数学-2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编16套之4

2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编(四)

1.(2023•广东•高三校联考阶段练习)若函数/a)=V+3x+l+keJ恰有两个零点，则实数上的取值范围为()

A.^-1,0B.(e2,+co)C.[0,e2)uD.1一应一•|)u{0}

【答案】C

【解析】由题意知方程f+3%+1+数=0即三士曰=左有两个不同的解，

e

即y=f2一"T与k女有两个不同的交点,

e

记g(x)「2一",贝Ug，(x)=x2+：2=(x+2)Ql),

exee

当x<-2时,g'(x)>o,g(x)单调递增；当-2<X<1时，g'(x)<o,g(x)单调递减；

当x>l时，g'(x)>0,g(x)单调递增.

所以当x=-2时，函数g(x)有极大值e?,当x=l时，函数g(x)有极小值一.

又因为Xf-oo时，g(x)<0；xf+8时,g(x)<0,且g(x)->0,

如下图:

数形结合可知人[Od)时，函数”力恰有两个零点.

故选：C.

2.(2023•广东•高三校联考阶段练习)若直角坐标平面内A,3两点满足：①点A,B都在函数/(%)的图象

上；②点A,5关于原点对称，则称点(A5)是函数人%)的一个“姊妹点对”点对(A3)与(民A)可看作是同一

fox—l(x<0)

个“姊妹点对”.已知函数/(%)=(,八、恰有两个“姊妹点对”，则实数，的取值范围是()

llnx{x>0)

A.0<a<e~2B.0<a<e-2C.0<a<e~{D.Q<a<e~l

【答案】A

ar—1(%<0)

【解析】由题意知函数/(%)=Ing。)恰有两个“姊妹点对

等价于函数〃x)=lnx,x>0与函数g(尤)=依+1,xNO的图象恰好有两个交点,

所以方程lnx=ox+l,即lnx-av-l=O在(。,+°°)上有两个不同的解,

构造函数A(x)=lnx-a无一1,则h'(x)=--a,

x

当aVO时，/7'(x)>0,函数〃(x)区间(0,+⑹上单调递增，不符合题意；

当。>0时，令解得0<x<^，所以函数Mx)在区间上单调递增,

令〃(x)<0,解得x>』，所以函数以尤)在区间(L+s］上单调递减，

ayaJ

所以〃］一］>0,解得2,

又由/z(e)=lne-ae-1=一次?<0,所以函数/i(x)在［e,：］上有且仅有一个零点，

令M(尤)=Inx-4-1,贝!1M'(彳)=:---―,

x2jx2x

令M'(x)>0,解得0<x<4,所以函数M(x)在区间(0,4)上单调递增，

令M'(x)<0,解得x>4,所以函数加⑺在区间(4,+s)上单调递减，

所以M(x)max=M(4)=ln4-3<0,

所以M(x)=lnx-我一1VM(4)<O,即Inx〈4+1,

22

又由/?In—-4zx--1<

aaa

所以函数%(%)在上有且仅有一个零点.

综上可得：0<々</2,即实数〃的取值范围是(0,1).

故选：A.

3.(2。23•广东广州•高三统考阶段练习)若tan,T=|^^，则TcN侬-⑶=()

B

A.1-4T

【答案】D

c兀

tanp-tan—

sin£-cos/tan£-l)tanW，

【解析】由tan2a

sin/+cos/tan/+11c兀

I+tanptan—

TTJiJi

所以2a-,=/?—1+BP2<z=/?+—+fat,A;GZ,

l-2cos2(2df-^)=-cos2(2cr-y0)=-cos2f/3+~^+hi-/3

71A/3

=-cos2—+kn=-cos/2E=-cos—=------

U262

故选：D.

a+1,〃为奇数

4.（2023・广东广州•高三统考阶段练习）已知数列｛%｝满足％=2,%+|为偶数f'则（）

A.4=3B.4=8

C.bn+l-bn=4D.bn=4〃+2

【答案】C

〃〃+1,几为奇数_

【解析】因为数列｛玛｝满足q=2,。用%+3,“为偶数，"=%'

以a?—q+1=3,CI3—a?+3=6,ci^—+1=7,

所以4=q=2,%=%=6,故AB错误；

又a2k+\

所以*=*+4,即出用一*=4,

所以%「b“=4,故C正确;

因为。用=4,所以数列｛2｝是以2为首项，4为公差的等差数列,

所以a=4附-2,故D错误.

