函数y=(9x+1)²(x+14)³的主要性质及图像示意图

解析函数y=(9x+1)2(x+14)3的主要性质主要内容：通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限的性质，并通过函数导数知识求解函数的单调区间和凸凹区间，并简要画出函数y=(9x+1)2(x+14)3示意图的过程与步骤。※.函数定义域根据函y=(9x+1)2(x+14)3特征，可知函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）※.函数一阶导数：※.函数乘积求导法。∵y=(9x+1)2(x+14)3，∴y'=18(9x+1)(x+14)3+(9x+1)2*3*(x+14)2，=(9x+1)(x+14)2(18x+252+27x+3),=(9x+1)(x+14)2(45x+255)※.取对数求导法。∵y=(9x+1)2(x+14)3，取导数有：∴lny=ln(9x+1)2(x+14)3,即：lny=2ln(9x+1)+3ln(x+14),两边同时对x求导：eq\f(y',y)=eq\f(18,9x+1)+eq\f(3,x+14),y'=y(eq\f(18,9x+1)+eq\f(3,x+14)),y'=(9x+1)2(x+14)3(eq\f(18,9x+1)+eq\f(3,x+14)),y'=(9x+1)(x+14)2[18(x+14)+3(9x+1)],y'=(9x+1)(x+14)2(45x+255).令y'=0，有9x+1=0，45x+255=0，即：x1=-eq\f(1,9)，x2=-eq\f(17,3).(1)当x∈(-∞，-eq\f(17,3))，(-eq\f(1,9),+∞)时，eq\f(dy,dx)>0,此时函数为增函数。(2)当x∈[-eq\f(17,3)，-eq\f(1,9)]时，eq\f(dy,dx)<0,此时函数为减函数。※.函数的凸凹性∵y'=(9x+1)(x+14)2(45x+255)∴y''=9(x+14)2(45x+255)+(9x+1)[2(x+14)(45x+255)+45(x+14)2]=9(x+14)2(45x+255)+(9x+1)(x+14)[2(45x+255)+45(x+14)]=(x+14)[9(1x+14)(45x+255)+2(9x+1)(45x+255)+45(9x+1)(x+14)]=(x+14){(45x+255)[9(x+14)+2(9x+1)]+45(9x+1)(x+14)}=(x+14)(1620x2+18360x+33270)=30(x+14)(54x2+612x+1109).令y''=0，则x+14=0，或54x2+612x+1109=0，即：x3=-14,x4=eq\f(-102-25\r(6),18)≈-9.06,x5=eq\f(-102+25\r(6),18)≈-2.26,此时函数的凸凹性性及凸凹区间为：(1)当x∈(-∞,-14),(-9.06,-2.264)时，y''<0,此时函数y为凸函数。(2)当x∈[-14,-9.06],[-2.264,+∞)时，y''>0,此时函数y为凹函数。.函数的极限lim(x→-∞)(9x+1)2(x+14)3=-∞；lim(x→+∞)(9x+1)2(x+14)3=+∞；lim(x→0)(9x+1)2(x+14)3=143。.函数的五点图x-19-14-9.06-5.66-2.264-0.110.3888(9x+1)228900156256499.362500375.63020.25(x+14)3-1250119.91578.701616.12679.12979.0y-361250007793381446750607056060325※.函数的示意图 y=(9x+1)2(x+14)3y(-5.66,1446750)(-9.06,779338)(-2.264,607056)(0.3888,60325)