2022-2023学年湖北省武汉市高一年级下册册数学六月考试试题（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市高一下册数学六月考试题

（含解析）

一、单选题

1.从高一抽三名学生参加数学竞赛，记事件/为“三名学生都是女生”，事件8

为“三名学生都是男生“，事件C为“三名学生至少有一名是男生"，事件。为“三

名学生不都是女生“，则以下错误的是（）

A.事件Z与事件8互斥B.P（CHP（D）

C.事件Z与事件。互斥D.事件Z与事件。对立

2.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若

从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（）

2452

CD-

A.9-B.9-9-3

3.少年强则国强，少年智则国智.党和政府一直重视青少年的率

一

A频

Tg距

健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质.尹OS.三

06k一

S

05h二

二

了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了S04l-U

03h-

O.02l-

100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布

O556065707580⅛g∕kg

直方图如图所示，则下列结论正确的是（）j

A.样本的众数为65B.样本的第80百分位数为72.5

C.样本的平均值为67.5D.该校学生中低于65kg的学生大约为IOoO人

4.在MBC中'角A、B、C的对边分别为。、…，若意熹,C?=/+/",

则MBC是（）

A.钝角三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.在斜三棱柱/8。-ZfG中，4,A）分别为侧棱/4,84上的点，且知

BBa=A0A.,过％,B0,G的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（）

A.2:1B.4:3C.3:2D.1:1

班级人数平均分数方差

1I140705

6.在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统乙60808

计如下表，则两个班所有学生的数学成绩的方差为（）.

A.6.5B.13

C.30.8D.31.8

7.在三棱锥1-8。中，△/BO和48CO都是等边三角形，BD=6,平面4801平

面88,M是棱NC上一点，且4W=2∕C,则过M的平面截三棱锥Z-8CD外

接球所得截面面积的最大值与最小值之和为（）

A.24πB.25πC.26πD.27π

8.已知正四棱锥P-48C。的体积为36,底面/88的面积为18,点E、/分别

为P4、PC的中点，点G为PB的靠近点8的三等分点，过点£、F、G的平面将

该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（）

ANB∙座C∙@ID∙3石

555

二、多选题

9.一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中任意取出两个球.

设事件P表示“取出的球都是黑球“，事件。表示“取出的球都是白球“，事件火

表示“取出的球中至少有一个黑球“，则下列结论错误的是（）

A.P和火是互斥事件B.P和。是对立事件

C.Q和及是对立事件D.。和R是互斥事件，但不是对立

事件

10.»18C的内角A,B,C的对边分别为α,b,C,α=√7,b=2,/=1,则（）

A.c=3B.sin8=且C.外接圆的面积为芋D.”8C的面

73

积为也

2

11.现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已

知三位球员得分情况的数据满足以下条件：甲球员：5个数据的中位数是26,众

数是24；乙球员；5个数据的中位数是29,平均数是26；丙球员：5个数据有1

个是32,平均数是26,方差是9.6；

根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（）

A.甲球员连续5场比赛得分都不低于24分

B.乙球员连续5场比赛得分都不低于24分

C.丙球员连续5场比赛得分都不低于24分

D.丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24

12.如图，矩形/8CZ)中，AD=CAB=I陋,边4D,BC的中点分别为E,F,

直线BE交/C于点G,直线。/交NC于点”.现分别将A∕8E,AC。尸沿BE,DF

折起，点4C在平面BEOE同侧，则()

D.当4C重合于点尸时，三棱锥尸-8"与三棱锥P-OEF外接球的公共圆的

周长为IoJt

三、填空题

13.某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行

分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是人

14.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记第一次得到的点数为X,第二次得

到的点数为人则bgQ+y)≥2的概率为.

15.某同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台4A

到地面的距离/3为(15-5√J)m,在它们之间的地面上的点M(β,M,c

。三点共线)处测得阳台4天文台顶C的仰角分别是15。和60。，在

阳台A处测得天文台顶C的仰角为30。，假设”，CD和点M在同一平鼠二

DMB

面内，则该同学可测得学校天文台CO的高度为m.

