新教材同步备课2024春高中数学第10章概率10.3频率与概率10.3.1频率的稳定性教师用书新人教A版必修第二册

10.3频率与概率10.3.1频率的稳定性学习任务1．了解概率的意义以及频率与概率的区分．(数学抽象)2．结合实例，会用频率估量概率．(数学运算)小刚抛掷一枚硬币100次，消灭正面朝上48次．由此估量试验中该硬币正面朝上的频率是多少？若再抛掷一枚硬币一次，消灭正面朝上的概率是多少？学问点频率的稳定性1．频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即大事A发生的频率fn(A)会渐渐稳定于大事A发生的概率P(A)，我们称频率的这共性质为频率的稳定性．2．频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估量概率P(A)．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机大事的频率和概率不行能相等． ()(2)随机大事的频率和概率都随着试验次数的变化而变化． ()(3)概率能反映随机大事发生可能性的大小，而频率则不能． ()[答案](1)×(2)×(3)×类型1频率和概率的关系【例1】(1)若在同等条件下进行n次重复试验得到某个大事A发生的频率f(n)，则随着n的渐渐增大，有()A．f(n)与某个常数相等B．f(n)与某个常数的差渐渐减小C．f(n)与某个常数的差的确定值渐渐减小D．f(n)在某个常数的四周摇摆并趋于稳定(2)下列关于概率和频率的叙述中正确的有________．(把符合条件的全部答案的序号填在横线上)①随机大事的频率就是概率；②随机大事的概率是一个确定的数值，而频率不是一个确定的数值；③频率是客观存在的，与试验次数无关；④概率是随机的，在试验前不能确定；⑤概率可以看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机大事发生的可能性大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个大事的概率．(1)D(2)②⑤[(1)由频率和概率的关系知，在同等条件下进行n次重复试验得到某个大事A发生的频率f(n)，随着n的渐渐增加，频率f(n)渐渐趋近于概率．故选D.(2)随机大事的频率是概率的近似值，频率不是概率，故①错误；随机大事的频率不是一个确定的数值，而概率是一个确定的数值，故②正确；频率是随机的，它与试验条件、次数等有关，而概率是确定的值，与试验次数无关，故③④错误；由频率与概率的关系可知⑤正确．]频率与概率的关系频率反映了一个随机大事消灭的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机大事发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机大事概率的估量值．通过大量的重复试验，大事发生的频率会渐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．[跟进训练]1．在n次重复进行的试验中，大事A发生的频率为mn，当n很大时，那么P(A)与mA．P(A)≈mn B．P(A)<C．P(A)>mn D．P(A)＝A[在n次重复进行的试验中，大事A发生的频率为mn，当n很大时，mn越来越接近P(A)，因此我们可以用mn近似地代替P类型2用随机大事的频率估量其概率【例2】某公司为了解当地用户对其产品的满足度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40名用户，依据用户对产品的满足度评分(单位：分)，得到A地区的用户满足度评分的频率分布直方图(如图)和B地区的用户满足度评分的频数分布表(如表1)．表1满足度评分[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数2814106(1)分别估量A，B两地区样本用户满足度评分低于70分的频率．(2)依据用户满足度评分，将用户的满足度分为三个等级(如表2)，将频率看作概率，从A，B两地区的用户中各随机抽查一名用户进行调查，求至少有一名用户评分满足度等级为“满足”或“格外满足”的概率．表2满足度评分低于70分[70，90)[90，100]满足度等级不满足满足格外满足[解](1)由题图可得(0.005＋0.010＋0.015＋0.020×2＋a)×10＝1，解得a＝0.030，估量A地区样本用户满足度评分低于70分的频率为(0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.6，估量B地区样本用户满足度评分低于70分的频率为1040＝(2)依据样本频率可以估量总体频率，记大事M表示“从A地区随机抽取一名用户满足度评级为不满足”，则PM＝0.6．记大事N表示“从B地区随机抽取一名用户满足度评级为不满足”，则PN＝0.25．易知大事M和大事N相互独立，则大事M和大事记大事C表示“至少有一名用户评分满足度等级为‘满足’或‘格外满足’”，则PC＝1-PC＝1故至少有一名用户评分满足度等级为“满足”或“格外满足”的概率为0.85．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估量概率．[跟进训练]2．某保险公司利用简洁随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔偿金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额为2800元，估量赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估量在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．[解](1)车辆数为500＋130＋100＋150＋120＝1000．设A表示大事“赔付金额为3000元”，B表示大事“赔付金额为4000元”，以频率估量概率得P(A)＝1501000＝0.15，P(B)＝1201000＝0.12，由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3000元和4000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.1(2)设C表示大事“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1000＝100(位)，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24，由频率估量概率得P(C)＝类型3概率思想的实际应用【例3】设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球．先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．推断这球是从哪一个箱子中取出的？[解]甲箱中有99个白球，1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是99100.乙箱中有1个白球，99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是1100.由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．既然在一次抽样中抽到概率是描述随机大事发生的可能性大小的一个数量，在一次试验中，概率大的大事比概率小的大事消灭的可能性更大．[跟进训练]3．为了估量某自然爱护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该爱护区中捕出肯定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回爱护区，经过适当的时间，让它们和爱护区中其余的天鹅充分混合，再从爱护区中捕出肯定数量的天鹅，如150只．查看其中有记号的天鹅，设有20只，试依据上述数据，估量该自然爱护区中天鹅的数量．[解]设爱护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从爱护区中任捕一只，设大事A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P(A)＝200n从爱护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的定义可知P(A)≈20150由200n≈20150，解得1．