2023年辽宁省抚顺市顺城区中考数学二检试卷（含解析）

2023年辽宁省抚顺市顺城区中考数学二检试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.2023的相反数是（）

A.1C.2023D.-2023

20232023

2.如图所示的几何体的主视图是（）

A.

正面

B.

C.

D.

3.下列计算正确的是（）

A.2a—a=2B.a2+b2=a2b2C.（―2α）3-8α3D.(-α3)2=α6

4.一组数据3,5,1,4,6,5的众数和中位数分别是（）

A.5,4.5B,4.5,4C.4,4.5D.5,5

5.下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（）

A.检测沈阳、大连、抚顺三市的空气质量

B.检测一批LED灯的使用寿命

C.检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量

D.检测一批家用汽车的抗撞击能力

6.己知直线11//。，将含30。角的直角三角板按如图所示摆

放.若Nl=120°,则42=（）

A.120°

B.130°

C.140°

D.150°

7.如图，在矩形4BCD中，连接BD,分别以B、C为圆心，大

于TBO的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ,分别

与4。、BC交于点M、N,连接BM、DN.若AD=4,4B=2.则四

边形MBND的周长为（）

ʌ-l

B.5

C.10

D.20

8.一艘轮船在静水中的速度为30km",它沿江顺流航行144knι与逆流航行96kτn所用时间

相等，江水的流速为多少？设江水流速为Ukn1",则符合题意的方程是（）

A144_96d144_96「14496144_96

B30-V—V°。30-V

A，30+v-30-V30+v~~30+v

9.如图，AABC内接于00,AB=AC,BD是0。直径，BO与弦AC相交于

点E,若4B4C=40。，则/BEC的度数是（）

A.45°

B.50°

C.55°

D.60°

10.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,动点M从点4出发，以每秒1个单位长度的速

度沿4τBτC的路径匀速运动，过点M作对角线AC的垂线，垂足为M设运动时间为t秒，△

4MN的面积为S,则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）

B

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.2022年我国高考报名人数再创新高，约为1193万（即11930000）人，数据11930000用科

学记数法表示为.

12.因式分解：xy2-X=.

13.甲、乙两队参加“传承红色基因，推动绿色发展”为主题的合唱比赛，每队均由20名队

员组成.其中两队队员的平均身高为%=啦=160cm,身高的方差分别为略=10.5,SN=

12如果单从队员的身高考虑，你认为演出形象效果较好的队是.（填“甲队”或“乙

队”）

14.若关于X的一元二次方程Ze/-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围

15.四张材质与大小完全相同的卡片上分别写有“张飞”、“李逡”、“长矛”、“板斧”4

个词条，将四张卡片放置于暗箱内摇匀后随机抽取两张，则抽到的人物与所携兵器恰巧对应

的概率是.

16.己知AABC中，U=30。，AC=3,所对的边为则满足已知条件的三角形的第

三边长为.

18.如图，在等腰直角三角形ABC中，NBAC=90。，点C,E分

别为BC,4C上的动点，且AE=CD,4B=当4。+BE的值

最小时，CD的长为.

三、解答题(本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明,

证明过程或演算步骤)

19.(本小题10.0分)

先化简，再求代数式(含一退呆［)+等的值，其中X=2COS45。+1.

20.(本小题12.0分)

在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级(1)班同学们的阅读爱好，要求所有同学

从4类书籍中(4文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类)，选择一类自己最喜欢的书

籍进行统计.根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中信息回答问

题：

(1)求九年级(1)班的人数并补全条形统计图；

(2)在扇形统计图中，求m的值；

(3)如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选

取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去

参加读书交流活动的概率.

21.(本小题12。分)

绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的4、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和

2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒4种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元.

(1)求每盒4种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；

(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多

可以购买多少盒A种型号的颜料？

22.(本小题12.0分)

无人机在实际生活中应用广泛.如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P

处，测得楼CD楼顶。处的俯角为45。，测得楼AB楼顶力处的俯角为60。.己知楼AB和楼CD之间

的距离BC为IOO米,楼4B的高度为10米,从楼AB的4处测得楼CD的。处的仰角为30。(点A、B、

C、D、P在同一平面内).

(1)填空：∆APD=度，∆ADC=度;

(2)求楼CD的高度(结果保留根号)；

(3)求此时无人机距离地面BC的高度.

23.(本小题12.0分)

如图，C)O是BC的外接圆，AB是直径，OD1OC,连接TW,∆ADO=/-BOC,AC与。。相

交于点E.