16.设锐角“BC的三个内角A.8.C的对边分别为。.6.c,且c=1,力=2C,则"IBC

周长的取值范围为.一

四、解答题

17.已知函数"x)=αχ2-bχτ,集合P={1函,3,4},Q={2,4,6,8},若分别从集合尸,

。中随机抽取一个数4和6,构成数对SM.

⑴记事件/为“函数/(x)的单调递增区间为［1，+8)”，求事件/的概率；

(2)记事件B为“方程∣∕(x)∣=2有4个根”，求事件B的概率.

18.从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革,实行高考科目“3+1+2”

模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考

生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指

考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考

成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划

分为儿B,C,D,E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：

将各等级内考生的原始分依照等等级ABCDE

比例转换法分别转换到赋分区间

人数比例15%35%35%13%2%

内，得到等级分，转换公式为

赋分区间[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

=与子，其中毛，八分别表

示原始分区间的最低分和最高分，T1,弓分别表示等级赋分区间的最低分和最高

分，丫表示考生的原始分，7表示考生的等级分，规定原始分为乂时，等级分为小

计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50,最高分为98,呈连

续整数分布，其频率分布直方图如下：

(1)求实数a的值；

(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩4等级

的原始分区间.

(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成

绩的原始分为90,试计算其等级分.

19.A∕8C的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知c="7,且"8C的面

⑴求C;

(2)若“8C内一点P满足/P=ZC,BP=CP,求NPNd

20.如图1,在直角三角形/8C中，/C为直角，4=30。,。在ZC上,且D∕=oc=√L

作DEjL4B于E,将三角形ADE沿直线DE折起到ΛPDE所处的位置,连接PB,PC,

如图2.

EB

m∣

⑴若平面尸。EI平面BCOE,求证：BE，PZ)；

(2)若二面角尸-OE-/为锐角，且二面角P-8C-E的正切值为手，求P8的长.

21.已知如图1直角梯形Z8CD,AB//CD,/DAB=90°,AB=A,AD=CD=

2,E为28的中点,沿EC将梯形ABCD折起(如图2),使平面BED_L平面AECD.

(1)证明：BE，平面NEa)；

(2)在线段CD上是否存在点凡使得平面口8与平面EBC\

所成的锐二面角的余弦值为白若存在，求出点厂的位置：J——LA

若不存在，请说明理由.

22.某公园有一块长方形空地/88,如图，AB=I,AD=A.为迎接“五一”观

光游，在边界BC上选择中点E,分别在边界/8、上取V、N两点，现将三

角形地块MEN修建为花圃，并修建观赏小径EM,EN,MN,且,

ΛMEN=-π.

(1)当NBEM=9时，求花圃的面积;

6

⑵求观赏小径EM与EN长度和的取值范围.

答案解析

一、单选题

1.从高一抽三名学生参加数学竞赛，记事件彳为“三名学生都是女生“，事件B为“三名学生

都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生“，事件。为“三名学生不都是女生“，则

以下错误的是()

A.事件N与事件8互斥B.P(C)≠P(D)

C.事件Z与事件。互斥D.事件/与事件C对立

【正确答案】B

【分析】由独立乘法公式求P(∕),根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、

D即可.

【详解】由所抽学生为女生的概率均为则P(N)=,A正确;

48两事件不可能同时发生，为互斥事件，C正确；

C事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，

其对立事件为A,D正确：

。事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，

与C事件含义相同，故P(C)=P(D),B错误；

故选：B.

2.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙

校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是()

A.jB.-C.JD.,

9999

【正确答案】B

【分析】从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，列出基本事件的总数，利用古典概型求解

即可.

【详解】设甲校2男1女的编号分别为1,2,A,乙校1男2女编号分别为B,3,4,

若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果有：(43),(4,4),(4回,

(1,3),(1,4),(LB),(2,3),(2,4),(2,8)共计9个,

选出的2名教师性别相同的结果有。道)，(2,8),(43),(44)共计4个,

故选出的2名教师性别相同的概率为1.

故选：B

3.少年强则国强，少年智则国智.党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政

策和行动计划，提高学生身体素质.为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生

中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示,

则下列结论正确的是()

A频率

↑W.

