三角函数值域-苏科版-南京名师讲堂

三角函数的值域南京市第十三中学周德

同学们已经知道三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域分别为[－1，1]，[－1，1]，(－∞，＋∞).

没有没同学考虑过把这些函数进行加、减、乘、除等运算后得到的新的与三角函数有关的函数的值域是多少？如函数y＝sinx＋cosx的值域是多少？

有些同学这样想，因为－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，相加得－2≤sinx＋cosx≤2,

即y＝sinx＋cosx的值域为[－2，2]．你认为这样得到的结果正确吗？如果正确，则y能取到－2，也就是sinx，cosx都取－1，这两个值能同时取到－1吗？

根据sin2x＋cos2x＝1知道，显然不可能．其中一个取－1，另一个只能取0，因此y不可能取到－2．

从而值域一定不是[－2，2]．

我们也可以从图像上看，我们先在同一直角坐标系中画出y＝sinx，y＝cosx的图像．

xyOy＝sinxy＝cosxy＝sinx＋cosx我们可以用叠加法作出函数y＝sinx＋cosx的图像，观察其值域不是[－2，2]．题型：求三角函数的值域问题特征：同角正余弦的一次齐次式

．例1．求函数y＝sinx＋cosx的值域．例1．求函数y＝sinx＋cosx的值域．分析：

同学们除知道三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域分别为[－1，1]，[－1，1]，(－∞，＋∞)外，还知道哪些与三角函数有关的函数值域？

大家一定不会忘记函数y＝Asin(

x＋

)这类三角函数吧，它的值域是什么呢？

当A＞0时，值域是[－A，A]，当A＜0时，值域是[A，－A]．

观察一下，我们要研究的函数y＝sinx＋cosx与函数y＝Asin(

x＋

)有什么关系呢？很显然，把y＝Asin(

x＋

)用和角公式展开，即可得y＝asinx＋bcosx的形式，正好是两个一次的同角三角函数的和．

因此，逆用公式即可把y＝sinx＋cosx转化为y＝Asin(

x＋

)的形式．从而可以求出值域．

解：

例1．求函数y＝sinx＋cosx的值域．方法：

解：

题型：求三角函数的值域问题特征：同角正余弦的二次齐次式

．

例2．求函数y＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x的值域．

分析：

同学们刚才解决了一次齐次式y＝asinx＋bcosx的值域，找一找要求的函数y＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x与已解决的函数y＝asinx＋bcosx的联系，两个都是同角齐次，只是次数不一样，能否把二次也化为一次呢，如果能做到这一点，那么问题就可以解决了．

能找到化二次为一次的公式吗？

因为sin2

＝2sin

cos

，

cos2

＝cos2

－sin2

，它们的特点都左边为一次，右边为二次的，从左到右是升次，从右到左是降次．因此，只要逆用这些公式，即可实现化二次为一次的目的．解：

例2．求函数y＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x的值域．

方法：

解：

题型：求三角函数的值域问题特征：同角正余弦非齐次式．例3．求函数y＝2sinx－cos2x的值域．

分析：

上面两类问题最终都化为

y＝Asin(

x＋

)＋B的形式，然后再求值域．那么函数y＝2sinx－cos2x

能化为上面的类型吗？

解：

例3．求函数y＝2sinx－cos2x的值域．

方法：

解：

题型：求三角函数的值域问题特征：同角正余弦非齐次式．例4．求函数y＝sinx＋2sinxcosx＋cosx的值域

．

分析：

刚才解决了y＝asin2x＋bcos2x＋csinx或函数y＝asin2x＋bcos2x＋ccosx这两种类型函数的值域，特征是一次只有正弦或余弦中的一个，二次为正弦或余弦平方.而本题与上面有两处不同，一是一次既有正弦也有余弦，二是二次是正弦与余弦的积.

由于这两点不同，这就使我们用平方关系进行化同名不易操作了，而且此式中正弦、余弦的地位完全相同，也给我们消元带来难处，不知消那一个，消哪一个都不公平.我们为了避免矛盾，是否可以考虑把正弦、余弦一起消去？根据前面讲的用同角三角函数之间关系进行求值可知，只要令sinx＋cosx＝t，则2sinxcosx＝t2－1，这样函数转化为y＝t＋t2－1为一个关于t的二次函数，根据t的取值范围可求出y的值域．

解：

例4．求函数y＝sinx＋2sinxcosx＋cosx的值域

．

方法：

解：

这一讲我们主要讨论了形如y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x＋dsinx＋ecosx＋f这样形式的三角函数的值域，变形的思想是把函数式化为同名同角的形式，再利用基本三角函数、一次函数、二次函数的求值域的方法解决问题．

y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x＋dsinx＋ecosx＋f下面三种特殊的类型，大家一定要熟练掌握：

①当a＝b＝c＝0，或d＝e＝0时，此时函数分别为同角正余弦的一次齐次式或二次齐次式，最终化y＝Asin(

x＋

)＋B的形式求出值域；

②