新教材同步备课2024春高中数学第7章复数7.3复数的三角表示教师用书新人教A版必修第二册

7.3*复数的三角表示学习任务1．了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．(数学抽象、规律推理)2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．(数学抽象、直观想象)设复数z＝1＋3i在复平面内对应的点为Z，记r为向量OZ的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋3i的实部、虚部之间的关系．学问点1复数的三角表示式1．定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．1．任何一个不为零的复数的辐角有多少个值？辐角的主值有多少个值？[提示]辐角有无限多个值，这些值相差2π的整数倍．辐角的主值只有一个值，在0≤θ＜2π范围内．2．辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作argz，即0≤argz＜2π．学问点2复数三角形式乘法法则与几何意义已知z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．2．复数乘法的几何意义是什么？[提示]两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2(假如θ2＜0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的学问点3复数三角形式除法法则与几何意义已知z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则z1z2＝r1cosθ1+isinθ1r2cosθ2+isin这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．3．复数除法的几何意义是什么？[提示]两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按顺时针方向旋转角θ2(假如θ2＜0，就要把OZ1绕点O按逆时针方向旋转角|将下列复数表示为三角形式：(1)－5i＝________；(2)2－2i＝________．[答案](1)5cos(2)22类型1复数的代数形式化为三角形式【例1】把下列复数表示成三角形式：(1)1；(2)3－i；(3)－2sin3[解](1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，所以arg1＝0，所以1＝cos0＋isin0．(2)r＝2，对应的点在第四象限，且cosθ＝32，所以取θ＝－π所以3－i＝2cos-(3)－2sin3π4+icos3π4对应的点在其次象限，且cosθ＝－22所以取θ＝3π所以－2sin3π4+将复数代数形式化为三角形式的步骤(1)先求复数的模．(2)打算辐角所在的象限．(3)依据象限求出辐角．(4)求出复数的三角形式．提示：复数三角形式的四个要求：模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不行．任何一个不满足，就不是三角形式．[跟进训练]1．下列复数是复数三角形式表示的是()A．1B．－1C．1D．cos75π＋isin7D[选项A，cosπ4与isinπ4之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－12<0不符合r≥0要求；选项C，是cos34π与isin34π用“＋”连接，而不是sin3π4＋icos34π类型2复数三角形式的乘、除运算【例2】(源自苏教版教材)计算下列各式，并把结果化成代数形式：(1)2cosπ12+isin(2)6cos2[解](1)原式＝6cos＝6cosπ4+isinπ4＝622(2)原式＝3＝3cosπ3+isinπ31．乘法法则：模相乘，辐角相加．2．除法法则：模相除，辐角相减．3．复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．[跟进训练]2．计算下列各式，并把结果化成代数形式：(1)2cos(2)2(cos75°＋isin75°)×12(3)-12+[解](1)2＝(2)2cos23π＝－1＋3i．(2)由于12－12i＝22所以2(cos75°＋isin75°)×1＝2cos5＝2×2＝cos2612π＋isin2612π＝cosπ6＝32＋1(3)由于－12＋32i＝cos23π＋isin所以-12＝cos23＝1＝12cosπ3+类型3复数三角形式乘、除运算的几何意义【例3】在复平面内，把复数3－3i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3[解]由于3－3i＝23＝23cos所以23cos11＝23＝23＝23＝3＋3i，23cos11＝23＝23＝－23i．故把复数3－3i对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i，按顺时针旋转π3得到的复数为－2利用复数乘除法的几何意义求解复平面内的点所对应的复数时，要留意点Z所对应的复数就是向量OZ对应的复数，OZ经常转化为OZ＝OZ1+Z1Z．而求解向量Z1Z[跟进训练]3．(1)设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cosA＋isinA)÷(cosB＋isinB)·(cosC＋isinC)是一个实数，则△ABC是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．外形不能确定(2)(多选)在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是()A．1-32＋1+32C．5-32＋3+32(1)C(2)CD[(1)由题意知argz＝A－B＋C＝π－2B＝0，则B＝π2．故选(2)由于AB对应的复数为(3＋2i)－(2＋i)＝1＋i，则AC对应的复数为(1＋i)(cos60°＋isin60°)＝1-32＋1+32i或(1＋i)[cos(－60°)＋isin(－60°)]＝1+32＋1-32i，所以OC＝OA+AC对应的复数为2＋i＋1-即5-32＋3+32i或5+1．