χ2+y2-2χ=0和圆G=χ2+y2-6x-4y+4=0相交于A,8两点.

(1)求公共弦AB的垂直平分线方程.

(2)求△ABG的面积.

【正确答案】(1)y=x-l;(2)2√2∙

【分析】(1)线段AB的垂直平分线恰为直线。。2,利用点斜式即可写出其方程.

(2)先求公共弦4B所在的直线方程，再求出C?到直线AB的距离，即可求公共弦Ag的长,

结合三角形的面积公式解答.

【详解】解：(1)由题可知：公共弦AB的垂直平分线为直线C，2，

C,(1,0),C2(3,2),

・•・所求直线GG的方程为：y=χ-i;

(2)又两圆方程相减得4x+4y-4=0,即x+y-l=O,此即为直线A8的方程，

G到直线A8的距离〃=竽U=2√5,即d=2√L

r+1~

又圆c?的半径r=3,∙∙.∣A8∣=2jT=/=2，

∙∙∙S.Allq=;ABd=；乂2*2近=26•

即：S晔=2及.

19.已知椭圆C：1+*=l(α>6>0)的左、右焦点分别为耳，F2,离心率为正，过点用

a-b-5

的直线4与椭圆C交于A,B两点，且ABK的周长为4石，求椭圆C的标准方程;

【正确答案】—+^=1

54

【分析】根据椭圆的定义及离心率列方程求解即可得椭圆的标准方程.

【详解】解：由题意可得£=或，AB耳的周长为

a5

∣AB∣+IMl+∣%∣=∣A6∣+忸闾+1前∣+∣MI=4α=4g,

所以Q=逐，则C=1,又〃2=一,2=5一］=4,

所以椭圆C的标准方程为片+戈=1.

54

20.如图，在正方体ABeo-ABCA中，E为BBl的中点.

（Il）求直线AA与平面APE所成角的正弦值.

【正确答案】（I）证明见解析；（II）I.

【分析】（I）证明出四边形ABG。为平行四边形，可得出然后利用线面平行的

判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；

（II）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立

空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.

【详解】（I）［方法一］:几何法

如下图所示：

在正方体ABS-A4G4中，A8〃A用且4B=A1B∣,AA〃GR且Aq=GA，

，AB〃G。且AB=GR,所以，四边形43GR为平行四边形，则BCJ/AR,

BGa平面AAE,ARU平面AAEBG〃平面AAE；

［方法二］：空间向量坐标法

以点A为坐标原点，AD.AB、AA所在直线分别为X、y、Z轴建立如下图所示的空间直

角坐标系A-孙Z,

设正方体ABCo-AgGA的棱长为2,则A(0,0,0)∖A(0,0,2)、4(2,0,2)、E(0,2,l),

AD1=(2,0,2),AE=(0,2,1),

n∙AD.=02x+2Z=O

设平面4。E的法向量为"=(χ,y,z),由，1,得

n-AE=O2y+z=0

令z=-2,贝!]x=2,y=∖,贝∣J〃=(2,1,-2).

又：向量BG=(2,0,2),BC「〃=2x2+0xl+2x(-2)=0,

又.BaN平面AQE,.∙.BG〃平面AAE；

(H)［方法一］：几何法

延长CG到尸，使得GF=BE,连接EF,交片G于G,

又∙.∙C∣F”8E,.∙.四边形BEFCl为平行四边形，.∙.8CJ/EF,

又,：BC1//ADi,:.Aq//E尸,所以平面ARE即平面AAFE,

连接D1G,作GH1,垂足为H,连接FH,

VFC11平面AlBiCiD,,D1GU平面AIBGDI,：.FCi1D1G,

又,：fC∣C£H=G,.∙.直线RG_L平面GF”，

又,/直线DlGU平面DGF,.∙.平面RGF1平面C1FH,

G在平面D1GF中的射影在直线FH上,.I直线FH为直线FG在平面AG尸中的射影,

ZC1FH为直线FC1与平面DGF所成的角，

根据直线FGM直线AA,可知NGFH为直线AA1与平面AD1G所成的角.

2×12

设正方体的棱长为2,则CG=CF=I,DQ=布c∣H=/=格,

3

..FH=

∙F

CH2

：.SinZCFH=i

lFH~3

即直线AAI与平面A"E所成角的正弦值为右

接续（I）的向量方法，求得平面平面4。f的法向量〃=（2,1,-2）,

一”∙AA,42

XVM=（0,0,2）,Λ∞s<〃，">=啊=一Q=-3，

二直线AA与平面AQE所成角的正弦值为:.

［方法三］：几何法+体积法

如图，设BC的中点为F,延长AE,。尸，易证三线交于一点P.

因为BB444］,E尸〃40,

所以直线AA1与平面4RE所成的角,即直线BIE与平面P所所成的角.

设正方体的棱长为2,在！P£F中，易得PE=PF=布,EF=6,

3

可得S际=子

ɪ31ɪ

由V淞徘4-尸杯二丫三麻P邓尸，得耳'5出"=§、5乂1'1'2,

整理得4"=5.

所以SinNBIEH=*=：.

D1LLJ

ɔ

所以直线AA与平面所成角的正弦值为:.

［方法四］:纯体积法

设正方体的棱长为2,点4到平面AER的距离为力,

在aAER中，AE=√5,AD,=2√2,D1E=3,

*2+A6-g9+5-8_6

cosZAED=

x2D∖E∙AE^2×3×√5^5

所以sinZAEDl=~~9易得SAEDI=ɜ.

114

由VjAR=匕…⑷，得§SARA∙Ag=gS…•〃，解得〃=“

.八〃2

设直线AAl与平面AER所成的角为火所以而夕二宜=三.

/l/lɪJ

【整体点评】(I)的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算

进行证明；

(II)第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学

生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算

论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；

方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论

证，不失为一种优美的方法.

21.双曲线£-4=1(。＞o,匕＞0)的一条渐近线方程为)，=且X,过焦点且垂直于y轴的

ab~3

弦长为6.

(1)求双曲线方程；

(2)过双曲线的下焦点作倾角为45的直线交曲线于M、N,求MN的长.

【正确答案】(I)V-L=I

3

(2)6

【分析】(1)利用双曲线的一条渐近线方程为y=4x,过焦点且垂直于V轴的弦长为6,建立

方程,即可求双曲线方程；

(2)设直线方程y=x-2,联立方程,由韦达定理及弦长公式即可求MN的长.

【详解】(1)因为双曲线W∙-E=l的一条渐近线方程为y=3X,所以q=立，

ab3b3

双曲线的上焦点为F(O,C),在4-£=1中令y=c得x=±Q,所以竺=6,

ab~aa

∙*∙a=1力=λ∕3,

.∙.双曲线方程为y2-a=i;

(2)过双曲线的下焦点(0,-2)且倾角为45。的直线斜率为Z=I,直线方程为y=x-2,

代入双曲线方程V-5=I可得2∕-12X+9=0,∆=122-4×2×9>0.

设Mα,