故选：C.

5.（2023・广东广州•高三校联考阶段练习）若曲线y=ln（x+a）的一条切线为y=ex-6（e为自然对数的底数）,

其中a,b为正实数,则的取值范围是

eab

A.[2,e)B.(e,4]C.[2,+ao)D.[e,+co)

【答案】C

In"。+Q)=ex0-b

【解析】"g+a）,2=士,设切点为伍,％）,则＜

1

-------=e

x0+a

111z7\1f.bea7八

ea+Z?=2,•,一+-=-14(ea+b\=~\2H-----+——.a,b,e>0

eab1\eabv7eabJ

、

•••原式笥2+2.IbXCQ=2,当且仅当2=半，即。=±6=1时等号成立,

eab?eabe

即

eab

故选:C.

6.(2023•广东广州•高三校联考阶段练习)已知〃尤)是定义在R上的函数，且满足f(3x-2)为偶函数,

/(2x-l)为奇函数，则下列说法正确的是)

A.函数的周期为2B.函数/'(X)关于直线x=-l对称

C.函数关于点(TO)中心对称D.42023)=1

【答案】C

【解析】•；/(3x—2)为偶函数，

3x-2)=〃3x-2),

故/[-(_彳_2)-2]=/(_彳_2_2)

即=一4),

；•函数的图象关于直线x=-2对称.

•.•/(2x-1)为奇函数,

.­.f(-2x-l)=-/(2x-l),

/./(x-l)=-/(-x-l),所以函数的图象关于点(—1,0)对称，故B错误，C正确;

由/(力=/(一工一4)及=一/(一%—1)知，/(x)=/(-x-4)=-/(-x-2),

2),

.-./(x+4-4)=-/(x+4-2),BP/(x)=-/(x+2),

A/(%+2)=-/(x+4),故/(x)=〃x+4)

；・函数〃尤)的周期为4,A错误，

7(2023)=/(506x4-l)=/(-1)=0,故D错误.

故选：C.

7.(2023・湖南长沙•高三雅礼中学校考阶段练习)若存在实数。，对任意的xG[0,河,都有(sinx—a>(cosx

一0岂)恒成立，则实数式的最大值为()

71n

A.~4B.

315兀

C.TD.T

【答案】c

【解析】在同一坐标系中，作出y=sinj^Dy=cosx的图象,

当机>工时，在尤G［0,根］上，必须要求y=sin苫和y=cosx的图象不在y=a=史^的同一侧.

42

...由图可知m的最大值是「.

4

故选：C.

8.(2023・湖南长沙•高三雅礼中学校考阶段练习)已知函数/■(%)的定义域为R,

/(2+x)=/(-x),/(-2)=-/(4),且/(X)在［1,+8)上递增,则国(3-1)>0的解集为()

A.(-2,0)u(4,+oo)B.(-oo,-l)u(5,+ao)

C.(-00,-2儿,(4收)D.(-l,0)u(5,+oo)

【答案】D

【解析】函数/(x),满足〃2+x)=〃r),则关于直线x=l对称,

所以〃一2)=，(4)=一"4),即/(-2)=/(4)=0,

又在［1,包)上递增，所以在(-*1)上递减，

则可得函数〃x)的大致图象，如下图：

/、|-2<x<0\x>4

所以由不等式虫1)>0可得，_2<x-l<0或尤-1>4'解得T<x<°或%>5，

故不等式#(x—1)>0的解集为(T,0)u(5,+“).

故选：D.

(Jr37r1

9.(2023・湖北•高三黄石二中校联考阶段练习)已知a《，彳J，化简n-2sin2a-八+cos2a的结果是(

A.-72silicaB.-y/2sinaC.JIcosaD.-y/2cosa

【答案】A

【解析】因为j2—2sin2a=J2(l-2sinacos>)=J2(sina-COS6Z)2=V2|sin6r-cos6r|=2sin(a-；J,

L,「713兀、…兀/兀兀、一兀、八

且则0一寸1"51nj<sm^a--J>0,

所以j2-2sin26r=2sin一：)=叵(sina-cos；

又因为Jl+cos2a=J2cos之a=A/2|COSa\,

l,(兀3兀、一

且。*[5''可得COS”<。，

所以Jl+cos2a=-垃cosa;

综上所述：V2-2sin2a-Jl+cos2a=&(sina-cosa)+应cosa=&sina.

