专题04恒成立与存在性求参（选填题6种考法）（解析版）

专题04恒成立与存在性求参（选填题6种考法）考法一一元二次不等式在R【例1-1】（2023·青海西宁·统考二模）已知命题：，，若p为假命题，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为命题：，，所以：，，又因为为假命题，所以为真命题，即，恒成立，所以，即，解得，故选：D．【例1-2】（2023·四川·校联考模拟预测）“”是“，是假命题”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，命题“，是假命题”可得命题“，是真命题”当时，即时，不等式恒成立；当时，即时，则满足，解得，综上可得，实数，即命题“，是假命题”时，实数的取值范围是，又由“”是“”的必要不充分条件，所以“”是“，是假命题”的必要不充分条件，故选：B.【例1-3】（2023·全国·高三对口高考）已知命题，使得“成立”为真命题，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】因为命题，使得“成立”为真命题，当时，，则，故成立；当时，，解得：；当时，总存在；综上所述：实数a的取值范围为.故答案为：【变式】1．（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为．【答案】【解析】由题意可知：命题：，.是真命题，①当时，结论显然成立；②当时，则，解得；故答案为：.2．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是【答案】【解析】因为不等式对任意实数均成立，即不等式对任意实数均成立，当，即时，有恒成立，满足题意；当，即时，则有，解得，综上所述，实数的取值范围为.故选：B.3．（2023·广东潮州）若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围为．【答案】【解析】当时，易得m=1时命题成立；当时，当时，则命题等价于，故答案为：考法二一元二次不等式在某区间【例2-1】（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为命题“，”为真命题，所以，命题“，”为真命题，所以，时，，因为，，所以，当时，，当且仅当时取得等号.所以，时，，即实数的取值范围是故选：C【例2-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】若“，使成立”的否定是：“，使”为真命题，即；令，由，得，所以，所以，故选：C.【例2-3】（2023·辽宁大连）（多选）已知p：，，则使p为真命题的一个必要不充分条件为（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】令，则的图象开口向上，若，，则，解得，对于A，当时，成立，而时，不一定成立，所以是p为真命题的一个必要不充分条件，所以A正确，对于B，是p为真命题的充要条件，所以B错误，对于C，当时，成立，当时，不一定成立，所以是p为真命题的一个必要不充分条件，所以C正确，对于D，当时，不一定成立，当时，成立，所以是p为真命题的一个充分不必要条件，所以D错误，故选：AC【例2-4】（2023秋·湖北宜昌）若对一切恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为不等式（），所以或（），①当时，，所以不等式的解集为，所以原不等式不可能对一切恒成立，故不符合题意；②当时，，所以不等式的解集为或，又因为原不等式对一切恒成立，所以，解得，③当时，，所以不等式的解集为或，又因为原不等式对一切恒成立，所以，解得，综述，.故选：B.【变式】1．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的最大值为______．【答案】【解析】由题知命题的否定“”是真命题．令，则解得，故实数的最大值为故答案为：3．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）若存在，有成立，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】将原不等式参数分离可得，设，已知存在，有成立，则，令，则，，由对勾函数知在上单调递减，在上单调递增，，，所以，即，故答案为：.2．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）若时，恒成立，则a的取值范围为______.【答案】【解析】解法1：时，恒成立，即恒成立，即恒成立.令（），则，，当且仅当，即，等号成立，故，即a的取值范围为.解法2：令，则由题意知，，在时恒成立，即时，.①当，即时，在单调递增，此时，成立，所以，恒成立；②当，即时，在上单调递减，在单调递增，所以，此时只需，即可，即解得，，∴，综上所述，a的取值范围为.故答案为：.3．（2023·全国·高三对口高考）对于总有成立，则实数a的最小值为．【答案】4【解析】由题意可得，当时，在上恒成立，故在上单调递减，则，不合题意；当时，，由于，故在上恒成立，仅当时，等号成立，则在上单调递减，则，不合题意；当时，，由于，故在上单调递增，在上单调递减，故令，解得，故实数a的最小值为4，故答案为：44．（2023秋·安徽铜陵·高三统考阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是．【答案】【解析】由题意原命题的否定“，使得”是真命题，不妨设，其开口向上，对称轴方程为，则只需在上的最大值即可，我们分以下三种情形来讨论：情形一：当即时，在上单调递增，此时有，解得，故此时满足题意的实数不存在；情形二：当即时，在上单调递减，在上单调递增，此时有，只需，解不等式组得，故此时满足题意的实数的范围为；情形三：当即时，在上单调递减，此时有，解得，故此时满足题意的实数不存在；综上所述：的取值范围是.故答案为：.考法三单变量的恒成立或能成立【例3-1】（2023·全国·高三对口高考）若存在负实数使得方程成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得：，令，因为，在上均为增函数，所以在为增函数，且，，，所以，所以实数a的取值范围是.故选：C.【例3-2】（2023·江苏南通·三模）若“”为假命题，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意知命题“”为假命题，则“”为真命题，所以，则，解得，所以的取值范围为.故选：A【例3-3】（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知命题.若为假命题，则的取值范围为.【答案】【解析】为假命题为真命题，故，令，则，令解得，令解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故答案为：.【例3-4】（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）若不等式对任意成立，则实数的最小值为．【答案】【解析】因为对任意成立，不等式可变形为:，即，即对任意成立，记，则，所以在上单调递增，则可写为，根据单调性可知，只需对任意成立即可，即成立，记，即只需，因为，故在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以，所以只需即可，解得.故答案为:【变式】1．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）命题“，使得”为假命题，则a的取值范围为.【答案】【解析】若“，使得”为假命题，可得当时，恒成立，只需.又函数在上单调递增，所以.故答案为：2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则；若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】,对任意，都有成立，即|，画出函数的图象，如图所示