(1)求证：力。是。。的切线;

(2)若ta∏4θaC=宗1AD?求。。的半径.

B

24.（本小题12.0分）

某手机营业厅从厂家采购4,B两款手机共20台，4款手机的采购单价％（元/台）与采购数量看（

台）（0<%≤20,/为整数）的关系如下表：

%1（台）123—20

y1（元/台）158015601540—1200

B款手机的采购单价丫2（元/台）与采购数量%2（台）满足丫2=-IoX2+1360（0<X2≤20,%2为

整数）.

（1）由表格中数据可知，y1与与满足一次函数关系，请求出yι与%的函数关系；

（2）经与厂家协商决定，采购4款手机的数量不少于B款手机，且4款手机的采购数量最多要15

台，该手机营业厅分别以1800元/台和1700元/台的销售单价售出48两款手机，且全部售

完.问采购4款手机多少台时总利润最大？并请求出最大利润.

25.（本小题12.0分）

如图，AABC是等腰直角三角形，CA=CB,4AC8=90。，点D是斜边AB的中点，点E是直

线AC上一点，连接。E,DFLDE,交直线BC于点F,连接EF.

（1）当点E在如图1的位置时，猜想并直接写出线段E4EC,EF之间的数量关系；

（2）当点E在如图2的位置时，（1）中的猜想是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写

出你的结论并说明理由；

（3）点E在直线AC上移动，当EA=CEC时，请直接写出NEDA的度数.

26.（本小题14.0分）

抛物线y=ax2+^x+C与X轴交于点4（—1,0）和点B,与y轴交于点C（0,3）.

(1)求抛物线的表达式；

(2)若。是第一象限抛物线上的一个动点，连接CD,DB,当四边形OCDB的面积最大时，求点

。的坐标，此时四边形OCDB的最大面积是多少；

(3)点E在直线X=I上，点尸在平面内，当以点4,C,E,F为顶点的四边形是矩形时，请直

接写出点F的坐标.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：2023的相反数是-2023.

故选：D.

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案.

本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义.

2.【答案】A

【解析】解：从正面看，可得选项A的图形.

故选：A.

找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的形状是正确判断的前

提.

3.【答案】D

【解析】解：4、2a-a=a,故A错误；

B、a?与/不能合并，故B错误；

Cs(-2α)3=-8α3,故C错误;

D、(―α3)2=a6,故力正确；

故选：D.

根据合并同类项法则，可判断4和8；根据积的乘方和累的乘方，可判断C和。.

本题考查了合并同类项法则，积的乘方和累的乘方，根据法则计算是解题关键.

4.【答案】A

【解析】解：这组数据中5出现的次数最多，故众数为5；

这组数据按照从小到大的顺序排列好为：1、3、4、5、5、6,故中位数为竽=4.5,

故选：A.

根据众数和中位数的定义直接求解即可.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据

按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组

数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解答此题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：4检测沈阳、大连、抚顺三市的空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意；

B.检测一批LED灯的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不合题意；

C.检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量，事关重大，适合全面调查，故本选项符合题意；

。.检测一批家用汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故本选项不合题意.

故选：C.

根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果

比较近似进行判断.

本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵

活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽

样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.

6.【答案】D

【解析】解：过含30。角的直角三角板的直角顶点8作BF〃①交AC于点F,

.∙.∆A=90o-LC=60°.

∙.∙∆1=Z.A+∆ADE,

.∙.∆ADE=60°.

-BF//I1,

.∙.∆ABF=∆ADE=60°,

乙FBG=90°-乙ABF=30°.

∙.∙BF∕∕∕1,I1//12,

∙∙BF∕∕I2,

：.4BGH+乙FBG=180°,

ʌZ.BGH=180°-4FBG=150°,

42=4BGH=150°.

故选：D.

过点B作BF〃/1，交4C于点F,利用三角形的外角的性质，平行线的性质定理和对顶角相等的性

质解答即可.

本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质定理，三角形的外角的性质，对顶角

相等，过点B作BF〃i交AC于点F是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：由作图过程可得：PQ为BO的垂直平分线，

ʌBM=MD,BN=ND.

设PQ与BD交于点0,如图，

则8。=DO.

