逆等线最值模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

两线段和的最值问题，大家首先想到的都是“将军饮马”问题，即要求的两条线段有公共

端点，或者平移后有公共端点.

除了将军饮马问题外，还有一类两线段和的最值问题，两个动点的运动过程中，两条动线段

始终保持着相等，我们可以在等线段处构造全等，从而将要求的两条线段拼接到一起，这就是今

天咱们要说的逆等线最值问题.

讲逆等线模型之前我们先来一波回忆：

下图大家应该很熟：

aC

/\C

//\\/A\

。为动点！特殊化证明：DE+DF的和为定值”

一般化证明：DE+DF的和为定值

只要保证。O/7与腰的夹角相等，总会有:DE+DF的和为定值的结论!

证明思路：

作4G/ED,HD4BC易得红蓝全等,黄色平四

.'.DE+DF=AH+HG=AG（定长）

另证易得：XDEAsXDFB;40+瓦？为定值，OE+。/7为定值

引申：。在线段48外时差为定值（证明同理）

然后将这个角一路的改变也相当于做腰的平行线！

此图即产生了逆等线，所谓逆等线，逆向也相等!

考点一：等腰三角形中的逆等线模型

【例1】.如图,在等腰△/8C中，Z8=/C=5,BC=6,点、D、E分别是月8、/C上两动点,

且ZO=CE,连接C。、BE,CD+8E最小值为.

A变式训练

【变式17].如图，在△NBC中，AB=AC^8,BC=&M，。为8c边的中点，点E、F

分别是线段/C、AD上的动点，且4F=CE,则8E+CF的最小值是.

【变式1-2].如图，已知直线N8：了=逗_*+\^分别交x轴、V轴于点8、/两点，C

3

(3,0),D、E分别为线段49和线段NC上一动点，8E交夕轴于点“，且/£>=".当

&X8E的值最小时，则，点的坐标为()

A.(0,4)B.(0,5)C.(0,D.(0,V55)

考点二:等边三角形中的逆等线模型

【例2】.如图，为等边△Z8C的高，E、尸分别为线段4。、/C上的动点，且ZE=CF,

当瓦7+CE取得最小值时，NAFB=°.

A变式训练

【变式2-1].如图，4〃是正三角形/8C中8C边上的高，在点力,C处各有一只电子乌龟

尸和。同时起步以相同的速度分别沿。向前匀速爬动.确定当两只电子乌龟到8

点距离之和P8+QB最小时，NP80的度数为.

【变式2-2].在等边△N8C中，AB=4,点E在边BC上，点尸在NZC8的角平分线CD

上，CE=CF,则/E+/尸的最小值为

A

B

EC

考点三：直角三角形中逆等线模型

【例3].如图，在Rt/VIBC中，/ZC8=90°,AB=6,BC=4,D,E分别是NC,AB±.

的动点，且4Z)=BE,连结8。，CE,则8O+CE的最小值为.

A变式训练

【变式3-1].如图，RtZ\N8C中，NACB=90°,/8=30°,D,E为边上的两个动

点，且连接CD,CE,若4C=2,则CD+CE的最小值为.

【变式3-2].如图，在等腰直角三角形Z8C中，/2NC=90°,点M,N分别为3C,AC

上的动点，且4V=CM,AB=-/2-当4W+8N的值最小时，CM的长为.

考点四：一般三角形中的逆等线模型

【例4】.在△48C中，ZABC=60°,8c=8,AC=10,点。、E在48、4c边上，且/£(

=CE,则CD+BE的最小值

DB

A变式训练

【问题背景】（1）如图（1）,E为△Z8C的边工8上的一点，AE=BC,过点N作/O〃8C,

且连接。E,求证：△/£>£1丝△84C；

【变式迁移】（2）如图（2）,在△48C中，AC=BC,8。平分/N8C,点E在上，且

AE=CD,若点C分别到80的距离之比为机，求证：更也泡；

BC

【拓展创新】⑶如图（3）,在△N2C中，N4BC=45°,BC=3&，NC=6,D,£分别

是/C,48上的点，且/E=C£>,直接写出CE+8。的最小值.

图1

考点五：正方形中的逆等线模型

【例5].如图，正方形Z88的边长为6,点E、尸分别在48、BC上,S.AE=BF,CE

与DF交于点P,连接8尸，求8P的最小值.

A变式训练

[5-1]已知正方形N8CD的边长为1,点E,尸分别是边BC,CD上的两个动点，且满足

BE=CF,连接4E；4F,则4E+4F的最小值为.

BEC

考点六：矩形中的逆等线模型

【例6】.如图，矩形中，AB=2,4D=3,点、E、尸分别为边48、C。上的动点，且

AE=CF,则8尸+CE的最小值为

A变式训练

【67].如图，矩形力8CD中，AB=3,40=4,点E、尸分别是边8c和对角线8。上的动

点，且BE=DF,则4E+4尸的最小值是.

[6-2].如图，在矩形中，AD=4,AB=4-/3,E,尸分别是8。，8c上的一动点,

且BF=2DE,则AF+2AE的最小值是

考点七：菱形中的逆等线模型

【例7】.如图，菱形4BCD中,N45c=60°,AB=2,E、尸分别是边8c和对角线8。

上的动点，BE=DF,则NE+N尸的最小值为.

BE

A变式训练

【7-1】.如图，在菱形/8CO中，N8/O=120°,CO=4,M,N分别是边4B,力。的动点,

满足4"=£>N,连接CM、CN,E是边CM上的动点，尸是CM上靠近C的四等分点,

连接ZE、BE、NF,当△CFN面积最小时，工8E+NE的最小值为.

[7-2],如图，在菱形488中，ZBAD=\20°,AB=6,连接BD

(1)求8。的长；

(2)点E为线段8。上一动点(不与点8,。重合)，点尸在边力。上，且。尸.

①当CEU8时，求四边形的面积；

②当四边形/8E厂的面积取得最小值时，CE+Fb的值是否也最小？如果是，求

CE+MCE的最小值；如果不是，请说明理由.

------------------C

实战演练

1.如图，在边长为蓊的等边△N8C中，动点。，£分别在8C,ZC边上，且保持/E=

CD,连接BE,AD,相交于点P,则CP的最小值为.

E

2.如图，在RtZ\Z8C中，ZACB=90°,AC=BC=4,动点。，E分别在CB边上，且

BE=®AD.连接CD,NE相交于点P,连接8P,则,8尸的最小值

为.

3.如图，为等腰△/BC的高，AB=AC=5,BC=3,E、尸分别为线段/£）、/C上的动点,

且ZE=CF,贝1J3F+CE的最小值为.

4.如图，48。是。。内接矩形，半径r=2,N8=2,E,尸分别是ZC,C。上的动点，且

ZE=C凡则8E+8E的最小值是（）

A.V7B.277C.3百D.4a

5.如图，菱形N8CD中，N4BC=60°,48=3,E、F分别是边8c和对角线8。上的动点,

且BE=DF,则AE+AF的最小值为

6.如图（1）,在△48C中，AB=AC,NBAC=9Q°,边48上的点。从顶点工出发，向

顶点8运动，同时，边8C上的点E从顶点8出发，向顶点C运动，D,E两点运动速

度的大小相等，设x=/£）,y^AE+CD,y关于x的函数图象如图（2）,图象过点（0,2）,

则图象最低点的