微专题06圆锥曲线中非对称韦达定理问题的处理 2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（江苏专用）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页微专题06圆锥曲线中非对称韦达定理问题的处理研考题·聚焦关键词解析几何问题中的一些定值、定点、定线，经常出现需要证明类似（为常数），为定值的情形，通过直线代换可得：，但此时的式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”题型一定直线例1【2023年新高考2卷21】1．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.变式2．已知点A、分别是椭圆：的上、下顶点，、是椭圆的左、右焦点，，．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于不同两点、（、与椭圆上、下顶点均不重合），证明：直线、的交点在一条定直线上．题型二定点例2（安徽省六校教育研究会2023-2024学年高三下学期下学期第二次素养测试（2月）数学试题）3．已知点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若点，直线，过点的直线与交于两点，直线与直线分别交于点．证明：的中点为定点．变式【江苏省扬州市高邮中学2023届高考前热身训练（二）】4．设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.(1)求的值；(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.题型三定值例3（湖南省2024届高三数学新改革提高训练一）5．已知圆的方程,,，抛物线过两点，且以圆的切线为准线.(1)求抛物线焦点的轨迹C的方程；(2)已知，设x轴上一定点，过T的直线交轨迹C于两点（直线与轴不重合），求证：为定值.变式【江苏省扬州中学2023届高三下学期模拟检测六】6．已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.(1)求的面积；(2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.巩固能力·突破高分（广东省潮州市2022届高三上学期期末数学试题）7．已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．8．已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且．(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.（江苏省徐州市第七中学2023届高三上学期一检）10．已知双曲线的实轴长为4，左､右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时，(1)设直线的斜率分别为，求的值；(2)若，求的面积.11．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为.(1)求点的轨迹的方程；(2)过作不平行于坐标轴的直线交于D，E两点，若轴于点M，轴于点N，直线DN与EM交于点Q.①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线；②求面积的最大值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)(2)证明见解析.【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为.（2）由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，

直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.2．(1)(2)答案见解析.【分析】（1）根据体积确定椭圆中、的值，得出椭圆的标准方程.（2）先设出直线方程，与椭圆方程联立，消去，利用一元二次方程根与系数的关系，写出，，再表示出直线、，确定其交点，并判断它们的交点在一条定直线上.【详解】（1）由，，所以所求椭圆的标准方程为：.（2）如图：过点的直线与椭圆相交于、两点，因为、不与A、重合，故直线的斜率一定存在.设直线方程为：，联立方程组：，消去得：.设，，则，.所以.直线：；直线:.所以：.所以：.即直线与的交点在定直线上.【点睛】方法点睛：求证点在定直线上的问题，一般可以采用以下方法：（1）求出点的坐标，根据横纵坐标的关系，写出直线方程，得到点在定直线上；（2）大胆猜测定直线的性质，如该题就大胆猜测两直线的交点所在的直线与轴平行，所以直接消去x，得到y的值，从而确定交点在定直线上.3．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由双曲线定义得到点的轨迹是以为焦点的双曲线，求出答案；（2）设，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，得到直线，求出的坐标，同理得到的坐标，得到的中点坐标.【详解】（1）由题意可得，且为的中点，又为的中点，所以，且．因为点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，由垂直平分线的性质可得，所以，所以由双曲线的定义可得，点的轨迹是以为焦点的双曲线．，故曲线的方程为；（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，联立方程，消去得：，则，解得，且，①由，得直线，令，解得，即，同理可得，则，所以的中点为定点.【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程中的应用，只要动点满足已知曲线的定义，就可直接得到所求轨迹方程，求解过程中要注意一些轨迹问题中包含隐含条件，也就是曲线上的点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标.4．(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，从而得到两点的坐标，得到三角形的面积为，列出方程，求出的值；（2）设出直线方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据三点共线，得到斜率相等，列出方程，代入后求解出，求出直线所过的定点.【详解】（1）双曲线：的渐近线方程为，不妨设，因为三角形的面积为，所以，所以，又，所以.（2）双曲线的方程为：，所以右焦点的坐标为，依题意，设直线与轴交于点，直线的方程为，设，，则，联立，得，且，化简得且，所以，，因为直线的斜率存在，所以直线的斜率也存在，因为，，三点共线，所以，即，即，所以，因为，所以，所以，所以，化简得，所以经过轴上的定点.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设直线的方程为，，，则，再将其与双曲线方程联立，从而得到韦达定理式，根据三点共线，则有，整理代入韦达定理式化简求出值即可.5．(1)；(2)证明见解析．【分析】（1）是圆的切线，分别过作直线的垂直，垂足分别为，由，利用椭圆定义可得轨迹方程；（2）设直线的方程为，设，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，然后计算，代入化简可得．【详解】（1）如图，是圆的切线，分别过作直线的垂直，垂足分别为，又是中点，则是直角梯形的中位线，，设是以为准线的抛物线的焦点，则，，所以，所以点轨迹是以为焦点的椭圆，椭圆长轴长为8，，则，因此，所以抛物线的焦点轨迹方程为；