•••四边形ABCn是矩形,

.∙.AD∕∕BC,

.∙.Z-MDO=LNBO,乙DMO=∆BNO,

⅛Δ“。0和4NBo中，

∆DM0=4BNo

乙MDo=KNBO,

OD=OB

.∙.∆MDO≤ΔNBO(AAS),

：.DM=BN,

.∙.四边形BNDM为平行四边形,

VBM=MD,DM=BN,

：.BM=BN,

.∙∙四边形MBND为菱形，

四边形MBNO的周长=4BM.

设MB=X,则MD=BM=X,

AM-AD-DM=4—X,

在RtMBM中，

∙.∙AB2+AM2=BM2,

ʌ22+(4-X)2=X2,

解得：X=|,

四边形MBND的周长=4BM=10.

故选：C.

利用作图过程可得PQ为BD的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质证

明四边形MBN。为菱形，利用勾股定理求得则结论可得.

本题主要考查了基本作图，作线段的垂直平分线，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的

判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，判定四边形MBNO为菱形是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：根据题意，可得给=新，

30+v30-v

故选：A.

根据“顺流航行144kτn与逆流航行96kτn所用时间相等”列分式方程即可.

本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键.

9.【答案】D

【解析】解：连接CD,

VAB=AC,4BAC=40°,

ʌ/.ABC=/.ACD=∣×(180o-40o)=70o,∆D=∆A=40°,

BD是G)。直径，

上BCD=90°,

:,乙DBC=50°,

：.乙BEC=180o-∆DBC-∆ACD=60°,

故选：D.

连接CD,根据等腰三角形性质得到ZABC=4C=；X(180°-40°)=70。，ND=乙4=40。根据圆

周角定理得到NBCD=90。，根据三角形内角和定理即可得到结论.

本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的想在，圆周角定理，三角形内角和定理，正确

地作出辅助线是解题的关键.

10.【答案】B

在RtZMBC中，AB=2,BC=4,贝∣J4C=2占，

pr,ɔI

而tan∕B4C=器=2,则SinNBAC=CoSNBAC=

在^AMN中，AM=t,

ɔ

贝IJaN=AMcos∆BAC,HN=ANsin∆BAC=AM-COSNBAC∙SinNB4C=t×^=×

则S=^AM∙W∕V=∣t×∣t=∣t2,该函数为开口向上的抛物线；

•••4ACB+乙NMC=90o,∆ACB+乙BAC=90°,

ʌ乙NMC=乙BAC,

在AABC中，CM=6-t,

则MN=CMCOSANMC=煮(6—t),AN=AC-CN=2√^5-CMSin乙NMC=2>J~5-ɪ(ð-

t)，

则S=；MN∙AN=(6—t)[√-5—(6—t)]=-112+ɪ-1—该函数为开口向F的抛物

线.

故选：B.

分0<t≤2∖2<t≤6两种情况，分别求出函数表达式即可求解.

本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、三角形的面积等知识点.解题关键是深刻理

解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程.

IL【答案】1.193×IO7

【解析】解:11930000=1.193×IO7.

故答案为：1.193x107.

科学记数法的表示形式为aXIO"的形式，其中i≤∣α∣<iθ,n为整数.确定n的值时，要看把原

数变成ɑ时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，

n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为α×IOn的形式，其中1≤∣α∣<10,n

为整数，表示时关键要正确确定ɑ的值以及n的值.

12.【答案】x(y+l)(y-1)

【解析】解：原式=x(y2-1)=χ(y+l)(y-1),

故答案为：x(y+l)(y-l)

原式提取无，再利用平方差公式分解即可.

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

13.【答案】乙队

【解析】解：•••两队队员的平均身高为或H=Xl=160cm,S余=10.5,SN=1.2,

即%>s)

・•・如果单从队员的身高考虑，演出形象效果较好的队是乙队.

故答案为：乙队.

根据方差的意义判断.

本题考查了方差的定义与意义：一般地设H个数据，X1,%2,…小的平均数为高则方差S?=i[(x1-

222

x)+(x2-%)+-+(xn-i)],它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之

也成立.

14.【答案】k>一1且％≠O

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程ɑχ2+bχ+c=o(ɑ≠O)的根的判别式△=b2-4ɑc：当4>0,方程有

两个不相等的实数根；当4=0,方程有两个相等的实数根；当/<0,方程没有实数根.也考查

了一元二次方程的定义.根据一元二次方程的定义和/的意义得到k#0且4>0,即(—2)2-4X

fc×(-l)>0,然后解不等式即可得到k的取值范围.

