新疆泽普县第二中学2022-2023学年高一年级上册期末考试数学试题

2022-2023学年度第一学期高中数学期末考试8.（本题5分）如图在平行六面体力8c。-中，底面/3CZ）是边长为1的正方形，便J棱44=2且

一、单选题（每小题5分，共40分）（共40分）=则4G=（）

1.（本题5分）6-1与的等差中项和等比中项分别是（）

A.6、士及B.VI,V2C.V3,-V2D.石,±2

2.（本题5分）已知直线4：依+（a+2W+l=04：x+@+2=C，其中awR,则“a=-3”是“1。的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件A.2近B.V10C.2>/3D.V14

3.（本题5分）设x、JeR,向量a=（x,l,l）,加=c=（3,-,63）且£_L工，则卜+石卜（）

A.272B.2GC.4D.3二、多选题（每小题5分，共20分）（共20分）

9.（本题5分）已知等差数列II,8,5,…，则（）

4.（本题5分）等差数列加”｝的前〃项和S“，&=3&=66,贝iJSg=（）

A.公差"=一3B.该数列的通项公式为q=-3〃+16

A.9B.12C.30D.45

C.数列前10项和为-25D.-49是该数列的第21项

5.（木题5分）0为坐标原点，产为抛物线C:/=8x的焦点，A4为。上•点，若1"臼=8,则产的面积

10.（本题5分）已知双曲线£-1•=15>0）的左焦点片与抛物线），J-4"、•的焦点重合，工是双曲线的右焦

为（）a~->

点，则下列说法正确的有（）

A.45/3B.3&C.8D.3s

A.抛物线的准线方程为x=l

6.（本题5分）已知448c的周长为20,且顶点B（0,-4）,C（0,4），则顶点A的轨迹方程是（）

B.双曲线的实轴长为4

A.—+^=l(x#0)B.-+^-=1(x^0)C.工+匚心。0)D.

362020366202036C.双曲线的离心率为2

7.（本题5分）圆C：（x-1>+/=4的点到直线］,=一3的距离的最大值是（）D.P为双曲线上一点若|户用=5,则|「用=£

A.1B.3C.5D.6

11.（本题5分）已知直线/：x+2“沙+1=0,圆后:/+/=3,则下列说法正确的是（

A.直线/必过点。,0）第2行21

B.直线/与圆E必相交第3行1331

C.圆心£到直线/的距离的最大值为1第4行14641

D.当卅=《时，直线/被圆£截得的弦长为旧第5行15101051

第6行161520156

12.（本题5分）已知正方体48co-4AGA，棱长为］,£/分别为棱力氏CG的中点，则（）

A.直线力已与直线EE共面B.A.ELAF

四、解答题（共70分）

C.直线4E与直线好的所成角为60。D.三棱锥G-皿7的体积为《

17.（本题10分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程.

（1）中心在原点，实轴在“轴上，一个焦点坐标为（-4,0）的等轴双曲线；

三、填空题（每小题5分，共20分）（共20分）

（2）楠圆C的中心在原点，焦点在上轴上，焦距为4,且它的一个顶点坐标为仅.20）.

13.（本题5分）设数列｛。“｝的首项《=-7,且满足%“=a“+2（〃eN）,则q+%+…+a”=.

18.（木题12分汜知抛物线产=2p.r（p>0）的焦点为尸（2,0）.

14.（本题5分）已知圆C的圆心是直线x-y+l=0与y轴的交点，且圆C与直线x+.y+l=o相切，则圆。的方

（1）求心

程为.

（2）斜率为I的直线过点尸，且与抛物线交于48两点，求线段力8的长.

15.（本题5分）过双曲线Y-/=l的•个焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于P，。两点，

则|PQ|=.19.（本题12分）在等比数列｛6,｝中，

16.（本题5分）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形.帕

（1）已知夕=3,S3=y,求出;

斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.这是我国数学史上的

又一个伟大成就.其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位.中国古代数学史曾（2）已知%=6,6q+%=30,求q+%+%+…+.

