天津市武清区河西务中学2023-2024学年高二年级上册第二次统练数学试题及答案

天津市武清区河西务中学2023-2024学年高二上学期第二次

统练数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线依x+y+2=0的倾斜角为()

A.150°B.120°C.60°D.30°

2.圆心为(-1,1),半径为2的圆的方程为()

A.(x+l)2+(y-l)2=4B.(x+l)2+(y+l)2=2

C.(x-l)2+(y+l)2=4D.(x+l)2+(j-l)2=2

3.已知直线x+2y+3=0与直线2x+:改+1=0平行，则它们之间的距离为()

A.好B.710C.童D.

222

4.已知抛物线V=4y上一点A的纵坐标为4,则点A到抛物线焦点的距离为

A.2B.3C.4D.5

5.已知点4(2,-3),川-3,-2),直线/：〃觊+y-〃2-1=0与线段48相交，则直线/的斜

率上的取值范围是()

3.313

A.k>—^k<-4B.-4<k<—C.k<——D.——<k<4

4454

22

6.已知双曲线二一二=1的一个焦点在直线x+2y=5上，则双曲线的渐近线方程为()

a29

A.J=?-xB.y=+-xC.y=±^^xD.y=±空^

4334

7.在正四面体ABC。中，E是。的中点，厂是AE的中点，若AB=a,AC=6，AD=c，

则BF=()

B."一

44

171

C.~ClH—bH—cD.-a-b+—c

4444

8.已知圆G：/+y2=4和圆+-的公共弦长为2,贝IJ实数。的

值为（）

A.BB.6C.正D.72

32

9.设椭圆的两个焦点分别为月、工，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点尸，若△白尸鸟

为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）

A.受B.克匚C.V2-1D.应

22

10.已知点A（2,l）在圆C：/+/一2了+冲+2=0的夕卜部，贝|实数能的取值范围为（）

A.（-3,-2）（2,+oo）B.（-2,2）_（3,+co）

C.（-2,+oo）D.（-3,+co）

11.已知圆。的方程为（x-3）2+（y-4）2=1,过直线/：3%+4y-5=0上任意一点作圆。的

切线，则切线长的最小值为（）

A.4B.岳D.5

2

12.已知抛物线需无2=丁的焦点厂与双曲线r

—=1(。＞0,b>0）的一个焦点重

a2

合，且点尸到双曲线的渐近线的距离为4,则双曲线的方程为（

2222c*"22

A.工-乙=1B.土-2=1D,工-J

9161641916

13.已知过点尸（2,2）的直线与圆（工-1）2+,2=5相切，且与直线以—>+1=。平行，则〃二

（）

A.2B.1C.—D.—

22

22

14.已知双曲线2=1（。>0力>0）的左顶点与抛物线丁=2pM〃>0）的焦点的距离为

ab

3,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为则双曲线的标准方程

为（

y2T2)2

A.B.—-1

~22T

x2

C.—y2=1D.-y2=1

4T

22

15.已知双曲线「：二一［=1（a>0,b>0）的右焦点为尸9,0）（c>0）,M是双曲

ab

试卷第2页，共4页

线的左支上的一点，线段血尸与圆3:+/=幺相切于点。，且I"用=4|。尸|,

64

则双曲线r的渐近线方程为()

A.2x±y=0B.2x±3y=0C.2x±ly=0D.4x±7y=0

二、填空题

16.已知空间向量。=(3,0,1),i=(-2,1,W),c=(l,2,3)且(a-c"=2,则"值为.

17.已知直线(：4x+(a+2)y+4=0,和直线乙：(a-l)x+y+1=。平行，贝！Ia的值

是.

18.经过点4(3,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为.

19.抛物线y=-8/的焦点坐标为.

20.己知圆G：Y+/+2x-8y+8=0,若圆C?与圆C1关于直线y=-x+2对称，则圆C?

方程.

21.已知直线1经过点P(—4,-3),且被圆(x+l)2+(y+2)2=25截得的弦长为8,则

直线1的方程是.

三、解答题

22.如图，已知81垂直于梯形A3CD所在的平面，矩形&LDE的对角线交于点尸，G为

兀1

S3的中点，NABC=NBAD=-,SA=AB=BC=-AD=2.