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的状况消灭了8次，若用A表示“正面朝上”这一大事，则A的()A．概率为45 B．频率为C．频率为8 D．概率接近于8B[做n次随机试验，大事A发生了m次，则大事A发生的频率为mn.假如多次进行试验，大事A发生的频率总在某个常数四周摇摆，那么这个常数才是大事A的概率，故810＝2．“某彩票的中奖概率为1100A．买100张彩票就肯定能中奖B．买100张彩票能中一次奖C．买100张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性为1D[某彩票的中奖率为1100，意味着中奖的可能性为13．已知随机大事A发生的频率是0.02，大事A消灭了10次，那么共进行了________次试验．500[设进行了n次试验，则有10n＝0.02，得n4．假如袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个，从中任取1球，取了10次有7个白球，估量袋中数量较多的是________球．白[取10次球有7次是白球，则取出白球的频率是0.7，故可估量袋中数量较多的是白球．]回顾本节学问，自主完成以下问题：频率和概率有什么区分和联系？[提示]名称区分联系频率本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的转变而转变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．(2)在实际问题中，大事的概率通常状况下是未知的，常用频率估量概率概率是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的转变而转变课时分层作业(四十九)频率的稳定性一、选择题1．某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是()A．明天本地有80%的区域降水B．明天本地有80%的时间降水C．明天本地降水的可能性是80%D．以上说法均不正确C[选项A，B明显不正确，由于明天本地降水的概率为80%不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.故选C.]2．每道选择题有四个选项，其中只有一个选项是正确的．某次数学考试共有12道选择题，有位同学说：“每个选项正确的概率是14A．正确 B．错误C．无法解释 D．以上均不正确B[解每一道选择题都可看成一次试验，每次试验的结果都是随机的，经过大量的试验其结果呈现出肯定的规律，即随机选取一个选项选择正确的概率是143．(多选)某篮球运动员在最近几次参与的竞赛中的投篮状况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为大事A，投中三分球为大事B，没投中为大事C，用频率估量概率的方法，得到的下述结论中，正确的是()A．PA＝0.55 B．PB＝0.18C．PC＝0.27 D．PB+C＝ABC[依题意，P(A)＝55100＝0.55，P(B)＝18100＝0.18，明显大事A，B互斥，P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，大事B，C互斥，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝故选ABC.]二、填空题4．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8000件产品中合格品的件数可能为________件．7840[次品率为2%，故次品约8000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7840．]5．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃裂开的概率，公司收集了20000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发觉有600辆汽车的挡风玻璃裂开，则一辆汽车在一年内挡风玻璃裂开的概率近似是________．0.03[在一年内挡风玻璃裂开的频率为60020000＝3100＝三、解答题6．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的状况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估量顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估量顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？[解](1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估量为2001000＝(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估量为100+200(3)顾客同时购买甲和乙的概率可以估量为2001000＝0.2顾客同时购买甲和丙的概率可以估量为100+200+顾客同时购买甲和丁的概率可以估量为1001000＝所以，假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．7．某市交警部门在调查一起交通事故过程中，全部的目击证人都指证肇事车是一辆A款出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆A款出租车，3000辆B款出租车，乙公司有3000辆A款出租车，100辆B款出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理()A．甲公司 B．乙公司C．甲或乙公司均可 D．以上都对B[由于甲公司A款的比例为100100+3000＝1可知肇事车在乙公司的可能性大些．]8．(多选)某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放状况(该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾、可回收物、其他垃圾为主)，随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1000千克的生活垃圾，数据(单位：千克)统计如下：类别“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾的投放质量400200100可回收物的投放质量3014030其他垃圾的投放质量202060依据样本数据估量该小区居民生活垃圾的投放状况，下列结论正确的是()A．“厨余垃圾”投放正确的概率约为4B．“可回收物”投放错误的概率约为3C．该小区这三类垃圾中，“厨余垃圾”投放正确的概率最低D．该小区这三类垃圾中，“其他垃圾”投放错误的概率最高AC[A选项，“厨余垃圾”共有400＋200＋100＝700kg，其中400kg投放正确，概率为47B选项，“可回收物”共有30＋140＋30＝200kg，其中60kg投放错误，概率为310C选项，“厨余垃圾”、“可回收物”、“其他垃圾”投放正确的概率依次为47，7D选项，“厨余垃圾”、“可回收物”、“其他垃圾”投放错误的概率依次为379．某险种的基本保费为a(单位：元)，连续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险状况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为大事：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估量值；(2)记B为大事：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估量值；(3)求续保人本年度平均保费的估量值．[解](1)大事A发生当且仅当一年内出险次数小于2．由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60+50200＝0.55，故P((2)大事B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的