经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年

20.（本题12分）如图，已知四棱锥尸一月88的底面48C。是正方形，侧棱PQ_L底面"CO,PD=DC,E

所著的《详解九章算法》一书里就出现了.该表中，从上到下，第〃行所有不同数的个数记为/，比如q=1、叼=2,

是PC的中点.

则数列｛巩｝的前10项和为.

第1行11

p

(1)证明：P4"平面BDE；

(2)求平面8OE与平面。EC所成角的余弦值.

21.体题12分)在①2=/+2«；②/=5,6+处=18：③4=3,=48这三个条件中任选一个，补充在

下面问题中，然后解答补充完整的题目.

问题：已知S“为等差数列应｝的前〃项和，若.

⑴求数列｛q｝的通项公式；

⑵设瓦=舟(〃€N*),求数列也｝的前口项和Ta.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

22.(本题12分)已知双曲线。的渐近线方程为y=±gx,且过点(4、-AQ).

(1)求双曲线。的标准方程；

(2)若直线/与双曲线相交于M,N两点，若的中点为P(4.3),求直线/的方程.

参考答案:

；.5]=1=66,4=6,d=——―=1,

6-3

1.A

a“=3+(〃-3)x1="，a5=5,

【分析】结合等差中项与等比中项的定义即可求解.

Sq=9as=9x5=45.

【详解】与JJ+1的等差中项是=6,

2

故选：D.

6-1与VJ+i的等比中项是土]>5-i)(6+i)=±£

5.A

故选：A

【分析】先根据定义求出点M的横坐标，将其代入抛物线方程，求出点用的纵坐标，进而求出面积.

2.A

【详解】由/=8x可得抛物线的焦点?⑵0),准线方程为x=-2,

【详解】直线乙，/2的充要条件是。+(。+2)。=0，。(。+3)=0二。=0或。=-3.故选A.

由抛物线焦半径公式知八折=均+与=X”+2=8n.5=6,

3.D

将x=6代入/=8x,可得尸±44，

【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出X、，的值，求出向量£+坂的坐标，利用空间向量的模长公式

可求得结果.

所以的面积为:3・a'=；x“Jx2=4VL

【详解】因为a_Lc，则=3x-6+3=0，解得x=l，则

故选：A.

因为胡人则:=斗，解得产-2,BPft=(l,-2,l),

6.B

3—6

所以，£+5=(2,-1,2),因此，|叫="+1+4=3.【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程.

【详解】错解：

故选：D.

•••△/8C的周长为20,顶点8(0,-4),C(0,4),

4.D

・・.|8C|=8,|阳+陷=20—8=12,

【分析】由等差数列的通项公式与前〃项和公式求得/，然后再由前〃项和公式结合等差数列的性质计算.

V12>8,

【详解】SJ是等差数列,

・•・点/到两个定点的距离之和等于定值,

・•.点.4的轨迹是椭圆,【详解】解：已知圆C：(x—以+/=4,圆心半径/-2,

**a=6,c=4,

圆心到直线乎=-3的距离d=0-(-3)=3,

・・.〃=20,

所以圆上的点到直线》=-3的距离的最大值是2+3=5,

••・椭圆的方程是"=1

2036故选：C.

故选：D.

8.B

错因：

2

【解析】先求出在2,而2,福,ABAD^布•羽，ADAAyt再计算|而|即可.

忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.

【详解】解：因为底面18CZ)是边长为1的正方形，侧棱44=2且4/0=4/8=60°,

正解：

则而I,而〈I,丽Z，浅.%=0,-44=牌|•网卜cos4/8=1,ADAA[=/卜瓯}cosZJ/Q=1,

•・•△/18C的周长为20,顶点5(0,-4),。(0,4),

・・・闸=8,"3|+0。|=20-8=12,

V12>8,陛+质+祠

・••点/到两个定点的距离之和等于定值，

=.48+AD+

••・点力的轨迹是椭圆，

=+.iD+AA'J+2AB-.14+2AB-AD+2/1Z)-AA}

•；a=6,c=4,

.•方=20,=71+1+4+2+0+2

工椭圆的方程是[+[=l(x=0)

故选：B.故选：B.