22

⑴求证：平面AEG；

⑵求平面SCD与平面ESD夹角的余弦值；

(3)在线段EG上是否存在一点H,使得9与平面SCD所成角的大小为：?若存在，求

0

出G”的长；若不存在，说明理由.

23.已知圆C过点A(1,2),B(2,1),且圆心C在直线y=-x上.P是圆C外的点,

过点尸的直线/交圆C于M,N两点.

⑴求圆C的方程；

⑵若点尸的坐标为(0,-3),探究：无论/的位置如何变化，IPMbIPN是否恒为定值？若

是，求出该定值：若不是，请说明理由.

22

24.已知椭圆C:\+2=l(a>b>0)的一个焦点与抛物线丁=4.乂的焦点相同，Fx,F2

ab

为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上任意一点，△西入面积的最大值为2.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设不过原点的直线：>=去+，〃与椭圆C交于A、8两点，直线与8弱的斜率分别

为尤、k2,且左+自=0,求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】先求出直线斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求得结果.

【详解】直线底+3y+2=0的斜率为-岑，设直线的倾斜角为

贝Utanc=-3,0°<«<180°,所以1=150°.

3

故选：A.

2.A

【分析】利用圆的标准方程进行判断即可.

【详解】因为圆的圆心为(-M),半径为2,

所以圆的方程为(％+咪+(卜1)2=4.

故选：A.

3.A

【解析】利用两直线平行求出加的值，再利用两平行线间的距离公式即可求解.

【详解】因为直线化+2y+3=0与直线2%+加y+l=O平行，

1?

所以7=—,可得m=4,

2m

所以2%+4y+l=0,BPx+2y+—=0,

所以两平行间距离公式可得，」|3-12|.r

717F2

故选：A

4.D

【详解】试题分析：抛物线尤2=4y焦点在》轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1),准线

方程为>=T,因为点A的纵坐标为4,所以点A到抛物线准线的距离为4+1=5,因为抛

物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.

考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考

查学生的运算求解能力.

点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简

化运算.

5.A

答案第1页，共11页

【详解】m(x-l)+(j-l)=O,所以直线/过定点尸(1,1),

3

所以kPA=~4>

直线在m到R4之间，

所以或“4故选A.

4

6.A

【解析】首先由条件求得c=5,再求最后根据双曲线的渐近线方程，直接求解.

【详解】由条件可知双曲线的焦点在x轴，并且直线x+2y=5中，当y=0时，％=5,所以c=5,

那么1+9=25,解得：a2=16,且加=9,

h3

所以双曲线的渐近线方程是y=±-x=±|x.

a4

故选：A

7.C

【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.

【详解】由题意得，

BF=BA+AF=-AB+-AE=-AB+-x-(AD+Ac}=-AB+-AC+-AD=-a+-b+-c.

222、'4444

故选：C.

8.A

【解析】本题首先可以确定圆G和圆c2的圆心与半径，然后求出圆C1和圆c?的公共弦方程,

2

最后通过公共弦长为2得出22-I2=,通过计算即可得出结果.

【详解】圆&：心+丫?一的圆心G(0,0),半径4=2,

圆C2:x?+y2+2ay-6=0即尤②+(y+a)2=6+。2,圆心。2(°，一。)，半径4=J6+/,

圆C1和圆C2的公共弦方程为尤2+/一(尤2+/+2皎-6)=4,即>=!，

答案第2页，共11页

圆心G（0,0）至Uy=：的距离为:，

因为公共弦长为2,所以22-12=管一，解得°=走或一走（舍去），

穆33

故选：A.

【点睛】关键点点睛：相交的两圆的公共弦方程是两圆方程进行相减即可，求出两个圆的圆

心和半径以及圆心到公共弦的距离，利用两个圆的公共弦长以及勾股定理即可求出。的值.

9.C

【分析】利用等腰直角三角形的性质得到△片尸工三条边的长度关于c的表达式，再利用椭

圆的定义求得见。的关系式，进而得到离心率.

【详解】依题意，设椭圆的长轴为九,半焦距为J

则上留=2c,则忸阊=2c,附|=2岳，

于是2a=归团+|尸局=2岳+2c,

2c=e-1.

a2a20c+2c

故选：c.