复数－3i的辐角主值为()A．－π2 B．C．－π2＋2kπ(k∈Z) D．3π2＋2kπ(kB[与－3i对应的点在负虚轴上，所以arg(－3i)＝32π．故选2．复数z＝1＋i(i为虚数单位)的三角形式为()A．z＝2(sin45°＋icos45°)B．z＝2(cos45°＋isin45°)C．z＝2[cos(－45°)－isin(－45°)]D．z＝2[cos(－45°)＋isin(－45°)]B[依题意得r＝12+12＝2，复数z＝1＋i对应的点在第一象限，且cosθ＝22，因此，argz＝3．在复平面中，把复数z＝2＋2i对应的向量按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为()A．2+22＋2+22i B．C．1＋2＋(1＋2)i D．1－2＋(1＋2)iD[依题意，旋转后的向量对应的复数为(2＋2i)·(cos45°＋isin45°)＝1－2＋(1＋2)i．故选D．] 4．计算cos23π+isin12i[原式＝12cos23回顾本节学问，自主完成以下问题：1．复数三角形式中的辐角和辐角主值有什么区分与联系？[提示]区分辐角有很多个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个联系θ＝2kπ＋argz，k∈Z2．将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)时，要留意什么？[提示]将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)时，要留意：(1)r＝a2(2)cosθ＝ar，sinθ＝br，其中θ终边所在象限与点(a，b)所在象限相同．若tanθ＝ba(a≠0)，θ终边所在象限与点(a，b)所在象限全都．当a＝0，b>0时，argz3．用复数的三角形式乘除法的几何意义解题时关键把握哪些量的变化？[提示]运用复数乘除法的几何意义解题，关键要明确模与辐角的变化，抓住向量与复数间的对应关系．课时分层作业(二十)复数的三角表示一、选择题1．(多选)复数z＝2-2i的三角形式可以是(A．2cosB．2cosC．2cosD．2cosCD[∵r＝22+-cosθ＝22，sinθ＝－2∴θ可取7π4或－2．复数z＝2cos75°+A．1－i B．1＋iC．1 D．iB[z＝2＝2[cos(75°－30°)＋isin(75°－30°)]＝2(cos45°＋isin45°)＝1＋i．故选B．]3．复数z＝3+i1+2i，将复数z对应向量按逆时针方向旋转π4A．2 B．2iC．1 D．iA[z＝3+i1+2i＝1又将复数z对应的向量按逆时针方向旋转π4∴旋转后的向量对应复数(1－i)cos＝(1－i)22+24．复数sin50°－isin140°的辐角的主值是()A．150° B．40°C．－40° D．320°D[sin50°－isin140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos320°＋isin320°．]5．(多选)已知复数z对应的向量为OZ，复数z1＝(－1－3i)z对应的向量为OZ1，复数z2＝14-34iA．将OZ的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转4π3B．将OZ的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转4π3C．将OZ的模缩小为原来的12，再逆时针旋转π3D．将OZ的模缩小为原来的12，再顺时针旋转π3AD[由于(－1－3i)z＝2z-＝2zcos4π3＝12z＝12zcos5π二、填空题6．若|z|＝2，argz＝π3，则复数z＝________1＋3i[由题意知，z＝2cosπ3+isinπ7．arg-12-4π3[复数z＝－12－32i对应的点位于第三象限，且cosθ＝－12，所以8．设(1＋i)z＝i，则复数z的三角形式为________．22cosπ4+isinπ4[∴z＝i1+i＝i1-i＝22三、解答题9．设复数z＝(1－3i)5，求z的模和辐角的主值．[解]∵z＝(1－3i)5＝251＝32cos53π＝32cosπ∴复数z的模为32，辐角的主值为π310．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是3π2，则实数a的值是(A．1 B．－1C．－2 D．－3B[由于z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，argz＝3π所以a2-1=0，a＜11．“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[当复数z1，z2的模与辐角分别相等时，肯定有z1＝z2，充分性成立；但当z1＝z2时，z1与z2的辐角可以相等，也可以相差2π的整数倍，必要性不成立．综上，“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的充分不必要条件．故选A．]12．(多选)下列各角可以作为复数33－3i的辐角的是()A．－π6 B．C．－π3 D．AB[依题意得，r＝332+cosθ＝336＝32，复数33－3i对应的点在第四象限，所以arg(33－3i)所以2kπ＋11π6(k∈Z)都可以作为复数33－3i13．设复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别是α，β，则tan(α＋β)＝________．1[由于复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别是α，β，所以tanα＝12，tanβ＝13，所以tan(α＋β)＝tan14．在复平面内，一个正方形的四个顶点依据逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(其中O为原点)．已知点Z2对应的复数z2＝1＋3i，求Z1和Z3分别对应的复数z1，z3．[解]依据题意画出草图，如图所示