0.06r---------1---1

0.05卜------

oo

∙Oτπ55606I5τ707ħ580春,重∕kg

A.样本的众数为65B.样本的第80百分位数为72.5

C.样本的平均值为67.5D.该校学生中低于65kg的学生大约为IOOO

人

【正确答案】B

【分析】根据众数，百分位数，平均数的定义判断A,B,C,再求低于65kg的学生的频率,

由此估计总体中体重低于65kg的学生的人数，判断D.

【详解】由频率分布直方图可得众数为67.5,A错误；

平均数为57.5X0.15+62.5X0.25+67.5*0.3+72.5x0.2+77.5*0.1=66.75,C错误;

因为体重位于[55,60),[60,65)[65,70)[70,79的频率分别为0.15,0.25,0.3,0.2,

因为0.15+0.25+0.3+0.2>0.8,

所以第80百分位数位于区间[70,75)内，设第80百分位数为X,

则0.15+0.25+0.3+(x-70)x0.04=0.8,

所以X=72.5,即样本的第80百分位数为72.5,B正确：

样本中低于65kg的学生的频率为0.15+0.25=0.4,

所以该校学生中低于65kg的学生大约为3000x0.4=1200,D错误；

故选：B.

222

4.在Δ48C中，角A、B、C的对边分别为。、6、C,若，一=」一，c=a+b-ab,

cosAcosB

则ΔJ8C是()

A.钝角三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【正确答案】B

【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.

【详解】在A48C中，由正弦定理得一j=—二，而，一

sinAsinBcosAcosB

.sinJsin8,C

・・----=-----,即ππtan4=tan8,

cosAcosB

又TA、3为的内角，；.A=B,

又∙：c2=a2+h2-aby.*.ab=a2+b2—C2»

.∙.由余弦定理得：CoSC=/+价V=L：.C=-,

Iab23

.*.A4BC为等边三角形.

故选：B.

5.在斜三棱柱/8C-4MG中，A0,稣分别为侧棱44，8A上的点，且知附。=44,过

A0,B0,£的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（）

A.2:1B.4:3C.3:2D.1:1

【正确答案】A

【分析】由已知中三棱柱的侧棱44和8片上各有一动点％，综满足BB°=44,可得四边

形44"与四边形4线与4的面积相等，等于侧面H880的面积的一半，根据等底同高的

棱锥体积相等，可将四棱锥C-4综历!的体积转化三棱锥C-M4的体积，进而根据同底同

高的棱锥体积为棱柱的;，求出四棱锥C-Po84的体积，进而得到答案.

【详解】设三棱柱/8C-/4G的体积为产

•••侧棱AAt和网上各有一动点A0,B0满足BBn=414，

•••四边形与四边形A0B0BlAt的面积相等.

故四棱锥C-4综历!的体积等于三棱锥C-”4的体积等于;匕

2

则四棱锥c-4为44的体积等于jV.

故过4，B0,G三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为2:1

故选.A

6.在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表:

班级人数平均分数方差

甲40705

乙60808

则两个班所有学生的数学成绩的方差为（）.

A.6.5B.13C.30.8D.31.8

【正确答案】C

【分析】由表格的数据求出两个班所有学生的数学平均分数，再根据方差公式计算两个班所

有学生的数学成绩的方差.

【详解】因为甲班平均分数为章=70,乙班平均分数为£=80,

所以两个班所有学生的数学平均分数为最=竺W空智=76，

40+60

所以两个班所有学生的数学成绩的方差为：

盛χ[5+（铲]卜薪x[8+（五

=-40XΓ5+（70-76）2^]÷60XΓ8+（80-76）2^∣=-=30.8.

40+60L」40+60Lj5

故选：C

7.在三棱锥A-BCD中，△ABD和△BcD都是等边三角形，8。=6,平面ABDL平面BCD，

M是棱/C上一点，且ZM=2Λ∕C,则过M的平面截三棱锥/-8Cz）外接球所得截面面积

的最大值与最小值之和为（）.

A.24πB.25πC.26πD.27π

【正确答案】D

【分析】根据题设找到三棱锥"-8CO外接球球心位置，由已知及球体截面的性质求过/

平面截球体的最大截面积，根据外接球球心、面面垂直以及比例关系易知“共线，且

过〃平面截球体的最小截面积时OM_L该平面，且OM=√i,即可求最大、最小面积和.