故选：A.

10.(2023・湖北•高三黄石二中校联考阶段练习)设/(同是定义域为R的奇函数，>/(x+2)=-/(x),当

lvx<2时，/(x)=log2x+l,则外一^―卜()

A.log23B.log23-lC.-log23D.-log23-l

【答案】C

【解析】因为〃x+2)=-〃x),则〃x+4)T(x+2)=-〃切=〃x),

可知4为〃x)的周期，

且等=4x2534，可得等)=0_/0=_„1]=.山.

故选：C.

11.（2023・湖北•高三黄石二中校联考阶段练习）已知向量〃?=（2sinx,若cos?》），〃=（cosx,-2）,若关于x的

方程力-石在（0,兀）上的两根为%,马（为＜々），则sin6-/）的值为（）

A.--B.-巫C.--D.-更

4422

【答案】B

【角毕析1由题意，m-n=2sinxcosx—2百cos2x=sin2x—6(1+cos2x)

=2—sin2x—cos2x-^3=2sinf2x-—-yfi=——,

22I3J2

7

:,设(

可得：sinf2x-y/(x)=sin2xqXG(0,7l)

4

1.17L_7C57T

当sOvxv兀时，v2x<—.

333

且由2Am=（得“X）在（0㈤上的对称轴为x=!|.

.方程-6在（0,兀）上的两根为不马（石<当），

/a）=sin（2再三卜；,〃X2）=sin（2%-g）=；,

L,।X,+571/口571571

且由-----=TT得玉+工2=~7~，••x2=-7-----Xl-

21266

.兀5兀TT7T

又・.•再，>•——<M<—贝1」0<2石一

6112

12.思路：函数y=Asin（cux+9）图象的对称轴和对称中心可结合y=sinx图象的对称轴和对称中心求解.

TT

13.方法：利用整体代换的方法求解，mx+（p=kn+-,keZ,可解得对称轴方程；令航，keZ,

可解得对称中心横坐标，纵坐标为0.

对于y=ACOS（CDX+。）、y=Atan®尤+。），可利用类似方法求解（注意y=Atan（mr+°）的图象无对称轴）.

14.（2023・湖北•高三鄂南高中校联考阶段练习）已知定义在R上的函数f（x）的图像关于直线x=l对称，且

2023

关于点（2,0）中心对称.设g（尤）=（尤-I）八%）,若g（23）=88,Xg（i）=（）

Z=1

A.4040B.4044C.4048D.4052

【答案】C

【解析】由题意可知〃x）=〃2-x）,>/（2-x）+/（2+x）=0,所以/（x”-〃2+x）,

则〃4+x）=—〃2+x）=〃x）,所以是以4为周期的周期函数.

由"2）=0可知,/（0）=0,则〃2）=〃4）=/⑹=.=/（2022）=0,

所以且⑵二8⑷=且⑹==g（2022）=0,

由g（23）=88得，22/（23）=22/（3）=-22/（1）=88,

所以〃1）=-4,则〃3）=4,所以g（l）+g（3）=0+2/（3）=8,

g（5）+g（7）=4/（5）+6/（7）=4/（l）+6/（3）=8,

g（2021）+g（2023）=2020/（2021）+2022/（2023）=2020/（1）+2022/（3）=8,

2023

所以Zg（i）=[g（2）+g（4）+g（6）++g（2022）]+[g⑴+g⑶[+[g（5）+g⑺]

Z=1

++[g（2021）+g（2023）]=8x506=4048.

故选：C.

15.（2023・湖北恩施•高三校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，M是边C。的中点，N是A0的

一个三等分点）,若存在实数2和〃，使得2N=/IAB+〃A。，贝V+〃=（）

【答案】C

【解析】因为N是A"的一个三等分点(|>W|<|W|),所以4V=.因为M是边C。的中点，所以

DM=^DC=^AB,y.BN^AN-AB=^AM-AB=^(AD+DM)-AB=^AD+^AB^-AB=

--AB+-AD,所以/+〃=_*+，=」.

63632

故选：C.