7.C【点睛】本题考查向量的数量积，向量的模的计算公式，是中档题.

【分析】根据圆上•点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径即可求出结果.9.ACD

答案第2页，共7页

【分析】根据等差数列的定义，求出公差和通项公式，再利用前〃项和公式即可求解.11.BC

【详解】由题意可知：q=11,4=8-11=-3：【分析】利用直线和圆的相关性质求解即可.

【详解】易知直线/必过点(7,0),故A错误：

A=11+(n-1)x(-3)=-3//+14；

点(7,0)在圆£内，所以直线/与圆E必相交，故B正确：

.c(II-3w+I4)w25M-3M2

Y==——'

圆心现0,0)到直线/的距离d=~7」匚，当川=0时距离取最大值1,故C正确：

.e_250-300供

••几=-------=-25:

当用=；时，直线/：x+j，+l=0,则直线/被圆E截得的弦长为2,3-(彳彳］=加，故D错误.

由-3〃+14=-49,得〃=21.

故选：ACD.

故选：BC

10.BD

12.BD

【分析】由抛物线方程得准线方程，得抛物线焦点坐标，从而得双曲线的焦点坐标，求得参数得实轴氏和离

【分析】如图，以。为原点，以。4。0。口所在直线分别为乂乂2建立空间直角坐标系，对于A,利用面面平行

心率，由双曲线定义可求得点到焦点的距离|叫|.

性质结合平行公理分析判断，对于B,通过计算慈•箫进行判断，对于C,利用向量的夹角公式求解，对于D,

【详解】解：对于A,抛物线jJ=-4"x的准线方程是x=",A选项错误；

利用%-ADF=喙求解.

对于B,抛物线V=-4j7x的焦点是(_J7,0),所以K(_J7,O),鸟(J7,0),c=币,

【详解】如图，以。为原点，以。□所在直线分别为x，，'，2建立空间直角坐标系，则

在双曲线中/=/+反，则/+3=7，解得a=2或。=-2(舍去)，

D(0.0,0),/1(1,0,0),^(1,1,0),C(0,1,0),D,(0,0,1),\(1,0,1),5,(1J,1),C1(0,1,1),

所以，双曲线的实轴长为2a=4,B选项正确；

尸(0,1,；),

对于C,双曲线的离心率e=£=立，C选项错误：

a2

对于D,由双曲线定义||尸片-|尸用|=2a,即^-|尸可卜4,

解得|尸国=?或归/=；＜"-2(舍去)，D选项正确；

故选：BD.

故选：BD.

13.153

【分析】根据递推关系式可得数列｛4｝为等差数列，根据等差数列的前〃项和公式求解即可.

【详解】解：根据。向=4+2得到数列｛q｝是首项%=-7,公差d=%-q=2的等差数列

贝Ijq+a?+…+《7=17x(-7)+-^y^x2=153.

对于A,假设直线月A与直线E尸共面，因为平面平面。CGA，平面力E/肛n平面力644=平面故答案为：153.

DCCXD.PI平面ABB.4=。尸,

14.x2+(y-l)2=2

所以/E〃"F,

【分析】求出圆心的坐标以及圆。的半径，即可得出圆。的方程.

因为所以CQI〃DF，矛盾，所以直线力A与直线E尸不共面，所以A错误;【详解】在直线x-y+i=o方程中，令x=o,可得y=i,故圆心为C(O,1),

对于B,因为军酢所以，圆C的半径为『=丁:五•

所以率•萧=0+；-；=0,所以而1.肝，所以4EJ_N尸，所以B正确，

因此，圆C的方程为x?+(y-l)2=2.

