第四章 优化设计41-42

第

三

章优化设计3.1概述3.2优化设计的数学模型3.3几种优化方法3.4优化方法的工程应用

3.1概述

1.优化设计基本概念

2.传统设计与优化设计的对比

3.优化设计的一般认知

4.优化设计的发展过程

5.优化的应用概述

优化是万物演化的自然选择和必然趋势。优化作为一种观念和意向，人类从很早开始就一直在自觉与不自觉地追求与探索。

优化作为一门学科与技术，则是一切科学与技术所追求的永恒主题，旨在从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。

优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问题中的应用，便是优化设计。

优化、优化设计和机械优化设计的含义例如，古代人类在生产和生活活动中经过无数次摸索认识到，在使用同样数量和质量材料的条件下，圆截面的容器比其他任何截面的容器能够盛放的谷物都要多，而且容器的强度也最大。1优化设计基本概念

优化是对问题寻优的过程，它是人们从事任何工作都希望实现的目标。

需要具备的两个条件：

①存在一个优化目标

②有多个可供选择的方案

优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术。是根据最优化原理和方法，以人机配合方式或“自动探索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。

通俗的说，优化设计就是根据设计模型及初始设计参数，选定一种优化方法编出程序，通过计算机，求出优化参数及优化性能指标。

（1）来源：优化一语来自英文Optimization，其本意是寻优的过程；（2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值（以max表示)或极小(以min表示)的过程。优化方法也称数学规划，是用科学方法和手段进行决策及确定最优解的数学；（3）优化设计：根据给定的设计要求和现有的技术条件，应用专业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求的许多可行方案中，按照给定的目标自动地选出最优的设计方案。

机械优化设计

就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。优化设计流程

常规设计流程

优化设计方法是应用数学最优化原理解决实际问题的设计方法。针对某一设计任务，以结构最合理，工作性能最佳，成本最低等为设计要求，在多种方案、多组参数、多种设计变量中确定主要设计变量的取值，使之满足最优设计要求。在机械设计中，优化设计体现为最佳设计方案的确定和最佳参数的确定。优化设计过程是以计算机自动设计选优为其基本特征。其设计过程一般分为如下四步:

(l)设计课题分析：首先确定设计目标，它可以是单项指标，也可以是多项设计指标的组合。然后分析设计应满足的要求，主要的有：某些参数的取值范围；某种设计性能或指标按设计规范推导出的技术性能；还有工艺条件对设计参数的限制等。

(2)建立数学模型：将实际设计问题用数学方程的形式予以全面、准确地描述，其中包括：确定设计变量，即哪些技术参数参与优选；构造目标函数，即评价设计方案优劣的设计指标；选择约束函数，即把设计应满足的各类条件以等式或不等式的形式表达。建立数学模型要做到准确、齐全这两点，这对于整个优化设计的效果是至关重要的。(3)选择优化方法：根据数学模型的函数性态、设计精度要求等选择适用的优化方法，并编制出相应的计算机程序。

(4)上机电算择优：将所编程序及有关数据输入计算机，进行运算，自动解得最优解，然后对所算结果作出分析判断，得到设计对象的最优设计方案。

即:

确定设计要求与规模

分析优化对象

选择合适的优化方法

编程上机

应用计算机来进行优化设计，具有如下特点:

(1)设计的思想是最优设计

需要建立一个正确反映设计问题的数学模型

(2)设计的方法是优化方法

一个方案参数的调整是计算机沿着使方案更好的方向自动进行的，从而选出最优方案

(3)设计的手段是计算机

由于计算机的运算速度快，分析和计算一个方案只需儿秒以至千分之一秒钟，因而可以从大量的方案中选出“最优方案”。

2传统设计与优化设计的对比

机械的现代优化设计方法---基于手工劳动或简易计算工具设计过程---特点------基于计算机的应用低效,一般只能获得一个可行的设计方案.①从实际问题中抽象出数学模型;②选择合适的优化方法求解数学模型.以人机配合或自动搜索方式进行,能从“所有的”可行方案中找出“最优的”设计方案.机械的传统设计方法传统设计与优化设计的对比