10.A

f(-2)2+m2-8>0

【分析】由题意可得解不等式组可得答案

[22+l2-2x2+m+2>0

【详解】由题意，得归二u＞。

解得一3〈根＜一2,或m＞2.

故选：A.

11.B

【分析】利用点到直线的距离结合直线与圆的位置关系转化问题计算即可.

答案第3页，共11页

如图所示，直线上一点A作圆的两条切线相＞、AE,过C作3C，/,

则切线长为|AO|=|AE|=VAC2-I2,

20

显然|4。2怛。，当且仅当48重合时取得最小值，此时忸。=不下=4=体。，

所以切线长最小值为岳.

故选：B

12.D

【解析】由抛物线去f=y,求得尸(0,5),得到c=5,再由焦点尸(0,5)到渐近线的距离为4,

求得6=4,进而得到4=后下=9,即可求得双曲线的标准方程，得到答案.

【详解】由题意，抛物线卷/=＞可化为V=20y,可得焦点坐标为“0,5),

22

即双曲线2-鼻=1的焦点坐标为尸(0,5),即c=5,

ab

又由双曲线W■-；=1的一条渐近线的方程为y=:不即6-力=0，

abb

的5b

所以焦点尸(。,5)到ax-by=0的距离为=4,

y]a2+(-/7)2c

所以Z?=4,又由[=Jc1—b1=^52—42=9,

22

所以双曲线的方程为二-七=1.

916

故选：D.

【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中

熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属

于基础题.

13.C

答案第4页，共11页

【分析】先根据垂直关系设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列式解得结果.

【详解】因为切线与直线以-，+1=0平行，所以切线方程可设为依-丫+m=0

因为切线过点尸(2,2),所以2a-2+加=0二加=2-2。

0+2—2。|GA2A1n1

因为与圆(x-l)~?+y2=5相切，所以---/。=05/.4<7"+4<7+1=0,

Va+12

故选：C

14.B

【分析】确定抛物线焦点为(1,0)，且。=)，根据距离得到。=2,得到双曲线方程.

【详解】双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为

故抛物线的准线方程为了=-1,即抛物线焦点为。,0),

A

渐近线方程y=过则。=)，

双曲线的左顶点与抛物线焦点距离是3,则左顶点为(-2,0),即a=2.

22

故双曲线方程为工-匕=1.

44

故选：B.

15.D

【分析】利用双曲线的定义得到归户|=4|3/I,再利用线线平行、直线圆相切以及勾股定理

得到关于“、b、。的方程组即可求解.

【详解】设双曲线的左焦点为F(如图所示)，

又由|MF|=4|DF|,可知

有尸以LMF,pWF[=4x《=2，\MF\=2A+1,

o22

答案第5页，共11页

i(iAh4

在RtAMFk中，4c2=-b2+\2a+-b\,得一二一,

4I2)a7

4

故双曲线「的渐近线方程为y=±-x.

故选:D.

16.-4

【分析】利用向量的坐标运算及向量数量积的坐标表示即求.

【详解】由题意，空间向量2=(3,0,1)石=(-2,1,“)1=(1,2,3),

可得。­=（3,0,1）-（1,2,3）=（2,-2,-2）,

所以（°_<?>6=_4_2_2〃=2,解得”=一4.

故答案为：—4-

17.-3

【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求得。的值.

【详解】一直线4：4x+(a+2)y+4=0,和直线/2：(a—1)了+,+1=0平行,

1r-,4Q+24

「.awl,且—-――--工—，

Q—III

则。=-3

故答案为：-3.

【分析】根据等轴双曲线的标准方程求解即可.

2222

【详解】解：设双曲线的方程为三-多=±l(a>0),把点A(3,l)代入［-与=1,得"=8;

aaaa

/丫？91Y?d

把点A(3,l)代入=-5=-1,得乌一3=T，无解♦故所求方程为土-匕=1.

a2a2a2a288

22

故答案为：土-匕=1.

88

19.|^0,-^/(0,-0.03125)

【分析】写出抛物线标准形式，即可得焦点坐标.

【详解】由题设得：/=一卜，则焦点坐标为

故答案为：1°厂,)

答案第6页，共11页

20.(x+2)2+(y-3)2=9

【分析】先利用配方法求得圆C1的圆心与半径，根据直线的对称性求得圆圆心，从而

得解.