【解答】

解：••・关于X的一元二次方程A/-2x-1=O有两个不相等的实数根，

.∙.k≠O且4>0,即(一2)2-4×k×(-1)>0,

解得k>一1且卜≠0,

.∙.k的取值范围为Zc>一1且k≠0,

故答案为：k>-lβ,k≠0.

15.【答案】I

【解析】解：把“张飞”、“李逡”、“长矛”、“板斧”4个词条分别记为4B、C、D,

画树状图如下：

开始

ABCD

小∕1∖∕1∖ZN

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中抽到的人物与所携兵器恰巧对应的结果有4种,

・・・抽到的人物与所携兵器恰巧对应的概率为W=ɪ,

故答案为：ɪ.

画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的人物与所携兵器恰巧对应的结果有4种，再由概

率公式求解即可.

此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两

步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

16.【答案】2√~豆或/百

【解析】解：如图所示，CD=CB=,AC=C，乙4=30。，作CHJLAB于H,

・•・DH=BH,

•・・∆A=30°,

.∙.CH=^AC=∣,AH=√-3CH=∣√7,

在RtACBH中，由勾股定理得BH=√BC2_,=I3--=—，

y]42

.∙.AB=AH+BH=^y∕~3+=2y∕~3,AD=AH-DH==√^3-

故答案为：2，百或，

根据题意知，CD=CB,作CH_LAB于H,再利用含30。角的直角三角形的性质可得C”,AH的长，

再利用勾股定理求出BH,从而得出答案.

本题主要考查了勾股定理，含30。角的直角三角形的性质等知识，理解题意，求出8,的长是解题

的关键.

17.【答案】-2

【解析】解：设D（m，5），

•・•BD=2CDf

・•・BC=3CD,

∙∙∙4（3m,袅,

∙.∙四边形OaBD的面积为6,

,,,S梯形ABCG-SADOC=6，

：.^(AB+0C)-BC-^∖k∖=6,

・6琮+/(7m)-*=6,

解得k=-2,

故答案为：-2.

设n(m,[),则4(3τn,白)，得到BC=-3m,OC=A,4B=A-•白=案，利用S豳%IBCO-SXDoC=

S四动啦IBD得出X案+3)∙(-3m)-ɪ/e=6,解得k=-2.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数Zc的几何意义，明确S赭3BC。-

SADOC-S四龙形04BD是解题的关键.

18.【答案】2

【解析】解：过点C作CFIBC,且CF=4B,连接4尸，交BC于点。'，过点4作4"，CF,交FC的

延长线于点“，如图所示：

则NDCF=90°,

在等腰直角△力BC中，ΛBAC=90o,AB=AC,

在△4BE和ACFD中，

AB=CF

∆BAE=∆CFD,

.AE=CD

.∙.∆ΛβE≡∆CFD(SΛS),

:∙BE—DF9

・・.AD+BE的最小值即为/尸的长，此时点D与点。重合,

-AB=。，

:■√1C=CF=AB=V^^2,

•・・∆BAC=90°,

:∙Z-ACB=∆ABC=45°,

.∙.乙ACH=450,

.∙.∆HAC=乙HCA=45°,

.∙.AH=CH,

根据勾股定理，得AH?+CH2=AC2t

：.2AH2=2,

.∙.AH=1或AH=-1（舍去），

.∙.CH=AH=1,

.∙.HF=√-2+1，

•••∆AHF=ΛD'CF,∆D'FC=/LAFH,

:4D'CFsAAHF,

.∙.CD'tAH=CF:FH,

即CD'：1=。：（，7+1）,

解得CD'=2-√^2.

AD+BE取得最小值时，CD的长度为2-√^2,

故答案为：2—，工.

过点C作C尸1BC,S.CF=AB,连接4F,交BC于点D',过点4作4H1CF,交FC的延长线于点H,

可证△ABE=∆CFD（SAS）,根据全等三角形的性质可得BE=DF,可知AD+BE的最小值即为AF

的长，此时点。与点。'重合，再证明△DCF”△力HF,根据相似三角形的性质可得CD'：AH=CF：

FH,即可求出当4。+BE的值最小时，CD的长.

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股

定理，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键.

19.【答案】解：（∙j7-u¾r）+-⅛

vx-lxz-2x+lyx-1

_%-1—x+3x~l

（X-I）2'~

=--2---—1

X-I2

1

一x-lf

当X=2cos45°÷1=2×¥÷1=∖Γ~2+1时，原式=d--=

ZVz+1—1L

【解析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可化简题目中的式子，然后将X的值代入化

简后的式子计算即可.

本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法

则和运算顺序.