调查分析方案拟定技术设计产品制造试验验证零件试制经验或直观判断传统设计方法估算、经验类比或试验分析计算性能检验参数修改被动的重复分析

方案数量有限

计算机辅助设计的最优化设计方法建立数学模型选择优化算法优化结果评价主动设计

大量可行方案3.优化设计的一般认知

任何一项设计，都可以有许多不同的方案，对应同一种方案的参数，又可以有许多不同的数值。例如汽车的前照灯，外型可方可圆，灯泡可采用卤素灯、石英灯、组合灯……构成不同的方案，通过“方案优化”选定一种最好的方案。在每一方案中，又有外型尺寸、灯泡功率等需要确定的参数，通过"参数优化"来确定一组最好的参数。

从广义上说，任何一位设计师在做一项设计的时候总是选择他认为是最好的方案，都有某种程度上的“优化”，因此他可以说他的产品是经过“优化”的。

但是现在一般采用的是狭义的优化概念，就是利用现代的数学成果建立数学模型，用计算机进行计算，求出最优解的方法。无论何种意义上的优化，都有一个共同的特点，就是相对性。这个相对性有两方面的意义，一是优化是相对某种目标的，目标不同优化的结果不同。另一方面是在大多数的情况下，优化的结果并不是最优的，只能是相对好的。

“优化设计”的“优”是相对某个目标而言的；由于计算方法的限制，实际上找到的可能仅是“较优”的；经过优化设计的产品对于相应的评价指标在一定的时期内可能比其他同类产品具有一定的优势。4.优化设计的发展过程发展概况

历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪微积分的建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了变分法。直到上世纪40年代初，由于军事上的需要产生了运筹学，并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，例如轰炸机最佳俯冲轨迹的设计等。50年代末数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为优化设计中求优方法的理论基础。是新发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规划是其主要内容。

一般说来，对于工程设计问题，所涉及的因素愈多，问题愈复杂，最优化设计结果所取得的效益就愈大。最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是6O年代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计方法。利用这种方法，可以缩短设计周期大大，提高计算精度，可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优化设计问题。

大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领域中得到应用。第一阶段人类智能优化：与人类史同步，直接凭借人类的直觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法等。第二阶段数学规划方法优化：从三百多年前牛顿发明微积分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到迅速发展。第三阶段工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。第四阶段现代优化方法：如遗传算法、

模拟退火算法、

蚁群算法、

神经网络算法等，并采用专家系统技术实现寻优策略的自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发展。机械优化设计应用的发展5优化的应用

例如，工厂在安排生产计划时，首先要考虑在现有原材料、设备、人力等资源条件下，如何安排生产，使产品的产值最高，或产生的利润最大；

又如，在多级火箭发射过程中，如何控制燃料的燃烧速率，从而用火箭所载的有限燃料使火箭达到最大升空速度；

再如，在城市交通管理中，如何控制和引导车辆的流向，尽量减少各个交叉路口的阻塞和等待时间、提高各条道路的车辆通行速度，在现有道路条件下取得最大的道路通行能力。机械优化设计应用实例

美国波音飞机公司对大型机翼用138个设计变量进行结构优化，使重量减少了1/3；大型运输舰用10个变量进行优化设计，使成本降低约10%。

实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，降低自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。优化设计在汽车设计中的应用举例

----汽车在悬架系统方面的优化设计汽车悬架系统非线性阻尼的优化设计，以轿车后悬挂系统作为研究对象,将汽车简化成两个自由度的振动系统,采用改进的非高斯闭合法计算车辆在路面谱激励下车身振动加速度均方根值、车轮与路面间相对动载及悬架的穿越频率．在此基础上提出了一种对汽车悬架非线性阻尼进行优化设计的方法,该方法在汽车动态设计研究中具有一定的实用价值.优化设计在汽车设计中的应用举例

----汽车整体式转向机构的优化设计

汽车双前桥转向系统的运动学模型及其最优化设计

从整体考虑双前桥转向机构的优化问题,通过平面投影的方法建立了双前桥转向机构的运动学模型。运用优化理论确定设计变量的优化目标函数，在Matlab软件中进行优化计算，并对优化后的结构进行误差分析，最终得出满意解决方案，具有较高实用价值。优化设计在汽车设计中的应用举例

