新教材同步备课2024春高中数学第10章概率章末综合提升教师用书新人教A版必修第二册

第10章概率章末综合提升类型1随机大事与概率1．随机大事与概率主要包含以下内容：样本空间、大事间的关系、频率与概率的关系及概率的性质，特殊是互斥大事与对立大事的概念辨析及相应概率的求解，是历次考试命题的重点，对于互斥大事的概率求法一般有两种方法：一是直接求解法，二是间接法．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．2．把握随机大事概率的应用，提升数学抽象和数学运算素养．【例1】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的大事分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解](1)P(A)＝11000，P(B)＝101000＝1100，P故大事A，B，C的概率分别为11000(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个大事为M，则M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1+故1张奖券的中奖概率为611000(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为大事N，则大事N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立大事，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－11000+1故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000类型2古典概型1．古典概型有两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝kn时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和大事A的样本点个数k2．把握古典概型的概率公式及其应用，提升数学建模的数学素养．【例2】袋中有外形、大小都相同的4个小球.(1)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)若4个小球颜色相同，标号分别为1，2，3，4，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率；(3)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．[解](1)设取出的2只球颜色不同为大事A.试验的样本空间Ω＝{(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)}，共6个样本点，大事A包含5个样本点，故P(A)＝56(2)试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共6个样本点，设标号和为奇数为大事B，则B包含的样本点为(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4个，所以P(B)＝46(3)试验的样本空间Ω＝{(白，白)，(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，红)，(红，白)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄1)，(黄1，白)，(黄1，红)，(黄1，黄2)，(黄2，黄2)，(黄2，白)，(黄2，红)，(黄2，黄1)}，共16个样本点，其中颜色相同的有6个，故所求概率为P＝616类型3大事的相互独立性1．相互独立大事的辨析及概率计算主要依据P(AB)＝P(A)P(B)．由于相互独立大事的概率通常和互斥大事的概率综合在一起考查，解题时先要推断大事的关系是互斥还是相互独立，再选择相应的公式计算求解．2．把握相互独立大事的概率公式的应用，提升数学建模和规律推理的数学素养．【例3】(2022·石家庄期末)甲、乙两人进行围棋竞赛，竞赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为34，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率照旧为34，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为(1)求第四盘棋甲赢的概率；(2)求竞赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．[解](1)记第四盘棋甲赢的大事为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥大事A1，A2的和，P(A1)＝34×34＝916，P(A2)＝14×12＝18，则(2)记甲恰好赢三盘棋的大事为B，它是后三盘棋甲只赢一盘的三个互斥大事的和，甲只在第三盘赢的大事为B1、只在第四盘赢的大事为B2、只在第五盘赢的大事为B3，则P(B1)＝34×14×1-12＝332，PB2＝14×12×章末综合测评(五)概率(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛掷一枚质地均匀的硬币，假如连续抛掷1000次，那么第999次消灭正面朝上的概率是()A．1999B．11000C．999D[抛掷一枚硬币，有正面朝上和反面朝上两种可能，概率均为122．随着互联网的普及，网上购物已渐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满足状况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种状况回答)，统计结果如下表：满足状况不满足比较满足满足格外满足人数200n21001000依据表中数据，估量在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满足”或“满足”的概率是()A．715B．25C．11C[由题意得，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满足”或“满足”的总人数为1200＋2100＝3300，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满足”或“满足”的频率为33004500＝113．(2022·四川泸州叙永一中期中)在一个试验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现接受随机模拟方法估量三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数：192907966925271932812458569683257393127556488730113537989431据此估量三只豚鼠都没被感染的概率为()A．0.25B．0.4C．0.6D．0.75A[20组数据中，都不含1，2，3，4的数据有5个，分别是：907，966，569，556，989；故三只豚鼠都没被感染的概率为520＝0.25．4．从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的28730人中随机抽取20人，测得他们的身高分别为(单位：cm)：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150、151、152、160、165、164、179、149、158、159、175，依据样本频率分布估量总体分布的原理，在全部志愿者中任抽取一人身高在155.5cm－170.5cm之间的概率为()A．25B．920C．1B[依据题意，分析20人的数据可得，身高在155.5cm－170.5cm之间的有9人，则在志愿者中任抽取一人身高在155.5cm－170.5cm之间的概率为9205．(2022·全国甲卷)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A．15B．13C．2C[从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，15种状况，其中数字之积为4的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，6种状况，故概率为6156．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列大事的概率为89A．颜色相同 B．颜色不全相同C．颜色全不相同 D．无红球B[有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为327＝19；颜色不全同的结果有24种，其概率为24277．(2022·山东济宁育才中学月考)坛子中放有3个白球、2个黑球，从中不放回地取球2次，每次取1个球，用A1表示“第一次取得白球”，A2表示“其次次取得白球”，则A1和A2是()A．互斥的大事 B．相互独立的大事C．对立的大事 D．不相互独立的大事D[设白球编号为1，2，3，黑球的编号为4，5，从坛子中不放回地取球2次，基本大事有20种，PA1＝PA2＝35，PA1A2＝620＝310，PA基本大事包括“第1次取到白球，第2次取到白球”，即A1和A2可以同时发生，所以A1和A2不是互斥，也不是对立大事．故选D.]8．在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是()A．2936B．551720C．29A[当开关合上时，电路畅通，即A至B畅通，且B至C畅通，可求得A至B畅通的概率为1－14×1-1-12×1-13二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下列说法中正确的有()A．买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票肯定能中奖B．昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的C．