新教材同步备课2024春高中数学第10章概率10.2事件的相互独立性学生用书新人教A版必修第二册

10.2大事的相互独立性学习任务1．结合有限样本空间，了解两个随机大事独立性的含义．(数学抽象)2．结合古典概型，利用独立性计算概率．(数学运算)3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．大事A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，大事B为“第三名同学抽到中奖奖券”．大事A的发生是否会影响B发生的概率？学问点大事的相互独立性1．相互独立大事的定义对任意两个大事A与B，假如P(AB)＝____________成立，则称大事A与大事B相互独立，简称为独立．2．相互独立大事的性质当大事A，B相互独立时，则大事A与大事B相互独立，大事A与大事B相互独立，大事A与大事B相互独立．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不行能大事与任何一个大事相互独立． ()(2)必定大事与任何一个大事相互独立． ()(3)若两个大事互斥，则这两个大事相互独立． ()类型1独立性的推断【例1】(源自湘教版教材)一个家庭中有若干小孩，假定生男孩与生女孩是等可能的，设A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”，对下述两种情形，争辩大事A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________推断两个大事相互独立的方法(1)定量法：利用P(AB)＝________________是否成立可以精确     地推断两个大事是否相互独立．(2)定性法：直观地推断一个大事发生与否对另一个大事的发生的概率是否有影响，若________就是相互独立大事．[跟进训练]1．掷一枚质地均匀的硬币，记大事A表示“消灭正面”，大事B表示“消灭反面”，则()A．A与B相互独立B．P(AB)＝P(A)P(B)C．A与B不相互独立D．P(AB)＝1类型2相互独立大事概率的计算【例2】甲、乙、丙3位高校生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，(1)3人同时被选中的概率；(2)3人中恰有1人被选中的概率．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究]1．本例条件不变，求3人中至少有1人被选中的概率．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．若本例条件“3人能被选中的概率分别为25，34，13_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________大事间的独立性关系已知两个大事A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有大事表示概率A，B同时发生ABP(A)P(B)A，B都不发生APAPBA，B恰有一个发生AB∪P(A)PB＋PAP(B)A，B中至少有一个发生AB∪AB∪(P(A)PB＋PAP(B)＋P(A)P(B)A，B中至多有一个发生AB∪ABP(A)PB＋PAP(B)＋PAPB[跟进训练]2．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和1(1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有一个人译出密码的概率；(4)至多一个人译出密码的概率；(5)至少一个人译出密码的概率．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3相互独立大事的概率的综合应用【例3】三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中的两个元件T2[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求较简单大事的概率的一般步骤(1)列出题中涉及的各个大事，并且用适当的符号表示．(2)理清大事之间的关系(两个大事是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式．(3)依据大事之间的关系精确     选取概率公式进行计算．(4)当直接计算符合条件的大事的概率较简单时，可先间接地计算其对立大事的概率，再求出符合条件的大事的概率．[跟进训练]3．甲、乙二人进行一次围棋竞赛，一共赛5局，商定先胜3局者获得这次竞赛的成功，同时竞赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局竞赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次竞赛的概率；(2)求甲获得这次竞赛成功的概率．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示其次次摸得白球，则大事A1与A2A．相互独立大事 B．不相互独立大事C．互斥大事 D．对立大事2．甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用外科口罩的概率分别如表：项目购买A种医用外科口罩购买B种医用外科口罩购买C种医用外科口罩甲0.10.4乙0.30.2则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为()A．0.24 B．0.28C．0.30 D．0.323．已知A，B是相互独立大事，且P(A)＝12，P(B)＝23，则PAB＝________，4．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气精确     的概率分别为45和3(1)甲、乙两个气象台同时预报天气精确     的概率为______；(2)至少有一个气象台预报精确     的概率为________．回顾本节学问，自主完成以下问题：1．相互独立大事的定义是什么？具有哪些性质？2．相互独立大事与互斥大事有什么区分？10.2大事的相互独立性[必备学问·情境导学探新知]学问点1.P(A)P(B)2.A课前自主体验(1)√(2)√(3)×[关键力量·合作探究释疑难]例1解：(1)有两个小孩的家庭，样本空间Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本大事，由等可能性知概率各为14，这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，A∩B于是P(A)＝12，P(B)＝34，P(A∩B)＝由此可知P(A∩B)≠P(A)P(B)，所以大事A，B不独立．(2)有三个小孩的家庭，样本空间Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本大事的概率均为18，这时A含有6个基本大事，B含有4个基本大事，A∩B于是P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(A∩明显有P(A∩B)＝38＝P(A)P(B)成立，从而大事A与B发觉规律(1)P(A)P(B)(2)没有影响跟进训练1．C[由题得P(A)＝12，P(B)＝12，P(AB)＝0，故A与例2解：记甲、乙、丙能被选中的大事分别为A，B，C，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝(1)3人同时被选中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×3(2)3人中恰有1人被选中的概率P2＝P(ABC∪ABC母题探究1．解：法一：3人中有2人被选中的概率P3＝P(ABC∪ABC∪A由本例第(1)(2)问可知，3人中至少有1个被选中的概率为P＝P1＋P2＋P3＝110+5法二：3人均未被选中的概率P＝P(ABC)＝1-由于“3人中至少有1人被选中”与“3人均未被选中”互为对立大事，所以“3人中至少有1人被选中”的概率为1－110＝92．解：设甲、乙两人恰有一人被选中为大事A，甲、乙都被选中为大事B，丙被选中为大事C，则恰好有2人被选中的概率P＝P(A)P(C)＋P(B)P(C)＝1120×1跟进训练2．解：记“甲独立地译出密码”为大事A，“乙独立地译出密码”为大事B，A与B为相互独立大事，且P(A)＝13，P(B)＝1(1)“两个人都译出密码”的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝13×1(2)“两个人都译不出密码”概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝[1－P((3)“恰有一个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个大事为互斥大事，所以恰有一个人译出密码的概率为P(AB+A＝P(A)P(B)＋P(A＝13×1(4)“至多一个人译出密码”的对立大事为“两个人都译出密码”，所以至多一个人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－13×1(5)“至少一个人译出密码”的对立大事为“两个人都译不出密码”，所以至少一个人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－12＝例3解：记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为大事A1，A2，A3，则P(A1)＝12，P(A2)＝34，P(A3)＝不发生故障的大事为(A2∪A3)A1.法一：(直接法)电路不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A＝12×3法二：(间接法)电路不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)＝[1－P(A2)·P(A3)]·P(A＝1-14跟进训练3．解：记Ai表示大事“第i局甲获胜”，i＝3，4，5，Bj表示大事“第j局乙获胜”，j＝3，4，5.(1)记A表示大事“再赛2局结束竞赛”．A＝(A3A4)∪(B3B4)．由于各局竞赛结果相互独立，故P(A)＝P((A3A4)∪(B3B4))＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.(2)记大事B表示“甲获得这次竞赛的成功”．因前2局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次竞赛的成功当且仅当在后面的竞赛中，甲先胜2局，从而B＝(A3A4)∪(B3A4A5)∪(A3B4A5)，由于各局竞赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P