----汽车车架结构的优化设计以有限元结构分析和优化算法相结合为手段,以某型载货车车架为例,先对车架进行拓扑优化获得车架最优拓扑形式,根据车架最优拓扑形式确定横梁的数量及分布位置和纵梁的加强方式,得到车架的概念化设计。优化设计在汽车设计中的应用举例

----汽车车架结构的优化设计然后对横梁和纵梁的截面尺寸进行优化，建立车架的力学模型→优化参数模型→优化数学模型→有限元模型，采用ANSYS参数化设计语言编制优化设计程序，用ANSYS软件中的零阶优化方法获得最优设计，计算结果表明该优化设计方法的有效和高效，该方法可广泛应用于车架的优化设计工程。优化设计在汽车设计中的应用举例

----汽车传动轴的优化设计空心传动轴的可靠性优化设计在普通优化设计的基础上，根据可靠性设计准则，将空心传动轴的应力及强度视为随机变量，建立起空心传动轴的可靠性优化设计模型，实例说明可靠性优化设计方法比传统设计方法更可靠、经济。

优化设计在汽车设计中的应用举例

----汽车传动系参数的优化设计汽车传动系参数对整车的动力性和经济性有很大的影响。以驱动功率损失率和六工况百公里油耗量分别作为衡量汽车动力性和经济性的评价指标，采用动力性经济性统一目标函数建立汽车传动系参数优化模型，应用MATLAB软件优化工具箱中的优化计算函数来编制程序。对具体的样车的传动系参数进行优化，可以获得经过优化的传动系参数。优化设计在汽车设计中的应用举例

----离合器的仿真优化设计为了在离合器设计过程中降低膜片弹簧离合器的制造成本，减小尺寸，使之在结构上得到更好的性能，可以整个结构重量最小为主要设计目标的离合器数学模型，并对膜片弹簧离合器参数进行优化计算。结果显示，在保证性能要求的前提下,该方法所设计的膜片弹簧离合器能显著地降低结构的重量。优化设计在汽车设计中的应用举例

----内燃机连杆的优化设计采用最优化理论对连杆进行有限元的优化设计。通过优化设计，连杆在强度和刚度都满足设计要求的情况下，其质量比原来连杆质量减少许多，其中强度富裕部位的金属被自动减少，而强度薄弱部分被自动增强，并且应力分布也比较合理。优化设计在汽车设计中的应用举例

----汽车驱动桥壳优化设计作为汽车的主要承载件和传力件，驱动桥壳支撑着汽车的荷重，并将载荷传给车轮。作用在驱动车轮上的牵引力、制动力和侧向力是经过桥壳传到悬挂及车架或者车身上。驱动桥壳结构强度直接关系到整车设计的好坏。

3.2优化设计的数学模型

1.设计变量

2.约束条件

3.目标函数

4.优化设计问题一般数学形式

5.建立数学模型一般步骤

6.优化问题的几何解释和基本解法

7.优化设计的分类实例1：

有一块边长为6m的正方形铝板，四角各裁去一个小的方块，做成一个无盖的盒子。试确定裁去的四个小方块的边长，以使做成的盒子具有最大的容积。

解：设裁去的四个小方块的边长为x，则盒子的容积可表示成x的函数f(x)＝x(6-2x)

24.2

优化设计的数学模型于是，上述问题可描述为变量x—设计变量

f(x)＝x(6-2x)2—目标函数

g(x)＝x>0—约束条件使函数f(x)＝x(6-2x)2

极大化

即对

f(x)=6x-2x3求导

f’(x)=1-x2=0得出：x=1,-1

∵x>0∴x=1为所求解。数学模型的一般形式

实例可以看出，优化设计的数学模型由设计变量、目标函数和约束条件三部分组成，可写成以下统一形式：求变量

x1,x2,…..,xn

使极小化函数f(x1,x2,…..,xn)