观察的图象可知，当时，函数，所以，解得或，∴实数k的取值范围为.答案：；.3．（2023·全国·高三专题练习）若命题“，使得成立．”为假命题，则实数的最大值为?【答案】【解析】由题意得知命题“，成立”.（1）当时，不等式成立；（2）当时，由，则，不等式两边取自然对数得，可得，构造函数，其中，则，令，得，当时，，所以函数在区间上单调递减，则，所以，因此实数的最大值为.考法四双变量的恒成立或能成立【例4-1】（2023·辽宁大连）已知，若存在，使对任意的，有成立，则实数m的取值范围是.【答案】【解析】当时,.当时,.若存在，使对任意的，有成立,等价于,可得，所以.故答案为：【例4-2】（2023秋·江苏·高三宿迁中学校联考开学考试）已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由，得，令，求导得，当时，，函数在上单调递减，函数值从减小到0，当时，，函数在上单调递增，函数值从0增大到，

令，显然函数在上单调递减，函数的值域为，由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得，因此，解得，所以实数的取值范围是.【变式】1．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）已知，，，使成立.则a的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题设，使成立，所以在上成立，对于，有，对于，有，所以，即，可得.故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且对都有成立，则实数的范围为【答案】【解析】由题意，函数，要使得，即，即对恒成立，即对恒成立，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以函数在单调递减，在单调递增，所以，即，即，当且仅当时，等号成立，设，则在上为增函数，而，，故在上存在零点，故，当且仅当时等号成立，即，所以，即实数的取值范围是.3（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）已知，，若对，使成立，则实数的取值范围是.【答案】【解析】令，则，即，所以（为辅助角，），故，即，解得.由题可知，，，即对，.令，令，则，当时，的最小值为，即，则，即，故答案为：考法五等式恒成立或能成立【例5-1】（2023秋·福建三明·高三统考期末）已知函数，，设为实数，若存在实数，使得成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，．令，由于且，所以或，所以的取值范围是；当时，，的取值范围是，；综上可得的取值范围是，；要存在实数，使得成立，则函数，即，即，解得：．故选：D【例5-2】（2023秋·江苏盐城·高三江苏省建湖高级中学校考阶段练习）已知函数，．若，，使得成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】设函数在上的值域为，函数在上的值域为，因为若，，使得成立，所以，因为，，所以在上的值域为，因为，当时，在上单调递减，所以在上的值域为，因为，所以，解得，又，所以此时不符合题意，当时，图像是将下方的图像翻折到轴上方，令得，即，①当时，即时，在，上单调递减，，，所以的值域，又，所以，解得，②当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，，或，所以的值域或，又，所以或，当时，解得或，又，所以，当时，解得或，又，所以，所以的取值范围．③当时，时，在上单调递增，所以，，所以在上的值域，又，所以，解得，综上所述，的取值范围为.故选：C【变式】1．（2023秋·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考开学考试）已知函数的表达式为，若对于任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是.【答案】【解析】在上单调递增，当时，，，，，即，故是值域的子集，故，解得.故答案为：.2（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】设在上的值域为，在上的值域为，若，，使得成立，则.1.当时，则，可知开口向下，对称轴为，则在上单调递增，可得，所以在上的值域为，所以；2.当时，则，（1）若，则在内单调递减，且当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，所以，符合题意；（2）若，则，即，不合题意；（3）若，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得，且当x趋近于0或时，均趋近于，所以，又因为，则，注意到，即，解得；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.考法六更换主元【例6】（2024秋·吉林通化·高三校考阶段练习）若，使得成立，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若，使得成立，则，即，当时，成立，当时，令，在上单调递增，即，则，解得：，因为，所以，当时，令，在上单调递减，即，则，解得：，因为，所以，综上：实数取值范围是.故选：B.【变式】1．（2023秋·广东珠海）若，为真命题，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意知，，恒成立，设函数，即，恒成立.则，即，解得，或.故选：C.2．（2023·北京）已知关于的不等式.若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围【答案】【解析】由题知，设，当时，恒成立.当且仅当，即，解得且，或且，则.所以的取值范围是.一．单选题7．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为命题“”为假命题，所以，对，恒成立，当时，在上恒成立，所以满足条件，当时，令，对称轴，且，所以，当时，恒成立，当时，显然有不恒成立，故对，恒成立时，，所以则命题成立的充分不必要条件是选项C.故选：C.2（2023·重庆·统考模拟预测）命题“”是真命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若命题“”是真命题，则，可知当时，取到最大值，解得，所以命题“”是真命题等价于“”.