模块一专题1《平面向量的概念与运算》 单元检测篇A基础卷 高一第二学期数学人教A版（2019）期中考试专练

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页模块一专题1平面向量的概念与运算A基础卷1.考查范围：《平面向量的概念与运算》2.试题难度：0.883.试题亮点：（1）背景新颖：如第13题，以正五角星为背景，体现我国文化的源远流长，考查了数形结合与数学建模的数学素养.（2）考向新颖：第12题是双空题，这种题型是近年高考的热点题型，可以自主的让学生在不同的条件中，根据自己所学灵活选择，充分考查学生的数学抽象素养与数学运算素养.（3）情境题目：第19题是新情境题目，建立复杂的问题情景，属于九省联考的新题型，考查学生的数学思维方式，包括对研究对象定义的理解，基于定义的逻辑推理、数学运算，当然还有阅读理解、数学表达等.（４）知识交汇：第14题属于物理知识与向量的知识交汇.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（22-23高一下·新疆·期中）1．已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（

）A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向C．向量的起点是 D．向量的终点是（22-23高一下·天津河西·期中）2．下列说法错误的是（

）A．向量与的长度相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点相同C．共线的单位向量都相等 D．只有零向量的模等于0（22-23高一下·北京·期中）3．给出下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若且，则 D．若，，则（22-23高一下·安徽六安·期中）4．下列说法错误的是（

）A．若ABCD为平行四边形，则 B．若，，则C．互为相反向量的两个向量模相等 D．（22-23高一下·山西运城·期中）5．已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（

）A．1 B． C．1或 D．1或（22-23高一下·云南西双版纳·期中）6．在四边形中，若，且，则（

）A．在四边形是矩形B．在四边形是菱形C．在四边形是正方形D．在四边形是平行四边形（22-23高一下·全国·期中）7．平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系式：，则下列结论正确的是（

）A．在上，且 B．在上，且C．在上，且 D．点为的重心（22-23高一下·湖南长沙·期中）8．下列命题：①若，则；②若，，则；③的充要条件是且；④若，，则；⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（22-23高一下·陕西西安·期中）9．下列命题正确的的有（

）A．B．C．若，则共线D．，则共线（22-23高一下·山西大同·期中）10．下列命题中是假命题的为（

）A．已知向量，则，可以作为某一平面内所有向量的一个基底B．若，共线，则C．已知是平面的一个基底，若，则也是该平面的一个基底D．若，，三点共线，则（22-23高一下·河南郑州·期中）11．在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则下列说法正确的是（

）

A．B．C．为定值D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．（23-24高三上·广东梅州·期中）12．正六边形的中心是点，以这七个点为起点或终点的向量中，与相等的向量共有个，与的模相等且夹角为的向量共有个．（22-23高一下·陕西·宝鸡）13．正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，，，，，是正五边形的五个顶点，且，若，则（用表示）.（22-23高一下·湖北荆州·期中）14．如图所示，无弹性细绳，的一端分别固定在，处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且使得，则，，三根细绳受力最大的是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（22-23高一下·黑龙江鸡西·期中）15．设向量，不共线．若，．若A，B，C三点共线，求实数的值．（22-23高一下·新疆喀什·期中）16．化简下列各式：(1)；(2)；(3)；（22-23高一下·山东潍坊·期中）17．设，是平面内不平行的非零向量，，.(1)证明：，组成平面上向量的一组基底；(2)请探究是否存在实数k，使得和平行？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.（22-23高一下·江苏盐城·期中）18．如图，在中，点D为的中点，点E在线段上，与交于点O.

(1)若，求证：；(2)若，，求实数的值.（22-23高一下·江苏盐城·期中）19．如图所示，在中，在线段BC上，满足，O是线段的中点.