16.(2023•山东潍坊•高三统考阶段练习)设/(X)是定义域R的奇函数，/(x+1)是偶函数，且当xe(O,l],

7

/(x)=ox(x—2).若〃T)+〃2)=T,则/(])=()

33

A.—1B.—C.1D.一

42

【答案】B

【解析】因为〃x)是定义域R的奇函数，所以/(T)=-/■⑴，/(0)=0,

因为当/(x)=«x(x-2),所以"1)=F,从而/(-l)=a,

因为/(x+1)是偶函数，即/(x+1)的图像关于y轴对称，

因为/'（X+1）图像是/（X）图像向左平移一个单位得到的,

所以f（x）的图像关于X=1对称,故/（2）=/（0）=0,

因为“-1）+了⑵=—1,所以a+O=a=—l,

因为样)=/(->-”|)，/(|)=/(1)=-lx|x(1-2)=|,

所以/(1=一〃|)=一；

故选：B.

17.（2023•山东潍坊•高三统考阶段练习）已知函数y=lnx（；VxVe）的图象上存在点尸，函数丁=一；/+。的

图象上存在点Q,且尸、。关于x轴对称，则实数c的取值范围为（

A.1』+白］B.1+壶三-：仁口.］14+J

【答案】C

【解析】依题意可知，方程lnx==/-c在J_,e上有解，

2|_e」

BPc=-x2-Inx^—,e上有解,

2e

1Y2-(%+1)(1)

令g(%)-In%,xG—,e贝Ug'ahx——=——

XXX

xe时g'（x）<0,xe（l,e］时g，（x）>0,

所以g（x）在上单调递减，在（Le］上单调递增,

则g(x)的最小值为g⑴=；,

又g(e)=；e2-l,g[()=l+J<g(e)，

则g(x)的最大值为g(e)=1e2-1,

2

1e

所以g（x）的值域为

ie

即可得C的取值范围是-,y-l.

故选：C

18.（2023•山东滨州•高三校联考阶段练习）已知正方体ABCD-ABIGR的棱长为3,点P在VABQ内运动,

且满足尸2=2,则点尸的轨迹长度为（）

A.—B.兀C.2JID.

2

【答案】C

【解析】设点B到平面做。的距离为d,

因为匕一微。二%—A8C，所以;SAB"d=；SABC，BB］,

因为正方体A3CQ-A与GA的棱长为3,

所以等边VABQ的边长为3VL所以S阴。=¥x(30『=竽，

所以=—x—x3x3x3,解得d=6，

3232

所以点3为球心，2为半径的球面与平面9C相交的圆半径为「3西7=1为半径的圆，又因为等边

VA3C的内切圆半径为逑义百、!=">1,所以交线长为2兀.

232

故选：C.

19.(2023疝东滨州•高三校联考阶段练习)设数列｛%｝的前"项和为S,，出=3，且(〃+1)⑸+「5“)=(〃+2)%,

若存在〃eN+，使得2s“+144垢,成立，贝必的最小值是()

L42-15c

A.4^^+1B.—C.—D.8

52

【答案】D

【解析】由已知("+1)。用=5+2)4,所以鼻=&,

所以数列［含］是常数列.

又4=3,所以4=3=1,即4=力+1,

n+12+1

所以数列｛%｝是以2为首项，1为公差的等差数列，故S“=日土即，

由存在〃eN+，使得25.+144妨,成立可知,

n2+3〃+14

存在〃EN+，使得〃2+3〃+14WZ(〃+1)成立，即左之

n+1min

,几1rn1[11-7-+3n+14{t—I)2+3(/—1)+1412

设/=〃+l,贝t1,从而---------=-——-----——----=/+—+1.

〃+1tt

12

记/⑺=，+—+1(^N),

t+

由对勾函数性质可知，/⑺在(0,2回上单调递减，在(26,+oo)上单调递增,

又teN+，所以〃3)=3+4+1=8,〃4)=4+3+1=8,

所以/H------的最小值是8.

t

故选：D.

f4x—2,x<l,1

20.（2023・山东聊城•高三校考阶段练习）设函数/（%）=।/A।贝1J满足不等式/（%）+/（x-f〉2的

[log2（x+3）,x>1,4

x的取值范围是（）

A.（23；V^,+8）B.C.D.（，+8）

【答案】D

【解析】根据X和尤-:与1的大小分类讨论.由已知/（X）是R上的增函数，当犬>1时，/«>2,

当尤-工>1,即x>*,不等式显然成立，

44

1177

当x41时，/（%）+/（%—）=4x—2+4（%—）—2>2,x>—,所以一<兀工1,

4488

当时，/（x）=log,（x+3）>2,丁（尤一!）=4（X_L）_2=4X_3>0,不等式/（尤）+/（尤一2）>2成立，

4444

综上不等式的解为.