满足约束条件

gu(x1,x2,…..,xn)≤0(u=1,2,…m)

hv(x1,x2,…..,xn)=0(v=1,2,…p)设计变量目标函数不等式约束条件等式约束条件实例2

某工厂生产甲、乙两种产品。生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润，以及能够提供的材料、工时和电力见下表。试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。产品材料/kg工时/h电力/(kw.h)利润/元甲93460乙4105120供应量360300200

这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。解：设每天生产甲产品x1件，乙产品x2件，每天获得的利润可用函数f(x1,x2)表示，即

f(x1,x2)=60x1+120x2

每天实际消耗的材料、工时和电力可分别用函数g1(x1,x2)、g2(x1,x2)和g3(x1,x2)表示，即于是上述生产计划问题可归结为满足条件求变量使函数

极大化1.设计变量

一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。

优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。

由n个设计变量为坐标所组成的实空间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示。设计变量的分类

１）连续变量：可以在实数范围内连续取值的变量。（例如轴径、轮廓尺寸等）

注：大多数机械优化问题的设计变量都属于这种变量。可用常规的优化方法进行求解。

２）离散变量：只能在给定数列或集合中取值的变量。（例如齿轮的齿数，模数，各种标准规格等）。

注：少数的机械优化问题的设计变量是离散变量，对于离散变量的优化问题，可先将其视为连续变量，用常规的优化方法求最优解。图1-1设计变量所组成的设计空间（a）二维设计问题（b）三维设计问题只有两个设计变量的二维设计问题可用图1-1（a）所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用图1-1（b）所表示的空间直角坐标表示。设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。

小型设计问题：一般含有2～10个设计变量；中型设计问题：10～50个设计变量；大型设计问题：50个以上的设计变量。目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题。

如何选定设计变量？

任何一项产品都众多设计变量的综合体。变量越多，可以细致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以选定设计变量时应注意以下几点：（1）抓主要，舍次要。把对产品性能和结构影响大的参数取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。

例如，圆柱螺旋弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d，弹簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在设计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量Ｇ等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径D作为设计常量。

2.约束条件

设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上无法实现的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。

一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。

约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型：(1)等式约束(2)不等式约束显式约束与隐式约束

约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式,复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。根据约束的性质可以把它们区分成：性能约束——针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求；边界约束——只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴长度的限定范围就属于边界约束。可行域

每一个不等式或等式约束都将设计空间分为两个部分，满足所有约束的部分形成一个交集，该交集称为此约束问题的可行域，记作φ。可行域可看作满足所有约束条件的设计点的集合，因此，可用集合式表示如下：

约束边界：等式约束本身就是约束边界。约束边界

图1-2设计空间中的约束面（或约束线）(a)二变量设计空间中的约束线(b)三变量设计空间中的约束面

如图1-3上画出了满足两项约束条件g1（X）=x12＋x22—16≤0和g2（X）＝2—X2≤0的二维设计问题的可行域D，它位于X2=2的上面和圆x12＋x22=16的圆弧ABC下面并包括线段AC和圆弧ABC在内。图1-3约束条件规定的可行域D

可行域:在设计空间中，满足所有约束条件的所构成的空间。3.目标函数

在优化过程中，设计变量的不断向F(x)值改善的方向自动调整，最后求得F(x)值最好或最满意的x值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：

体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。

为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以F(x)表示。

在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。转化合成一个包含多目标在一起的，构造构造一个总目标函数，根据权重分配系数．在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。

在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。

52

离合器的设计和计算

一、离合器基本参数的优化

设计变量

X=[x1x2x3]T=[FDd]T

目标函数离合器基本参数优化设计追求的目标是在保证性能要求的条件下，使其结构尺寸尽可能小：

f(x)=min[0.25π(D2－d2)]

约束条件：

1.摩擦片的外径D的选取应使最大圆周速度υD不超过65-70m/s，即：

υD=πnemaxD×10-3/60≤65～70m/s

2.摩擦片的内外径之比应在0.53～0.70范围内，即：

0.53≤d/D≤0.70

3.为保证离合器可靠传递转矩，并防止传动系过载，β值应在一定的范围内，即：

1.2≤β≤4.0

4.为了保证扭转减振器的安装，摩擦片内径必须大于减振器弹簧位置直径2R0约50mm，即：

d>2R0+502024/3/2553

5.为了反映离合器传递转矩并保护过载的能力，单位摩擦面积传递的转矩应小于其许用值，即：

Tc0=4Tc/πZ(D2－d2)≤[Tc0]