（2）由题意设直线的方程为，设，由得，，，，代入，，得为常数．

【点睛】方法点睛：本题考查椭圆中定值问题，解题方法是设交点坐标．设直线方程，直线方程与椭圆方程联立方程组后消元应用韦达定理得（或），利用交点坐标计算出要证明常数的量，然后代入韦达定理的结果化简变形即可得．6．(1)(2)为定值.·【分析】（1）设，根据两点间长度得出与，即可根据已知列式解出，即可得出答案；（2）根据第一问得出双曲线的方程，设，直线l的方程为，根据韦达定理得出，即可根据直线方程得出与，则根基两点斜率公式得出，化简代入即可得出答案.【详解】（1）依题意可知，，则，，又，所以，解得（舍去），又，所以，则，所以的面积.（2）由（1）可，解得，所以双曲线C的方程为，设，则，则，，设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：，由，得，由一元二次方程根与系数的关系得，所以，，则，故为定值.·7．(1)(2)存在定点，使得为定值【分析】（1）求得圆得方程，由直线与圆相切得条件，可得的值，再由离心率可求得，从而可得，即可得出答案；（2），假设存在，设，，联立,消，利用韦达定理求得，分析计算从而可得出结论.【详解】（1）解：由离心率为，得，及，又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为，且与直线相切，所以，所以，，所以椭圆C的标准方程为；（2）解：假设存在，设，联立,消整理得，，设，则，由，则，要使上式为定值，即与无关，则应，即，此时为定值，所以在x轴上存在定点，使得为定值.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了满足条件的定点是否存在的判断与方法，考查了定值定点问题，考查了学生的计算能力和数据分析能力，计算量较大.8．(1)(2)以线段为直径的圆过定点和．【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解，进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解，（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.【详解】（1）∵双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，而，∴．∴双曲线的方程为．依题意直线的方程为．由消去y整理得：，依题意：，，点A，B的横坐标分别为，则．∵，∴．∴，∴．即，解得或（舍去），且时，，∴双曲线的方程为．（2）依题意直线的斜率不等于0，设直线的方程为．由消去整理得：，∴，．设，，则，．直线的方程为，令得：，∴．同理可得．由对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则该定点一定在轴上，设该定点为，则，，故．解得或．故以线段为直径的圆过定点和．【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高.9．（1）；（2）.【分析】(1)利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值.【详解】(1)因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，，所以，轨迹的方程为.（2）[方法一]【最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示，设,设直线的方程为．

联立,化简得.则．故．则．设的方程为，同理．因为，所以，化简得，所以，即．因为，所以．[方法二]：参数方程法设．设直线的倾斜角为，则其参数方程为，联立直线方程与曲线C的方程，可得，整理得．设，由根与系数的关系得．设直线的倾斜角为，，同理可得由，得．因为，所以．由题意分析知．所以，故直线的斜率与直线的斜率之和为0．[方法三]：利用圆幂定理因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．设,直线的方程为，直线的方程为,则二次曲线．又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：，整理可得：，其中．由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即.【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.10．(1)；(2).【分析】（1）法一：根据实轴长，求得a值，根据题意，求得，可得b值，即可得曲线C方程，设直线方程为，与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，代入，化简整理，即可得答案.法二：由题意，求得a，b的值，即可得曲线C方程，设方程为，与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，代入，化简整理，即可得答案.（2）法一：因为，根据二倍角的正切公式，结合及，化简计算，可得，进而可得方程，与曲线C联立，可得M点坐标，即可得直线的方程，根据面积公式，即可得答案.法二：设，由，结合二倍角正切公式，可得的值，进而可得直线方程，与曲线C联立，可得，同理可得，代入面积公式，即可得答案.【详解】（1）法一：因为，所以，令得，所以，解得，所以的方程为显然直线与轴不垂直，设其方程为，联立直线与的方程，消去得，当时，，设，则.因为，所以.法二：由题意得，解得，双曲线的方程为.设方程为，联立，可得，，，，.（2）法一：因为，所以，又因为，所以，即，（※）将代入（※）得，因为在轴上方，所以，所以直线方程为，联立与直线方程，消去得，，解得或（舍），所以，代入，得，所以直线方程为，联立与直线方程，消去得，，解得或，所以的面积为.法二：设，由，可得，，解