故选：D.

21.（2023・山东聊城•高三校考阶段练习）边长为8的等边ABC所在平面内一点O,满足。4-2O5-3OC=0，

若M为ABC边上的点，点P满足尸卜M,则|MP|的最大值为（）

A.573B.6A/3C.2MD.3M

【答案】D

【解析】如图，由OA-2OB-3OC=0，得。A—OC=2（OB+OC）,

即CA=2（O2+OC）,取8C中点G,AB中点H,连接GH,

贝UCA=2GH，即OB+OC=GH，

取G8中点K,延长KG到。，使KG=GO,则。为所求点，

止匕时BGKFcCGO,

所以OC_LAC,OC=26,

•••点？满足|OP卜M,M为，ABC边上的点，

.•.当M与A重合时，有最大值，为|Q4|+|OP|

而|OA|=#2埒+8?=2M,

\MP\的最大值为3M，D正确.

2x+l,x<0

22.（2。23・福建莆田•高三莆田一中校考阶段练习）已知函数/（ML-x+iq。’方程

产（力-4（力-。+3=0有6个不同的实数解，则实数。的取值范围是（）

A.（1,2）B.（2,3）C.J,、D.1,3

【答案】C

【解析】由题设，Ax）图象如下图示，

y/

令r=/（x）,要使原方程有6个不同的实数解，则『一0一。+3=0有两个不同实根且6<，2,

若《=0,则_°+3=0,则“=3,此时产-3f=0,G=3,显然此时不合题意，

故由图知：0<%<1<%<2,即g⑺=t2-at-a+3的两个零点分别在区间（0,1）和（1,2）内，

g（0）=3_〃〉0

7

而g0）开口向上，故jg⑴=4-2a<0n2<a<§.

g（2）=7-3a>0''

故选：c

23.(2023•江苏南通・高三海安高级中学校考阶段练习)已知函数3(x)=jY-i,g(x)=sinx,a>b>\,

c>d>0,若〃。)一〃6)=兀，g(c)-g(d)=^,则().

779兀c779兀

A.CL+d—b—c>—B.Q+4-/?一(?<—

1010

c.,1171c,,1171

C.a+c—b—u>------------D.u-\-c—b—d<----

1010

【答案】B

【解析】设尸(X)=X-/(X)=X--1,(X21)，则尸(X)=J2]在设,+8)上单调递减,

因为故F(a)vF(b),gp«-f(a)<b-f(b),:.a-b<f(a)-f(b)=n,

设G(x)=x—g(x)=x—sinx,Cx>0),贝ljg'Cx)=1—cosx>0,

故G(x)=x-g(x)在(0,4w)上单调递增，

因为c>d>0,故为c)>G(d),

^c-g[c}>d-g(d),:.c-d>g{c}-g[d}=—,

兀兀

由于a—〃<兀，c—d>,故d—c<—,

9兀Q7i

则a—。+d—c<,BPa+d—b—c<,所以A错误，B正确；

兀、1IK、11兀、

由a-Z?V7t,c-d>,无法确定a+c-b-d>工还是a+c-Z?-d—知，C,D错误，

故选：B

24.(2023•江苏扬州•高三统考阶段练习)已知函数'=点由(》+0)(4>0)的图象与直线丫=加(0<加<4)连续

的三个公共点从左到右依次为M,N,P,若|PN|=2|MM，则£=()