因为，故“”是“”的必要不充分条件，故A正确；因为，故“”是“”的充要条件，故B错误；因为，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误；因为与不存在包含关系，故“”是“”的即不充分也不必要条件，故D错误；故选：A.3．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知．若p为假命题，则a的取值范围为(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】因为p为假命题，所以，为真命题，故当时，恒成立．因为当时，的最小值为，所以，即a的取值范围为．故选：A.4．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考一模）若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若“，使成立”是假命题，则“，使成立”是真命题，即，；令，则，则在上单增，，则.故选：C.5．（2023秋·广西河池·高三校考开学考试）若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】命题“，使得成立”的否定为：，，依题意，命题“，”为真命题，当时，，而，当且仅当，即时取等号，因此，所以实数的取值范围是.故选：D6．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）已知函数，若存在，使得有解，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】若存在，使得有解，由函数，即，即在有解，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值，也为最大值，即，所以，即实数a的取值范围是.故选：C.7．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知向量、满足，与的夹角为，若存在实数，有解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对不等式两边同时平方，得，即，因为,所以，整理得有解，所以得，解得，又因为，所以，故选:C.8．（2023·全国·模拟预测）已知.若存在，使不等式有解，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，若存在，使不等式有解，则问题转化为在上因为，所以，所以，所以，解得：或即实数m的取值范围为：，故选：B.9．（2020·黑龙江绥化·统考模拟预测）已知函数，存在，使得不等式有解，则实数m的最小值为（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】A【解析】.由，得，设，则，当时，；当时，，从而在上递增，在上递减，∴，当时，，即，在上，，.递减；在上，，，递增，，设，∴，，∴在上递减，，∴m的最小值为0.故选：A.10．（2023·全国·高三专题练习）设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为，由，得，所以，令，由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由，得，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，没有最小值，由，得，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以即，所以，即m的取值范围为．故选：A．11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若存在，使得)恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】存在，使得恒成立，是函数的最小值点，若，当时，；当时，，此时不存在，使得，不合题意；若，的对称轴为，函数在，上单调递增，；在上，，则没有最小值，不符合题意；若，的对称轴为，函数在，上；函数在上，，要使存在，使得恒成立，则，即，解得或，又，，即实数的取值范围是，．故选：A．12．（2023·安徽滁州）若存在实数，对任意实数，使不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B．m＜1 C． D．【答案】D【解析】由，得，时，不等式不可能对恒成立，∴．作函数和的图象，如图，时，不等式对不可能恒成立，在不全为0时，对，的图象是一条线段，这条线段只能是或在其下方（其中），线段的方程是，要使得原命题成立，只要函数的图象在线段下方即可，即，，当时，，∴．故选：D．二、多选题13．（2023·重庆九龙坡）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（

）A．当时， B．函数有四个零点C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是 D．对，恒成立【答案】AD【解析】对于A选项：当x＞0时，﹣x＜0，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣e﹣x（﹣x+2）＝e﹣x（x﹣2），故A正确；对于B选项：当x＜0时，f（x）＝ex（x+2），令f（x）＝0⇒x＝﹣2，即小于0的零点只有1个，根据奇函数对称性可知大于0的零点也只有一个，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，故0也是函数f（x）的零点，于是函数f（x）的零点共有3个，故B不正确；对于C选项：当x＜0时，f′（x）＝ex（x+3），∴x＜﹣3时，f′（x）＜0，﹣3＜x＜0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，在（﹣3，0）上单调递增，∴x＝﹣3时，f（x）取最小值﹣e﹣3，且x＜﹣3时，f（x）＜0，﹣3＜x＜0时，f（x）＜2，即﹣e﹣3≤f（x）＜2；当x＞0时，f′（x）＝e﹣x（3﹣x），∴f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，x＝3时，f（x）取最大值e﹣3，且x＞3时，f（x）＞0，0＜x＜3时，f（x）＞﹣2，∴﹣2＜f（x）≤e﹣3，且f（0）＝0，∴﹣2＜f（x）＜2，∴f（x）的值域为（﹣2，2），故C不正确；对于D选项：结合C的结论可知∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜4，故D正确．故选：AD．14．（2023·湖北武汉）定义在上的函数满足：，，则关于不等式的表述正确的为（