6.为降低离合器滑磨时的热负荷，防止摩擦片损伤，单位压力p0在0.1~1.5MPa范围内选取，即：

0.10≤p0≤1.50

7.为减少汽车起步过程中离合器的滑磨，防止摩擦片表面温度过高而发生烧伤，每一次接合的单位摩擦面积滑磨功应小于其许用值，即：

w=4W/πZ(D2－d2)≤[w]

约束条件：离合器规格D/mm≤210≻210—250≻250-325≻325[Tc0]*10-20.280.300.350.402024/3/25541.目标函数

弹簧工作时的最大应力为最小；从动盘摩擦片磨损前后弹簧压紧力之差的绝对值为最小；在分离行程中驾驶员作用在分离轴承上的分离操纵力平均值为最小；在摩擦片磨损极限范围内，弹簧压紧力变化的绝对值为最小；选c)、d)两个目标函数为双目标。为了既保证离合器使用过程中传递转矩的稳定性，又不致严重过载，且能保证操纵省力，选e)作为目标函数，通过两个目标函数分配不同权重来协调他们的矛盾，并用转换函数将两个目标合成一个目标，构成统一的总目标函数：

f(x)=ω1f1(x)＋ω2f2(x)

式中：ω1和ω2分别为两个目标函数的加权因子，视设计要求选定。2024/3/25膜片弹簧的优化设计目标函数的构造

目标函数等值（线）面

目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。目标函数的等值面（线）数学表达式为：

c为一系列常数，代表一族n维超曲面。如在二维设计空间中，F(x1,x2)=c

代表x1-x2设计平面上的一族曲线。对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。图1-4等值线图1-4表示目标函数f（X）与两个设计变量x1，x2阶所构成的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓。利用等值线的概念可用几何图像形象地表现出目标函数的变化规律。例1函数f(x)＝xl2十x22一4x1十4的图形(旋转抛物面)，以及用平面f(X)＝c切割该抛物面所得交线在设计空间中的投影。函数的等值面簇

从等值线上，可以清楚地看到函数值的变化情况。其中F=40的等值线就是使F(x1,x2)=40的各点[x1,x2]T所组成的连线。

如图函数的等值线图。等值线等值线有以下特点:

(1)不同值的等值线不相交；

(2)除极值点外，在设计空间内，等值线不会中断；

(3)等值线反映了目标函数值的变化规律，愈内层的等值线，其函数值愈小，等值线族的中心点就是目标函数的极值点，因此，求目标函数的极值点也就是求等值线族的共同形心问题;

(4)等值线的间隔愈密，表示该处函数值的变化率愈大，否则变化愈小；

(5)一般说，在极值点附近，等值线近似地呈同心椭圆族，极值点就是椭圆的中心点。4.优化设计问题一般数学形式满足约束条件：求设计变量向量使目标函数一般数学形式：

对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。

最优化设计的目标函数通常为求目标函数的最小值。若目标函数的最优点为可行域中的最大值时，则可看成是求［-F（X）］的最小值，因为min［-F（X）］与maxF（X）是等价的。当然，也可看成是求1／F（X）的极小值。1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量。3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。5.建立优化设计问题的数学模型一般步骤：例1：如下二维非线性规划问题一、几何解释6.优化问题的几何解释和基本解法

通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想。

目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：约束方程所围成的可行域是D。由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得该切点为，对应的最优值为(见图）例2：解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最小值的点。由以上例子可见，对二维最优化问题。我们总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，已无法在平面上作图。在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常数值的是{X|f(X)=C,C是常数}称为目标函数的等值面。等值面具有以下性质：（1）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函数；（2）等值面密集的地方，目标函数值变化得较快，而稀疏的地方变化得比较慢；（3）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似地呈现为同心椭球面族（椭圆族）。

二、基本解法解析法数值解法

解析法：即利用数学分析(微分、变分等）的方法，根据函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最优解析解的求解方法。在目标函数比较简单时，求解还可以。

局限