(1)当时，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，①求的最小值；②设的面积为，的面积为，求的最小值.(2)若的面积为，，且，，，，，是线段BC的n等分点，其中，n、，，求的最小值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D【分析】根据向量的几何表示逐个选项分析可得答案.【详解】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确；向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确.故选：D2．C【分析】根据相反向量、相等向量、单位向量和零向量的定义判断各个选项．【详解】对于A，向量与互为相反向量，其长度相等，故A正确；对于B，因为相等向量的方向相同，长度相等，则两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，故B正确；对于C，共线的单位向量可以是相反向量，故C错误；对于D，因为模长为0的向量为零向量，所以只有零向量的模长等于0，故D正确．故选：C．3．B【分析】根据向量平行及相等定义分别判断各个选项即可.【详解】对于A，当与方向不同时，不成立，∴A错误，对于B，若，，则，∴B正确，对于C，当与方向相反时，不成立，∴C错误，对于D，当时，满足，，但不一定成立．所以D错误.故选：B．4．B【分析】根据向量的相关概念和线性运算逐项分析判断.【详解】对于A：若ABCD为平行四边形，则，故A正确；对于B：若，则与任何向量均平行，可得，，但不一定平行，故B错误；对于C：相反向量：模长相等，方向相反的向量互为相反向量，所以互为相反向量的两个向量模相等，故C正确；对于D：因为，故D正确；故选：B.5．A【分析】利用向量共线定理求解即可【详解】因为向量与方向相同，所以存在唯一实数，使，因为向量，不共线，所以，解得或（舍去），故选：A6．A【分析】由平面向量加法的平行四边形法则可判断为平行四边形，再由向量加法、减法运算和模的含义可得对角线相等，然后可判断四边形形状.【详解】因为，所以四边形为平行四边形，又，所以，即对角线相等，所以四边形为矩形.故选：A7．A【分析】根据平面向量线性运算求得正确答案.【详解】依题意，，，，所以三点共线，所以A选项正确.故选：A8．A【分析】利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用相等向量的定义以及充分条件、必要条件的定义可判断③⑤；取可判断④.【详解】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错；对于②，若，，则，②对；对于③，且或，所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错；对于④，取，则、不一定共线，④错；对于⑤，若、、、是不共线的四点，当时，则且，此时，四边形为平行四边形，当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知，所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对.故选：A.9．ABC【分析】根据向量的数乘运算判断A，B；由共线向量的定义判断C，D.【详解】解：对于A，，故正确；对于B，，故正确；对于C，因为，所以，所以共线，故正确；对于D，因为恒成立，所以不一定共线，故错误.故选：ABC.10．AB【分析】A中，共线向量有可能有零向量，所以不能作为基底，判断A的真假；B中，共线向量不一定相等，判断B的真假；C中，由向量的基底的定义及向量的基本性质，可得，不共线，判断C的真假；D中，由三点共线的性质可判断D的真假．【详解】A中，若或中至少一个为零向量时，，就不能作为基底，所以A不正确；B中，若，共线，而，的方向不一定相同，且模长也不一定相等，所以B不正确；C中，因为是平面的一个基底，则与不共线，而，所以，不共线，所以可以作为该平面的基底，所以C正确；D中，由题得得，，即，即，即，所以D正确；故选：AB．11．BCD【分析】根据题意，利用向量的线性运算，得到，结合、、三点共线，求得，再化简得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，因为，即，所以，又因为，，所以，，所以，因为、、三点共线，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：BCD．

12．【分析】直接写出符合条件的向量即可得个数.【详解】与相等的向量有，共个，与的模相等且夹角为的向量有，共个.故答案为：；.13．【分析】使用平面向量线性运算知识进行求解即可.【详解】由已知，结合正五角星的图形，有，∵与方向相同，，∴.故答案为：.14．【分析】设，，三根细绳对所施力分别为，，，可知，在平行四边形中比较向量模的大小即可求解.【详解】受力最大的是，理由如下：设，，三根细绳对所施力分别为，，，则，设与的合力为，则，如图：在平行四边形中，因为，，所以，，即，，所以绳受力最大.故答案为：.15．2.【分析】根据给定条件，利用平面向量基本定理列式计算作答.【详解】因为A，B，C三点共线，则，存在实数，使得，而，．因此，即，又向量，不共线，于是，解得，所以实数的值是2.16．(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）按照向量的加法、减法法则计算即得.【详解】（1）；（2）；（3）.17．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）证明不共线即可；（2）设，然后可建立方程组求解即可.【详解】（1）假设共线，设，则，因为，是平面内不平行的非零向量，所以，无解，所以不共线，所以，组成平面上向量的一组基底，（2）假设存在实数k，使得和平行，设，则，因为，是平面内不平行的非零向量，所以，解得，所以存在实数k，使得和平行，.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由点D为的中点可得，再结合已知条件即可证明；（2）设，，，利用向量加减法法则可得，，从而可得，即可求解.【详解】（1）因为点D为的中点，所以，因为，，两式相加得，所以，即.（2）由，得，设，，，则，又.所以，因为，不共线，所以，解得.19．(1)①；②(2)【分析】（1）①根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1可得的关系，再利用基本不等式即可得解；②利用三角