）A．解集为 B．解集为C．在上有解 D．在上恒成立【答案】AC【解析】令，，则，∵，∴恒成立，即在上单调递增.∵，∴.不等式可化为，等价于，∴，即不等式式的解集为，则在上有解，故选项AC正确.故选：AC.15．（2023·广东惠州）函数为定义在R上的奇函数，当时，，下列结论正确的有（

）A．当时，B．函数有且仅有2个零点C．若，则方程在上有解D．，恒成立【答案】AD【解析】A．函数为定义在R上的奇函数，当时，，，A正确；B．当时，，解得，时，，解得，又，所以有和0三个零点，B错误；C．当时，，，当时，，递减，时，，递增，∴时，极小值＝，时，，，，由是奇函数，∴时，极大值＝，，的值域是，若时，方程在时无解，C错误；D．由C的讨论知，因此对任意的实数有，，∴，即．D正确．故选：AD．16．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）若函数，则存在（其中，且），使下列式子对任意的恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】，当时，，则在上单调递增，又，∴，∴A正确；此时，，则，∴，∴B正确；由，则当时C式子成立，∴C正确；若任意满足，则函数关于点对称，但是的唯一对称中心为，∴D错误，故选：ABC17．（2022·湖南岳阳·岳阳一中校考一模）已知函数，，若存在，使得对任意，恒成立，则下列结论正确的是（

）A．对任意，B．存在，使得C．存在，使得在上有且仅有1个零点D．存在，使得在上单调递减【答案】AD【解析】，其中，，为锐角，恒成立，则是的最大值，是其函数图象的一条对称轴，因此，A正确；的周期是，因此是最小值点，B错；，则时，，时，，所以时，，，在上恒为0，有无数个零点，C错；由的定义知其在上递减，在上递增，所以当时，，D正确．故选：AD．三、填空题18．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）若“使”为假命题，则实数的取值范围为.【答案】【解析】因为“使”为假命题，所以“，”为真命题，其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，而，所以，所以，即实数的取值范围为.故答案为：.19．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是.【答案】【解析】“，”是假命题，则它的否定命题：“，”是真命题；所以,，恒成立，所以，即实数的取值范围是．故答案为：．20．（2023·陕西宝鸡·统考一模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是.【答案】【解析】命题“”的否定为：“，”.因为原命题为假命题，则其否定为真.当时显然不成立；当时，恒成立；当时，只需，解得：.综上有故答案为：.21．（2022秋·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）若存在，使得不等式有解，则实数的取值范围为．【答案】【解析】设，则，当且仅当，即，即时，等号成立，又，所以，显然存在.所以，最小值为9.要使不等式有解，只需要即可，即，去绝对值可得或，所以或.故答案为：.22．（2022秋·上海虹口·高三统考阶段练习）设，若存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则a的取值范围是.【答案】【解析】依题意，，由不等式有解知，，而，因此，因存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则当且仅当时，不等式组有解，且当时不等式组无解，由有解得有解，于是得，解得，由无解得无解，于是得，解得，因此，所以a的取值范围是.故答案为：23．（2022秋·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）已知，若存在常数，使恒成立，则的取值范围是.【答案】【解析】使恒成立，则，化简整理得，由于存在常数，使恒成立，可知，因此，解得.故答案为：24．（2022秋·河南·高三校联考开学考试）已知数列的首项，且满足.若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则的最小值是.【答案】3【解析】数列满足，且，即，当时，，当时，，当时，，当时，，以上各式相加，得又，，，，若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则有，的最小值是3.故答案为：.25．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为．【答案】【解析】因为对于一切实数恒成立，所以，且，所以；再由，使成立，可得，所以，所以，因为，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故答案为：26．（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知，函数若存在实数，使得恒成立，则的最大值是．【答案】/0.625【解析】由题意得：，①当，即时，；②当，即时，，当即时，；当即时，，当即时，；③当时，，此时.则当时，；当时，，画出在的图象，令，解得，此时相切，可得；当时，；则，即当时，，又，则；当时，，又，则；当时，，又，则；综上可得，即的最大值是.故答案为：.27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.故答案为：.28．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知，若存在，使不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】时，不等式可化为，因为存在使不等式恒成立，所以只需，设，，则，，所以在上为增函数，所以，所以，，所以整理