对于C,设直线川与直线8尸的所成角为6,因为而=(0,；,-1)历=(-1,0,£|,

故答案为：x2+(.y-l)2=2.

______115.25/2

所以8S"H花丽)卜用菽=51尸%]

【分析】由题意可知曲线为等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质可得答案.

所以8*60。，所以C错误，【详解】由题意可知，。=1,b=\,c=JJ，双曲线是等轴双曲线，则两条渐近线的夹角是90。，因为在直角三

角形中，斜边中线是斜边一半，故|尸。=2五.

对于D,因为.4Q_L平面。CCQ,

故答案为：2应

所以匕;-血=，A-C\DF=§5调*，。=5*[二5*1><1=F，所以D正确,

16.35

答案第4页，共7页

【分析】利用列举法列举数列的前10项，然后求和.即C的标准方程是/=8.x.

【详解】容易发现数列｛凡｝的各项为：1,2,2,3,3,4,4,5,5…，故｛%｝的前10项和为

(2)由题意得，抛物线的焦点为尸(2,0),

(1+2+…+5)+(2+3+…+6)=35.

，/的方程为丁=x-2,/(为，乂),B(X,,y2),

故答案为：35

17.(1)--21=1f/=8x■>

〈=>.v"-12x+4=0,

88｛y=x-2

⑵工+匕=1

1612X)+JC2=12,工吊=4,

【分析】(I)设等轴双曲线的方程为E=l(a>0)，根据双曲线的焦点坐标求出。的值，即可得出双曲线的

a~a~・•・|幽=Jl+4,卜-A-,|=V2-V122-4X4=16.

方程；

综上所述，线段的长度为16.

(2)求出。、力的值，结合椭圆的焦点位置可得出所求椭圆的标准方程.

【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

【详解】(1)解：设等轴双曲线的标准方程为1-与=1(。>0),则《=缶=4,可得°=28，

a'a

(1)得出直线方程，设交点为/(司，乂)，8(.0%)；

因此，所求双曲线的标准方程为二-亡=1.

88

(2)联立直线与曲线方程，得到关于无(或的一元二次方程；

(2)解：设椭圆的标准方程为，■+方则c=2,6=2石，:.a=>lb2+c2=4,

(3)写出韦达定理：

因此，所求椭网的标准方程为工+匕=1.

(4)将所求问题或题中关系转化为演+々，1马形式：

1612

18.(1)4：(2)16.(5)代入韦达定理求解.

【解析】⑴由题可得勺2,即可求出〃：19.(1)佝=2187

(2)联立直线与抛物线方程，利用弦长公式可求出.

lw

(2)当g=2时，q+%+……+fl„=2-l；当g=3时，&+%++%=

【详解】(1)•.4(2,0),则由抛物线性质得曰=2,

•'・p=4,/.y2=,

1分析】(1)首先根据题意得到％=；,再根据%=qg"求解即可.设々=(x,y,z)是平面的一个法向量,

(2)首先根据题意得到9=2或g=3,再分别求和即可.^-DE=o(y+z=o

则由1.而=0'^\2x+2y=0.Mj=(1,-1,1).

【详解】<1)因为$=4+%+%=?，9=3,

,:PA,〃]=2-2=0,

所以q+%,+%=?,解得

：.PALnx,

所以%=%q'=；x3"=2187.

又H4Q平面BDE，：.P4〃平面BDE.

(2)。，=6,6ai+%=30,所以％•+a,夕=30,即/一5g+6=0,解得夕=2或夕=3.

q

当"2时，q=3,

50100

所以q+a3+……=MlL4-1=2-1.

当夕=3时，4=2,

(2)由(1)知E=(1，T，D是平面的一个法向量，

2(1-950)3100T

所以q+%+....+%=

1-94

又%=方=(2,0,0)是平面DEC的一个法向量.

20.(1)证明见解析