20.【答案】解：(1)九年级(1)班的人数为：12+

30%=40(A),

选择C类书籍的人数为：40-12-16-8=4(A),

补全条形统计图如图所示；

(2)m%=H×100%=40%,

则m—40；

(3)

・•・选择C类书籍的同学共4人，有2名女同学，

有2名男同学，

画树状图如图所示：

开始

男男女女

∕1∖/K/N∕T∖

男女女男女女男男女男男女

由树状图可知，共有12种情况，其中恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的有8种情况，

则p(一男一女)=ɪ=∣∙

【解析】(1)根据选择4类书籍的同学的人数和百分比计算，求出九年级(1)班的人数，求出选择C类

书籍的人数，补全条形统计图；

(2)求出选择B类书籍的人数，求出m；

(3)根据题意画出树状图，求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率.

本题考查的是求随机事件的概率、条形统计图和扇形统计图，能够正确从统计图中获取相关的信

息是解题的关键.

21.【答案】解：（1）设每盒4种型号的颜料X元，每盒B种型号的颜料y元，

依题意得：Cl；二方

解得：｛y≡16-

答：每盒4种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元.

（2）设该中学可以购买Tn盒A种型号的颜料，则可以购买（200-巾）盒B种型号的颜料，

依题意得：24m+16（200-τn）≤3920,

解得：m≤90.

答：该中学最多可以购买90盒4种型号的颜料.

【解析】（1）设每盒4种型号的颜料X元，每盒B种型号的颜料y元，根据“购买1盒4种型号的颜料

和2盒B种型号的颜料需用56元；购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元”，即可

得出关于X,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设该中学可以购买Tn盒A种型号的颜料，则可以购买（200-爪）盒B种型号的颜料，利用总价=单

价X数量，结合总价不超过3920元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即

可得出结论.

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系,

正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

22.【答案】解：（1）•••∆MPA=60o,Z.NPD=45°,

•••乙APD=180o-∆MPA-乙NPD=75°.

过点A作AE1CD于点£

B

则NZλ4E=30o,

.∙.∆ADC=180o-90o-30o=60o.

故答案为：75；60.

(2)由题意可得4E=BC=Ioo米，EC=AB=10米,

在Rt△4E。中，∆DAE=30°,

tan3。。嚏DE√^3

Too=~,

解得CE=吟且，

.∙.CD=DE+EC=+10）米.

•••楼C。的高度为（吗W+10）米.

（3）过点P作PGIBC于点G,交AE于点F,

则NPB4=∆AED=90o,FG=AB=10米,

•••MN//AE,

.∙.∆PAF=/-MPA=60°,

•••∆ADE=60°,

・•・Z.PAF=∆ADE,

VZ-DAE=Z30°,

・•・Z.PAD=30°,

VZ-APD=75°,

・•・Z-ADP=75°,

・•・∆ADP=Z-APD1

则AP=加

APF=^DAE(AAS)f

.∙.PF=AE=IOO米,

.∙.PG=PF+FG=100+10=110(米).

.∙∙此时无人机距离地面BC的高度为110米.

【解析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本

题的关键.

(1)由平角的性质可得乙4PD；过点A作AE1C。于点E.则4DAE=30°,根据三角形内角和定理可

得NzWC.

(2)由题意可得AE=BC=Ioo米，EC=AB=10米，在Rt△4ED中，tcm3(r="=匹=虫，

AE1003

解得。E=*C1,结合CD=DE+EC可得出答案.

⑶过点P作PG1BC于点G,交AE于点凡证明△APF=HDAE,可得PF=AE=Ioo米，再根据

PG=PF+FG可得出答案.

23.【答案】⑴证明：∙∙∙OD1OC,

乙COD=90°,

.∙.∆BOC+Z.AOD=180°-90°=90°,

又∙.∙∆ADO=NBOC,

.∙.∆ADO+Z.AOD=90°,

.∙.∆OAD=180°-90°=90°,

即04_LAD,

。力是半径，

:,力。是O。的切线；

(2)解：•••OA=OC,

・∙・Z-OAC=∆OCA,

1OE

・•・tan∆OAC=-=tanzOCΛ=—,

•・,/8是直径，

・・・乙oo

ACB=90=Z-OADf即NoCB+∆OCA=90=∆OAC+∆DAE,

∙∙∆DAE=∆OCB,

又•・•Z.ADO=CBOC,

：・∆DEA=乙B,

•・・OB=OCf

ʌZ-OBC=∆OCB,

・∙・Z-DAE=∆DEA,

3

ʌAD=DE=γ

设半径为r,贝(JoE=Tr,OD=ɪr÷|,

在RtZkAOD中，由勾股定理得，

AD2-VOA2=OD2,

即(令2+N=(ɪr+|)2,

解得r=2或r=0(舍去)，

即半径为2.