【详解】由题设，若G为8。中点，瓦广分别是等边4HBO和等边48CQ的中心,

连接∕G,CG,则E,尸分别在∕G,CG上，且EG=FG=J4G=,cG=Ji,

33

AGLBD,CGLBD,∕G∏CG=G,∕G,CGu面/GC,故BD，面/GC,

又5。U面/5。，所以，面48OJ.面4GC,

又面ABD1面BCD,过E作面ABD的垂线与过F作面Ba)的垂线交于O,

即OEL面48。，QFL面BCD,则。为/-BCD外接球球心，

OEJ_面/8。，且Ee/G,OiAG,则OEU面/。G,所以面4。GJ_面/BO,

综上，结合面/8Z)C面NGC=NG,面/8。C面40G=∕G,则面/0G、面4GC为同一

平面，所以Oe面/GC,

由面?18。J.面8C£>,AGYBD,NGu面/8。，面4BDc面BCD=BD,

所以ZGJ■面8C。，CGU面5CD,即ZGJ_CG,且EG=FG知：OEGF为正方形,

ɔ

如上图，AE=-AG=2yβ,OE=FG=B若4-80外接球半径为火,

所以尸=∕E2+OE?=15，

由球体的性质，要使过M平面截三棱锥N-BS外接球所得截面面积的最大，则平面必过

球心，

所以，最大截面圆面积为S=πR?=15π,

要使过M平面截三棱锥A-BCD外接球所得截面面积的最小，则OM1该平面，

4FAMFM9

因为∕V=2MC,而E,Λ∕都在面ZGC上，故强=吗=妥=4，

AGACGC3

而GC=3√i,故EM=2也,显然E,。,M共线，故OM=EM-OE=5

此时截面圆的半径为『，则，=R2-002=]2，

所以，最小截面圆面积为S'=π∕=12兀，

综上，最大值与最小值之和为27兀.

故27π

关键点点睛：根据球的性质判断过M平面截棱锥外接球截面面积最大、最小时截面与OM的

位置关系，利用几何关系求截面圆半径，最后求面积和.

8.已知正四棱锥P-/8C。的体积为36,底面/8CD的面积为18,点E、尸分别为P/、PC

的中点，点G为P8的靠近点B的三等分点，过点E、F、G的平面将该四棱锥分成上、下

两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（）

AwB.座CD.3√J

555

【正确答案】C

【分析】连接ZC、BD,设/Cn8。=。，连接尸。，连接Gq并延长交尸。于点H,连接

GE、GF、HE、HF,在△尸8。中，过点B作5A/〃G”交尸。于点M,交P。于点。？，过

点、M作MN上BD交BD于点、N,证明出E尸，GH,计算出EF、G”的长，进而可求得截

面四边形的面积.

【详解】连接4C、BD,设∕C∏8D=O,连接尸。，

易知P。为正四棱锥P-48CD的高，连接E尸交PO于点Q.

因为点E、尸分别为尸/、尸C的中点，则£//MC,

因为E尸npo=q,所以，。为P。的中点.

连接G。并延长交尸。于点H,连接GE、GF、HE、HF,

因为四边形/BCo为正方形，则ZC人8。，

因为尸。■/平面/8CD,ZCU平面ZBCD,所以，ACVPO,

因为Pons。=。，PO、8。U平面P8。，所以，/C_L平面P8D,

因为GaI平面PBD,所以，ACVGH,则.G”,

四边形GE〃尸为所求的截面四边形，如图1.

BC

图1

因为正四棱锥P-/5CZ）的体积为36,底面/88的面积为18,

所以底面/8CD是边长为3五的正方形，则∕C=8O=6,

由-B8=ɪSOABCD∙P。=；X18X尸。=36,可得Po=6，

在APBO中，过点、B作BM//GH交PD于点、M,交Po于点仇，

过点M作MNJ.8。交B。于点N,如图2.

,GHPO,PG2

因为BMHGH,则砺=苑=再=鼠

139

又α为尸。的中点，。为8。的中点，所以尸O∣=5R9=3,PO2=-PO=-,

93

OO->=PO—PO=6—=—,OB=OD=3，

122

UU1、1八GArMNPO6_MNOQ3\1_

所以tanZMDN=-----=------=—=2tanZ.MBD------=-=-=—X—=

DNOD3BNOB232

则。N=1/WN,BN=IMN,所以BD=BN+DN=2MNJMN=HMN=6,

222

12所以BN=§,贝Ij=BN1+MN2=J(Fj+(同=(ɪ,

故MN=工,

^GH=-BM=—.