A.JB.且C.正D.-

2227

【答案】A

【解析】令无+。=乙则函数y=Asin(x+0)(A>0)即为函数，=Asinf(A>0),

y=Asin(x+0)(A>0)的最小正周期为2兀，

y=Asinr(A>0)最小正周期为2兀，

作出函数y=公由乙(A>0)的大致图象，如图，

则函数y=Asin（x+夕）（A>0）的图象与直线y=ni（O<m<A）连续的三个公共点M,N,P,

等价于〉=Asinr（A>0）的图象与直线y=m（0<〃2<A）连续的三个公共点用，N',P',

（连续的三个公共点从左到右排列），

由题意不妨设MlN',P位置如图中所示（三点位置可左右平移一个周期），

即M,N'关于直线x=W+2EKeZ对称，|尸'叱|=2兀，

127r

由于|RV]=2|肱V|,贝l]|PM|=2MV],故

TTJT

而M,M关于直线x=z+2fai,keZ对称，故M点横坐标为z+2M«eZ,

26

jr

将AT点横坐标代入y=Asin/（A>0）,得Asin（：+2E）=相，

6

故选：A

已知函数/（x）=2cos（ox+看］-1（0>0）在（0,兀）上恰有两个零

25.（2023•河北邢台•高三校联考阶段练习）

点，则。的取值范围是（）

Lif

A.B-CTJ

C仪月D-<1I3N71

【答案】c

【解析】令〃x）=0得cos]ox+W=g,

因为xw（O,兀），所以+.

几兀,7兀山03,13

因为“X）在（0㈤上恰有两个零点，所以三—<CDTl-\--W---,触得一<GW--.

6326

故选：C

26.（多选题）（2023•广东•高三校联考阶段练习）己知外,当分另U是函数〃x）=e'+x-2和g（x）=lnx+x-2的

零点，则（）

%,

A.玉+Z=2B.e+lnx2=2

C.玉近D.x；+x；＜3

2

【答案】ABD

1

【解析】因为4，4分别是函数/(x)=e*+x-2,g(x)=lnx+x-2的零点，所以e*=2-%，lnx2=2-%2,

那么看，々可以看做函数y=e*和y=lnx与函数y=2-x图像交点的横坐标,

如图所示，点A,C,8分别为函数y=e1y=x,y=Inx的图像与函数y=2-无图像的交点，所以,

因为函数y=e，和y=lnx互为反函数，所以函数图像关于y=x的图像对称，y=2-x的图像也关于y=x的

1X1

图像对称，所以点人（占©）和3（%,111泡）关于点对称，&+无2=2,e+lnx2=2,故AB正确;

由反函数的性质可得超=9，因为"x）=e*+x—2单调递增，=

所以0<X|<5，所以占%=工2*1<,故C错；

当x=；时，函数y=e，对应的函数值为胴，函数y=2-x对应的函数值为因为

所以巧的范围为那么无；+考=2x；-4%+442,引，而究<3,所以x；+x；<3,故D正确.

故选：ABD.

27.（多选题）（2023•广东广州•高三统考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-AMGR中，下列

命题正确的是（）

D

A.平面AC4＞平面AG。，且两平面的距离为更

4

B.当点P在线段AB上运动时，四面体尸-A4G的体积恒等于四面体耳-4GD的体积

C.与正方体所有棱都相切的球的体积为叵

3

D.若M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是“AC与外接圆的圆周上任意一点，贝山肱V|的最小