【解析】(1)根据垂直、平角的定义可得NO+44。0=90。，进而得到40，。A即可；

(2)根据圆周角定理、三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定和性质，可得到4D=DE,再根

据锐角三角函数可得OE=ToC,在RtAAOO中由勾股定理可求半径.

本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，直角三角形的边角关系以及等腰三角形，掌握切线的

判定方法，直角三角形的边角关系是解决问题的前提.

24.【答案】解:(1)设%=kx1+b(k≠0),

将(Ll580),(2,1560)代入上式得，

(k+b=1580

l2k+b=1560'

解得，忆温，

・•・力与Xi的函数关系式是%=-2Ox1+1600.

(2)设4手机的采购量为X部，则B款手机的采购量为(20-%)部，

由题意得，X≥20-X,

解得工≥10,

又20-x≥5,

解得％≤15,

・•・10≤X≤15,

y2=-IOx2+1360=-10(20-%)+1360=IOx+1160,

设总利润为W元，

χ

贝IJW=(1800—y1)x1+(1700—y2)2

=[1800-(-20x+1600)]x+[1700-(10x+1160)](20-X)

=30x2-540%+10800

=30。-9)2+8370,

30>0,

二在X=9的右侧，W随X的增大而增大，

•：10≤X≤15,

・•・当X=15时，W最大道=30×(15-9)2+8370=9450,

答：采购4款手机15台时总利润最大，最大利润为9450元.

【解析】(1)设％=k∕+b(k≠O),将(1,1580),(2,1560)代入,求出k,b的值即可.

(2)设4手机的采购量为X部，则B款手机的采购量为(20-x)部，设总利润为W元，W=(1800-

y1)x1+(1700-y2)⅞*再化为W关于X的二次函数关系式，求最答值即可.

本题考查了二次函数的实际应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃

透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.

25.【答案】解：⑴连接CD,

raι

•••△ABC是等腰直角三角形，CA=CB,NaCB=90。，点D是斜边AB的中点,

乙4=4B=450,CDLAB,AD=CD=DB,

：.4DCB=4B=45°,

.∙.Z-A=Z-DCB,

即=(DCF,

VDF1DE,

・・・∆ADE+∆EDC=90o,∆CDF+乙EDC=90°,

:,Z.ADE=∆CDF,

在A4ED与尸。中,

乙4=(DCF

AD=CD,

∆ADE=乙CDF

/.△AED≡∆CFD(ASA)f

.∙∙AE=CF,

••AC=BC,

・・・BF=CE,

⅛Λt∆EFCφ,CE2+CF2=EF2,

^AE2EC2=EF2;

(2)½F2+EC2=EF2,仍成立，连接CD,理由如下:

：•Z.CAB=Z,B=45°,

・・・CD为AB的中线，

:∙CD1AB,AD=CD=BD,∆ACD=(BCD=45°,

・•・∆EAD=180o-Z-CAD=135o,LFCD=180°一乙B1C35D°,

ʌZ-EAD=∆FCD,

VDF1DE,

・•・∆ADE÷Z-HDF=乙CDF+4HDF=90°,

：•∆ADE=乙CDF,

在AAED与ACFD中，

(∆EAD=乙FcD

{AD=CD,

LylDF=Z.CDF

y

.∙.Δ∕1FD=∆CFD^ASA)f

^AE=CF,

在RtZkEFC中，CE2+CF2=EF2,

BIUF2+EC2=EF2;

(3)由(2)可知4fi∙2+EC2=EF2,

“AE=CEC,

.∙.(√^3FC)2+EC2=EF2,

：.EF=2EC,

•：乙ECF=90°,

乙FEC=30°,

AED=Δ,CFD,

.・・ED=FD,

V∆EDF=90°,

・•・乙FED=45°,

ʌ∆AED=45°-30°=15°,

・・・Z,ADE=45°-15°=30°.

【解析】(1)连接CD,利用全等三角形的判定和性质得出AE=CF,进而利用勾股定理解答即可:

(2)连接C。，利用全等三角形的判定和性质得出4E=CF,进而利用勾股定理解答即可；

(3)根据(2)