［详解］圆G：x2+y2+2x-8y+8=0可化为(彳+吁+仃-叶=9,

则其圆心G(-1,4),半径r=3,

设圆Q的圆心为C2(x,y),

因为圆C?与圆G关于直线y=-尤+2对称,

d-i+zy=1—xx=-2

所以,,整理得<,解得

y=x+5y=3

Zzl=i

、X+1

所以圆C得方程为：(x+2)2+(y-3)2=9.

故答案为：(x+2y+(y-3)2=9

21.x+4=0和4x+3y+25=0

【详解】由已知条件知圆心(-1,—2),半径r=5,弦长机=8.

设弦心距是d,则由勾股定理得解得d=3.若/的斜率不存在，则直线/的方程为无

=-4,圆心到直线的距离是3,符合题意.若/的斜率存在，设为k,则直线/的方程为＞+3=依尤+4),

即区一＞+饮一3=0,则/='r―'=3,即升2—6%+1=9r+9,解得左=一小则直线/的方程

为4x+3y+25=0.所以直线I的方程是x+4=0和4x+3y+25=0.

22.(1)证明见解析

⑵当

6

(3)3亚

【分析】(1)连接尸G,则由三角形中位线定理可得FG〃即，然后利用线面平行的判定定

理可证得结论；

(2)由题意可得&SALAD,AB±AD,所以以AB,AD，AS为正交基底建立如

图所示的空间直角坐标系A-N,利用空间向量求解；

答案第7页，共11页

(3)假设存在点设G"=XGE=(—Z4/L,%)，利用空间向量求解即可.

【详解】(1)连接FG,因为四边形&WE为矩形，所以歹为SD的中点，

在"SBD中，F、G分别为SD,S3的中点，所以FG//BD,

又因为FGu平面A£G,3£>cz平面AEG,所以平面AEG.

(2)因为SA_L平面ABC。，AB,ADu平面A5CD,所以5A_LAB,SALAD,

rr

又/BAD=—,所以钙，位),

2

以AB,AD>AS为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-邙

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),S(0,0,2),E(0,4,2),G(l,0,l),

则①=(-2,2,0),SC=(2,2,-2),

JYI.CD——2x+2y—0

设平面SCD的一个法向量为机=(%,y,z),贝叫，

m-SC=2x+2y-2z=0

令x=l,得y=l,z=2,所以平面SCD的一个法向量为m=(1,1,2),

易知平面ESD(即平面APES)的一个法向量为几二(1,0,0),

所以平面SCD与平面ESD所成角的余弦值为好.

(3)由(2)得GE=(-1,4,1),=(-1,0,1),

假设存在点设G"=XGE=(-44X,X),

贝lj3"=3G+G"=3G+/IGE=(-1—X,4%1+几),

由(2)知，平面SCO的一个法向量为根=(1,1,2),

答案第8页，共11页

因为BH与平面SCD所成角的大小为TIT,

6

.7iI/\|m-BH卜1—/1+4/1+2+2丸|

所以sm—6=cos(m,BH)\=——；----1=122----------------------------

।'H|喇^162+2(l+2)xVl+1+42

|52+1|

所以即("1)2=0,所以％=i,则G"=(-L4,1),

V6x718A2+4/l+22

故存在满足题意的点H,此时|GH|=J1+16+1=30.

23.(l)x2+y2=5

(2)4

【分析】（1）由设圆的标准方程，由待定系数法将A,8代入方程，即可求解，

（2）联立直线与圆的方程，由根与系数的关系以及忸“3尸N|=PM-/W即可求解.

【详解】（1）由于圆心在》=一%故设圆的方程为（*一。）2+（、+。）2=/，将A（1,2）,B

(l-a『+(2+a)2=，a=0

（2,1）代入可得，

(2-a)2+(l+a)2=r2牛守r-=5,

所以圆的方程为：%2+/=5

（2）当直线Ux轴时，|/W|x|PN|=（3-6）（3+岔）=4,

当直线/有斜率时，设其方程为：y=kx-3,

+2=5

联立直线与圆的方程,消元得（公+1）尤2-6履+4=0,

Iy=KJC—J

设〃（%,凶）川（々,%）,则%%=7^7，A=20左2—16>0,