一年按365天计算，两名同学的生日相同的概率是1D．乒乓球竞赛前，用抽签来打算谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公正的CD[依据概率的意义可知CD正确．]10．(2022·广雅附中、广州外国语、铁一中学联考)利用简洁随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设大事A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是()A．P(B)＝710 B．P(A∩BC．P(B∩C)＝7100 D．P(A∪B)＝ABD[由题意知A、B、C为互斥大事，∴P(A∩B)＝P(B∩C)＝0，故B正确、C错误；∵从100件中抽取产品符合古典概型的条件，∴P(A)＝210，P(B)＝710，P(C)＝110，则P(A∪B)＝11．(2022·武汉十四中月考)某社团开展“建党100周年主题活动——学党史学问竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，2A．两人均获得满分的概率为1B．两人至少一人获得满分的概率为7C．两人恰好只有甲获得满分的概率为3D．两人至多一人获得满分的概率为11BCD[∵甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，分别记甲、乙得满分的大事为M，N，则PM＝34∴两人均获得满分的概率为PMN＝PMPN两人至少一人获得满分的概率为1－PMN＝1－(1－P(M))(1－P(N))＝1－1两人恰好只有甲获得满分的概率为PMN＝P(M)(1－P(N))＝3两人至多一人获得满分的概率为：1－PMN＝1-12．去年“国庆节”期间，高速大路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速大路的车速(km/h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是()A．这40辆小型车辆车速的众数的估量值为77.5B．在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80km/h的概率为0.35C．若从车速在[60，70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65，70)的概率为14D．若从车速在[60，70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60，65)内的概率为1ABC[在A中，由题图可知，众数的估量值为最高的矩形的中点横坐标对应的值75+802＝77.5，A正确；在B中，车速超过80km/h的频率为0.05×5＋0.02×5＝0.35，用频率估量概率知B正确；在C中，由题图可知，车速在[60，65)内的车辆数为2，车速在[65，70)内的车辆数为4，运用古典概型求概率得，至少有一辆车的车速在[65，70)的概率为14三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2022·甘肃甘南期末)从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一大事包含的样本点个数为________．4[从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种状况，其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)中三个数字之和为奇数，共有4种．]14．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为11415[由于大事A“至少取得一个红球”与大事B“取得两个绿球”是对立大事，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－115．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品．从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为________．0.21[设抽到一等品，二等品，三等品分别为大事A，B，C，则PA+PB＝016．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是1623[法一：甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13＝法二：甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13＝四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)袋中有大小、外形相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．(1)一共有多少种不同的结果？请列出全部可能的结果；(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5分的概率．[解](1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)．(2)记“3次摸球所得总分为5分”为大事A，大事A包含的基本大事为(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，共3个，由(1)可知，基本大事总数为8，所以大事A发生的概率为P(A)＝3818．(本小题满分12分)(2022·山东威海期末)某社区进行宪法宣扬答题活动，该活动共设置三关，参与活动的选手从第一关开头依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参与一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为45，闯其次关成功的概率为12，闯第三关成功的概率为(1)求参与活动的选手没有获得奖金的概率；(2)现有甲、乙两位选手参与本次活动，求两人最终所得奖金总和为1100元的概率．[解](1)设选手闯第一关成功为大事A，闯其次关成功为大事B，闯第三关成功为大事C，所以，PA设参与活动的选手没有获得奖金为大事M，所以PM＝(2)设选手闯关获得奖金300元为大事E，选手闯关获得奖金800元为大事D，所以，PE＝设两人最终所得奖金总和为1100元为大事F，所以，甲、乙两位选手有一人获得800元，一人获得300元，所以PF＝19．(本小题满分12分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．[解](1)由于样本量与总体中的个体数的比是650+150+所以这6件样品中来自A，B，C三个地区的数量分别为1，3，2．(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2，则从这6件样品中抽取的2件商品构成的全部样本点为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点的消灭是等可能的．记大事D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则大事D包含的样本点有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为420．(本小题满分12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估量顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)[解](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本．顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估量，其估量值为1×15+(2)记A为大事“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示大事“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310由于A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥大事，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为71021．(本小题满分12分)某超市方案按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．依据往年销售阅历，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．假如最高气温不低于25℃，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；假如最高气温低于20℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购方案，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估量最高气温位于该区间的概率．(1)估量六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的全部可能值，并估量Y大于零的概率．[解](1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25℃，由表中数据可知，最高气温低于25℃的频率为2+16所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估量值为0.6．(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20℃，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高气温位于区间[20，25)，则Y