35

故四边形GEHF的面积为S醐形回F=；EFGH=→3×等=呼，

故选：C.

方法点睛：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平

面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键.

(1)平面的四个公理及推论；

(2)直线和平面平行的判定和性质；

(3)两个平面平行的性质；

(4)球的截面的性质.

二、多选题

9.(多选)一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中任意取出两个球.设

事件尸表示“取出的球都是黑球“，事件。表示“取出的球都是白球“，事件R表示“取出的球

中至少有一个黑球“，则下列结论错误的是()

A.尸和R是互斥事件

B.尸和。是对立事件

C.。和R是对立事件

D.。和R是互斥事件，但不是对立事件

【正确答案】ABD

【分析】根据对立事件、互斥事件的定义一一判断即可.

【详解】袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法有如下几种:①

取出的两球都是黑球;②取出的两球都是白球;③取出的两球一黑一白.

事件R包括①③两种情况，.∙.事件尸是事件R的子事件，故A中结论不正确；

事件0与事件R互斥且对立，故C中结论正确，D中结论不正确；

事件P与事件。互斥，但不对立，故B中结论不正确.

故选：ABD.

10.的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,α=√7,b=2,∕=g,则（）

A.c=3

R∙向

B.sinB=-----

7

C.小8C外接圆的面积为日

D.“8C的面积为殛

2

【正确答案】ABD

【分析】设的外接圆的半径为尺,利用正弦定理求出sin5=变,7?=叵，再利用余

73

弦定理和正弦定理求出C以及S“ye即得解.

【详解】解：设A∕8C的外接圆的半径为R,

因为S------=-------=2R所以SinX-Sin8-sinC

sinAsinBsinC

ɪ

所以SinB=立1,R=叵，则“8C夕卜接圆的面积为万4=W.

733

因为/=〃+c?-26CCoS/=4+c?-2χ2ccos工=7,所以C=3,

3

所以S△皿,A，4=16*吏=尤，所以ABD正确，C错误.

4ABe2222

故选：ABD

11.现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员

得分情况的数据满足以下条件：

甲球员：5个数据的中位数是26,众数是24；

乙球员；5个数据的中位数是29,平均数是26；

丙球员：5个数据有1个是32,平均数是26,方差是9.6；

根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是()

A.甲球员连续5场比赛得分都不低于24分

B.乙球员连续5场比赛得分都不低于24分

C.丙球员连续5场比赛得分都不低于24分

D.丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24

【正确答案】AD

【分析】根据中位数，众数的定义判断A,结合中位数，平均数的定义举反例判断B,根据

平均数和方差的定义，百分位数的定义，分析丙球员的得分判断CD.

【详解】设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为3,》2，七，匕，毛，

则％≤W≤∙x4，W=26,且24至少出现2次，

故XJ=X2=24,A正确：

设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为%,上，为%，K，

则必≤%≤%≤乂≤%，必=29，

取必=20,%=23,乂=29,%=29,可得其满足条件，但有2场得分低于24,B错误；

设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为Z∣,Z2,Z3,Zs,

222

由已知g[(z∣_261+仁-26『+仿-26)+(z4-26)+(z5-26)]=9.6,

222

所以(z∣-26)，仁—26)2+①一26)+(z4-26)+(z5-26)=48，

若z,≥32,JjIllz5>32,

所以(Zl—26)+(z2—26)+仁―26)+(z4—26)+(z5—26)>72,矛盾，

所以Z5=32,(Z]—26)+(z?—26)+(Z3—26)+(z4—26)=12,

因为z∣,Z2,Z3,zi,,Z5的平均数为26,所以z∣+Z2+Z3+Z4=98,

aZ1=23,Z2=25,Z3=25,Z4=25,满足要求，但有一场得分低于24分，C错误；

因为5x60%=3,所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为三产，

若则^⅛≤24,⅛Z,+Z2+Z3+Z4<98,矛盾，

所以马三五>24,所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24,D正确；

2

故选：AD.