值是正匚

2

【答案】BCD

【解析】对于A,正方体ABC。一ABC"中，A\//CCX,A\^CCX,

即四边形A41co为平行四边形，故AC〃AG，

ACz平面AG。，AGu平面AG。，故AC〃平面4G。，

同理可证人耳〃平面而A44?=44瓦,4。（=平面":4，

故平面,「平面AG。；

设3到平面AC4的距禺为d,AC=A/2»则％—as二匕—BCM,

BP-x—x（应）2xd=ix—xlxlxl,贝！Jd=；

34323

同理求得2到到平面\cp的距离为走；

3

连接BQ,用2,则由于B耳_L平面ABCQ，AGU平面A8|GR，

故BB11AjQ,42IBBt=Bi，BQi，BB{u平面BBQ,

故AG_L平面即，，2,u平面阴外故AG_L52，

同理可证，而4£门4。=4,46，4。（=平面4«八，

故8Q_L平面AC。，而平面ACB「，平面AG。，则82_L平面ACB,,

又BD\=Vl2+12+12=73,

故平面ACBX和平面AG。之间的距离为6—2X正=立，A错误；

33

对于B,当点尸在线段A2上运动时，四面体尸-4片G的体积为/=；xgxlxlxl=:；

而四面体耳-ACQ的体积%.AG。=%-44G=；x；xlxlxl=；,

326

即当点尸在线段A3上运动时，四面体P-A与G的体积恒等于四面体4-AG。的体积，B正确；

对于c,与正方体所有棱都相切的球的直径为正方体面对角线长4。=也，

故该球体积为士兀x（1）3=叵，c正确；

323

对于D,正方体的内切球球心和正方体外接球球心是同一个点，即为正方体的中心，

外接球直径为G，内切球直径为1；

而，AC用外接圆为正方体外接球的一个小圆，

故由M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是AC左外接圆的圆周上任意一点，

得|MN|的最小值为正方体的外接球半径减去正方体球内切球半径，即l-;，D正确，

故选：BCD

28.（多选题）（2023•广东广州•高三校联考阶段练习）已知函数/（x）=|lgx|-2,则下列结论正确的有（）

A.若％=0,则/（X）有2个零点B.存在上＜0,使得/'（x）有1个零点

C.存在％＜0,使得Ax）有3个零点D.存在左＞0,使得〃x）有3个零点

【答案】ABD

【解析】由题，f（x）的零点个数可转化为y=|lgx|与＞=履+2的函数图象交点个数，

画出函数图象如下，

若左=0,函数＞=怛*|与y=2在（0,1）和（1,+8）各有一个交点，故/（X）有2个零点，故A正确;

当上=一2时，当了€。1],/(x)=-lgx+2x-2,

/(10-2)=2+^-2>0,/(10-')=1+1-2<0,

故〃力在(10-2,10,上至少有一个零点，又一⑴=0,结合图象知，外力在(0,1]上有两个零点，

即y=旭X与y=-2x+2有两个不同的交点，则当直线绕点(0,2)顺时针旋转时，存在直线y=辰+2与

>=随为|的图象相切，即有1个零点，故B正确，

当左<0时，y=|lgx|与丫="+2至多有两个交点，故C错误；

当左>0时，如图，存在函数y=旭乂与y=阮+2的图象分别在(0,1)和(L")上分别有1个和2个交点,

故存在k>0,使得了(%)有3个零点，故D正确.

故选：ABD.

29.(多选题)(2023•广东广州•高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=e'+x-2的零点为小函数

g(x)=lnx+x—2的零点为巧，贝I]()

x,

A.占+无2=2B.2xj>x2C.e+e^>2eD.玉马〈手

【答案】ACD

【解析】g(x)=lnx+无-2=eln%+In无-2=/(inx),

又函数g(x)=lnx+x—2的零点为巧，则g(%)=f(in4)=0,其中%>0.

_f(x)=e，+l>0,得/(x)在R上单调递增，又其有零点小则看为其唯一零点.

又g(N)=『(in%)=0，得Xi=lnxz.

注意到〃0)=T<0,ee(2.56,2.89)n「w(1.6,1.7)'

则-|>0,且为e(0,£|.

x

对于A,因g(%)=In%+无2-2=0，i=Inx2,

则无i+无2=山马+々=2,故A正确.

对于B,因为=In4,贝!J2X]—々=2%一e"1.

令〃(x)=2x-eMxe[o,£|/(x)=2—e"在卜上单调递减,

则"(x)>"[]=2-1>0,得力(x)在卜；]上单调递增.

则/?(无)<//|||=l-e^<0,即2%<马,故B错误.

2

对于C选项，因X]e[o,g],X,=lnx2,则々e1,e,故x产吃.

则由基本不等式结合为+%=2有：.>2值三=2胞=2e，故C正确.

e2

对于D选项，因%=111马，则尤[尤2=々In%,由C选项分析可知乙©1-.

I7

（

则令P（%）=xInx,xG1,,//（%）=Inx+1>0.

得。（尤）在卜ej上单调递增，故p（x）<=£,即故D正确.

故选：ACD

30.（多选题）（2023•湖南长沙•高三雅礼中学校考阶段练习）如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-ABGA

中，点M,N分别为棱CO上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）

B.当M,N分别为棱用G，。的中点时，则在正方体中存在棱与平面AMN平行

C.直线MN与平面ABCD所成角的正切值的最小值为农

2

D.当M,N分别为棱BC，8的中点时，则过4,M,N三点作正方体的截面，所得截面为五边

形

【答案】ACD

【解析】点"，N在棱4