《圆》知识点含练习(华东师大版)VIP

《圆》知识点含练习(华东师大版)目录CONTENCT圆的基本概念与性质圆的方程与图形直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆的综合应用练习与提高01圆的基本概念与性质平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的定义圆由圆心、半径和圆周三个基本元素组成。圆的元素圆的定义及元素圆心半径直径圆的中心，用字母O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母d表示。直径是半径的两倍，即d=2r。圆心、半径与直径弧弦圆心角弧、弦与圆心角连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作“弧AB”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。圆是轴对称图形，任何一条经过圆心的直线都是它的对称轴。圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆的对称性圆的中心对称性圆的轴对称性02圆的方程与图形80%80%100%标准方程与一般方程$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$，其中$(a,b)$是圆心，$r$是半径。$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$，其中$D,E,F$是常数，且$D^{2}+E^{2}-4F>0$。标准方程可以转换为一般方程，一般方程也可以通过配方转换为标准方程。标准方程一般方程转换关系根据方程可以解出圆心的坐标。确定圆心确定半径绘制图形根据方程可以解出半径的长度。在坐标系中，以圆心为起点，半径为长度，可以绘制出圆的图形。030201圆的图形绘制不同的方程会决定不同的图形，包括圆的位置、大小和形状等。方程决定图形通过观察和分析圆的图形，可以推断出相应的方程。图形反映方程方程和图形之间可以相互转化，方便我们理解和应用圆的相关知识。相互转化方程与图形的联系03直线与圆的位置关系

相交、相切与相离相交直线与圆有两个不同的交点，即直线穿过圆内部。此时，圆心到直线的距离小于圆的半径。相切直线与圆有且仅有一个交点，即直线恰好与圆相切。此时，圆心到直线的距离等于圆的半径。相离直线与圆没有交点，即直线在圆外部。此时，圆心到直线的距离大于圆的半径。切线方程切点坐标切线方程与切点坐标对于给定的圆和切点，可以通过求圆心与切点连线的斜率，再利用点斜式方程求得切线方程。切点是直线与圆的交点，可以通过联立直线方程和圆的方程求解得到。01020304切线长切线与半径垂直切线长相等定理切线判定定理切线长与切线性质从圆外一点引到圆上的两条切线线段的长相等。在切点处，切线与通过切点的半径垂直。切线长是指从圆外一点引到圆上的两条切线线段的长。根据勾股定理和相似三角形性质，可以推导出切线长的计算公式。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。04圆与圆的位置关系两个圆有两个不同的交点，即两个圆有部分重叠。此时，两个圆心之间的距离小于两圆半径之和且大于两圆半径之差。相交两个圆有且仅有一个交点，即两个圆在某一点处相切。此时，两个圆心之间的距离等于两圆半径之和或两圆半径之差。相切两个圆没有交点，即两个圆完全分离。此时，两个圆心之间的距离大于两圆半径之和。相离相交、相切与相离公共弦两个圆相交时，两个交点所连成的线段称为公共弦。公共弦所在的直线称为两圆的公共弦所在的直线。连心线连接两个圆心的线段称为连心线。当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆相切时，连心线经过切点；当两圆相离时，连心线与两圆的公切线平行。公共弦与连心线内切判定定理若两圆的半径分别为$r_1$和$r_2$（$r_1>r_2$），且圆心距等于两圆半径之差（即$P_1P_2=|r_1-r_2|$），则两圆内切。外切判定定理若两圆的半径分别为$r_1$和$r_2$，且圆心距等于两圆半径之和（即$P_1P_2=r_1+r_2$），则两圆外切。判定方法根据圆心距与半径之间的关系来判断两圆的位置关系。当圆心距小于半径之和时，两圆相交；当圆心距等于半径之和时，两圆外切；当圆心距大于半径之和时，两圆相离。对于内切的情况，需要额外判断圆心距是否等于半径之差。两圆相切的判定定理05圆的综合应用圆的切线性质切线与半径垂直，切线的长度等于圆心到切点的距离，这些性质在求解切线问题时非常有用。圆的对称性圆是中心对称和轴对称图形，这一性质在解决几何问题时可以简化计算和推理过程。圆的弧、弦性质弧所对的圆心角等于弧度数的一半，弦的中垂线经过圆心等性质在解决与弧、弦相关的问题时非常关键。圆的性质在几何中的应用通过圆的标准方程，可以求出圆的圆心和半径，进而解决与圆相关的代数问题。圆的标准方程将圆的一般方程化为标准方程，可以更方便地研究圆的性质和进行代数运算。圆的一般方程利用圆的参数方程，可以将圆上的点表示为参数的函数，从而简化某些代数问题的求解过程。圆的参数方程圆的方程在代数中的应用直线与圆的位置关系01通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以判断直线与圆的位置关系（相离、相切、相交），并求出相应的交点或切点。圆与圆的位置关系02通过比较两圆圆心距与两圆半径之和或差的大小关系，可以判断两圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含），并求出相应的交点或公共弦。解析几何中的综合应用03结合直线与圆、圆与圆的位置关系，可以解决一些复杂的解析几何问题，如求轨迹方程、求最值等。直线与圆、圆与圆的位置关系在解析几何中的应用06练习与提高题目1已知两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，求以$AB$为直径的圆的方程。题目2题目3已知圆的方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径，判断点$P(x_0,y_0)$是否在圆上、圆内或圆外。已知圆的方程为$x^2+y^2=r^2$，其中$r$为半径，求圆心坐标和半径。基础练习题已知圆的方程为$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，求圆心坐标和半径。题目4已知两圆$C_1:(x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r_1^2$和$C_2:(x-a_2)^2+(y-b_2)^2=r_2^2$，判断两圆的位置关系（相离、相切、相交）。题目5已知圆$C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$和点$P(x_0,y_0)$，求过点$P$的圆的切线方程。题目6提高练习题题目8已知三个点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$和$C(x_3,y_3)$，求过这三点的圆的方程。题目9已知圆$C:(x-a)^2+(y-