12.如图，矩形/8Cr)中，AD=CAB=I电,边3BC的中点分别为E,F,直线

BE交AC于点、G,直线。尸交NC于点”.现分别将A∕8E,ACDF沿BE,。尸折起，点4。

A.当平面HEBJ.平面BEAF时，/GJ.平面BEDF

B.当平面/EB//平面Cz)F时，AEHCD

C.当4C重合于点尸时，二面角P-OF-B的大小等于60°

D.当4C重合于点尸时，三棱锥P-BEF与三棱锥尸-OE尸外接球的公共圆的周长为Ion

【正确答案】ACD

【分析】对于A,先利用三角形相似证得/GL8E,再利用面面垂直的性质定理证得NGL

平面BEDF,从而得以判断；

对于B,先利用线面垂直推得平面/G”与平面C//G重合，再利用面面平行的性质定理证

得4G"CH,进而推得4C〃GH,从而利用线面平行的性质定理推得G"//EO,由此得以判

断；

对于C,由。尸工平面尸HG得到二面角P-。尸-8为N/7/G,进而由4G=CH=G"推得

NPHG=60。,据此判断即可：

对于D,先分析得三棱锥P-BE厂与三棱锥P-OE尸外接球的公共圆为！PE尸的外接圆，再

由勾股定理证得PE_LPF,从而求得公共圆的直径，由此得解.

【详解】对于A,在矩形/8Co中，AD=^AB=im，E是工。的中点，

所以ZE=J∕D=5√Ξ,CD=AB=XQ,则任="=出，

2AB2AD

又NBAE=NADC=90P,所以^AEB~ADCA,则ZABE=ZDAC,

所以NO∕C+N4EG=N4BE+N4EG=90°,则N∕GE=90°,i^AGlBE,

当平面/EB_L平面BE。E时，如图1,

又因为平面∕E8Γ∣平面BEOF=8E,/Gu平面/EB,

所以/GJ.平面8皮＞尸，故A正确.

图1

对于B,当平面，8E∕/平面COF,如图1,

由选项A易知在矩形/8Co中，ACLBE,ACLDF,则BE〃。尸，

所以在RtZXZBE中，BE=YAE2+AB?=5戈，AG=AB,啊~，

BE3

同理Ca=p∣ljG∕∕=lθ2ʌ,AG=CH,

33

又BELAG,BELGH,AGCGH=G,4G,GHu面AGH,

所以8EJ.面ZG”,同理。F工平面C//G,

又因为BE〃。尸，所以平面/GH与平面C"G重合，即四边形NGHC为平面四边形，

又平面48£〃平面CO凡平面/3EC平面/GbC=NG,平面Cr)RC平面∕G"C=C",

所以ZG//CH,又AG=CH,所以四边形/G//C是平行四边形，则/C//GH,

假设ZE//CD,则四边形/EDC为平面图形，

又ZCU平面ZEOC,G"<Z平面4EDC,所以G4//平面ZEOC,

又平面AEDCΓl平面BEDF=ED,GH1平面BEDF,所以GH”ED,

又BEHDF,即GE〃/W,所以四边形DEGH是平行四边形，

所以。E=G”,而GH=竽，DE=56,显然矛盾，故B错误；

对于C,如图2,

由选项B易得DFq平面尸”G,

又PHU平面PHG,所以PH_LDF,同理：GHLDF,

所以二面角P-OF-B的平面角为NPHG,

在aPG"中，由选项B知∕G=C"=GH=应ɪ,

3

所以APG"是正三角形，故∕P"G=6(T,即二面角尸-。尸-8的大小等于60。，故C正确;

对于D,如图2,三棱锥与三棱锥P-DEF的公共面为面P£尸，

所以三棱锥P-BEF与三棱锥P-DEF外接球的公共圆为！PEF的外接圆,

易知PE=AE=56，PF=CF=5近,EF=AB=W,

所以尸炉=p尸=IOo=E产，所以PELPF,即！PEF为直角三角形，

所以E尸为！PE尸的外接圆的直径，即27?=EF=10,

所以所求公共圆的周长为2πR=10π,故D正确.

故选：ACD.

关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握面面垂直的性质定理、线面平行与面面平行的性质定

理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，严密推理；同时对于

外接球的公共圆的突破口在于找到两个三棱锥的公共面，从而得解.

