函数y=(9x+4)²(9x+16)³的主要性质及图像示意图

函数y=(9x+4)2(9x+16)3的主要性质及其图像示意图主要内容：通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限的性质，并通过函数导数知识求解函数的单调区间和凸凹区间，并简要画出函数y=(9x+4)2(9x+16)3示意图的过程与步骤。※.函数定义域根据函y=(9x+4)2(9x+16)3特征，可知函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）※.函数一阶导数：※.函数乘积求导法。∵y=(9x+4)2(9x+16)3，∴y'=18(9x+4)(9x+16)3+(9x+4)2*27*(9x+16)2，=(9x+4)(9x+16)2(162x+288+243x+108),=(9x+4)(9x+16)2(405x+396)※.取对数求导法。∵y=(9x+4)2(9x+16)3，取导数有：∴lny=ln(9x+4)2(9x+16)3,即：lny=2ln(9x+4)+3ln(9x+16),两边同时对x求导：eq\f(y',y)=eq\f(18,9x+4)+eq\f(27,9x+16),y'=y(eq\f(18,9x+4)+eq\f(27,9x+16)),y'=(9x+4)2(9x+16)3(eq\f(18,9x+4)+eq\f(27,9x+16)),y'=(9x+4)(9x+16)2[18(9x+16)+27(9x+4)],y'=(9x+4)(9x+16)2(405x+396).令y'=0，有9x+4=0，405x+396=0，即：x1=-eq\f(4,9)，x2=-eq\f(44,45).(1)当x∈(-∞，-eq\f(44,45))，(-eq\f(4,9),+∞)时，eq\f(dy,dx)>0,此时函数为增函数。(2)当x∈[-eq\f(44,45)，-eq\f(4,9)]时，eq\f(dy,dx)<0,此时函数为减函数。※.函数的凸凹性∵y'=(9x+4)(9x+16)2(405x+396)∴y''=9(9x+16)2(405x+396)+(9x+4)[18(9x+16)(405x+396)+405(9x+16)2]=9(9x+16)2(405x+396)+(9x+4)(9x+16)[18(405x+396)+405(9x+16)]=(9x+16)[9(9x+16)(405x+396)+18(9x+4)(405x+396)+405(9x+4)(9x+16)]=(9x+16){(405x+396)[9(9x+16)+18(9x+4)]+405(9x+4)(9x+16)}=(9x+16)(131220x2+256608x+111456)=324(9x+16)(405x2+792x+344).令y''=0，则9x+16=0，或405x2+792x+344=0，即：x3=-eq\f(16,9)≈-1.7,x4=eq\f(-44-6\r(6),45)≈-1.30,x5=eq\f(-44+6\r(6),45)≈-0.65,此时函数的凸凹性性及凸凹区间为：(1)当x∈(-∞,-1.77),(-1.30,-0.651)时，y''<0,此时函数y为凸函数。(2)当x∈[-1.77,-1.30],[-0.651,+∞)时，y''>0,此时函数y为凹函数。.函数的极限lim(x→-∞)(9x+4)2(9x+16)3=-∞；lim(x→+∞)(9x+4)2(9x+16)3=+∞；lim(x→0)(9x+4)2(9x+16)3=42*163。.函数的五点图x-6.777-1.77-1.30-0.97-0.651-0.440.0555(9x+4)2324914459.898123.043.4618020.25(9x+16)3-9112077.342373.241042.417284492.1y-296048880463385993609090965※.函数的示意图y=(9x+4)2(9x+16)3y(-0.97,8599)(-1.30,4633)(-0.651,3609)