三、填空题

13.某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，

从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是人

【正确答案】20

【分析】根据分层抽样等比例的性质求应抽取的女生人数.

【详解】由题意，应抽取的女生人数是50x黑=20人.

故20

14.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记第一次得到的点数为X,第二次得到的点数为

V,则k>g,(x+y)≥2的概率为.

【正确答案】ɪ

1o

【分析】根据题意求得基本事件的总数为36种，再根据Iog3(x+N)≥2,求得所求事件的基本

事件的个数，结合古典撷型的概率计算公式，即可求解.

【详解】由题意，将一枚质地均匀的骰子连续抛郑两次.基本事件共6x6=36种，

又由k¾(x+y)≥2,可得x+y≥9,其所对应的基本事件有：(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),

(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共10种,

故所求概率P=瞿=[.

361o

故答案为・福

18

15.某同学为了测量天文台CQ的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台44到地面的距

离/8为(15-5√J)m,在它们之间的地面上的点m(β,M,。三点共线)处测得阳台Z,

天文台顶C的仰角分别是15。和60。，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30。，假设48,

CD和点/在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为m.

r

【分析】由已知求出AM,在三角形NaW中，运用正弦定理可得CM,再解直角三角形CDM,

计算可得天文台的高度.

【详解】在Rt"5Λ∕中，有力Μ=--------,

sinl50

在CM中，ZCJM=30o+15o=45o,ZAMC=180°-15o-60°=105°,

ZACM=180°—105°—45=30'，

由正弦定理得

sin/4CNsinZ.CAM

sinZCAMSin45。ABQAB

故MC=AM

SinZACMsin30osin15osinl5o

l-4R

在RtZ∖CDΛ∕中，CD=MC∙sin60o=√2----------sin60o,

Sinl5°

Xsinɪ5o=sin(45°-30o)=sin450cos300-cos45osin30o=—X--—XJ=———，

v722224

rr._仄AB._6∖5-5y∕3y/i_ʌ

.∣CD—√2----------sin60—√2X—产—产诙—二30

则msinl50瓜一应2

4

故30.

16.设锐角力8C的三个内角A.8.C的对边分别为α.b.c,且c=l,A=IC,则“8C周

长的取值范围为一

【正确答案】(2+&,3+百)

由锐角三角形求得30。＜。＜45。，由正弦定理可得，：=3=，方=—二，求出“，6关于

sinAsinBsinCsinC

CoSC的函数，根据余弦函数的性质，可求得范围.

【详解】；为锐角三角形，且Z+8+C=",

TT

0<A<—0<2C<-0<C<-

224

71π厂π

0<B<—=>.0<π-C-2C<-=>——,

2263

0<C<-0<C<-0<C<-

222

・π∕r/π近,“8

・・一<C<一,—<cosC<—,

6422

又∙.∙N=2C,

/.sinA=sin2C=2sinC∙cosC,

sinAsinC

..a=2cosCt

sinBsinC

,c∙sin8sin3CsinC∙cos2C+cosC∙sin2C,.

即αrlb=---------=---------=-------------------------------------=4cos22C-I,

sinCsinCsinC

∙*∙a+h+c=2cosC÷4cos2C-l+l=4cos2C+2cosC，

又∙.∙函数y="+2f在(半殁)上单调递增,

函数值域为(2+√23+√3),

四、解答题

17.已知函数"x)=α√-bx-l,集合尸={1,2,3,4},。={2,4,6,8},若分别从集合P,。中随

机抽取一个数a和b,构成数对(。，6).

⑴记事件/为“函数/(X)的单调递增区间为［1,+8)”,求事件/1的概率；

(2)记事件B为“方程∣∕(X)I=2有4个根”，求事件B的概率.

【正确答案】(1)9

4

【分析】(1)列举样本空间所有的样本点，依题意有b=2α,列举满足条件的样本点，根据

古典概型概率公式计算；

(2)依题意有从＞4°,列出所有符合条件的样本点，根据古典概型概率公式计算.

【详解】(1)由题知“e{l,2,3,4},bw{2,4,6,8},所以，数对(%b)的可能取值为：

(1,2),(1,41(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)共

16对.

若函数/(χ)的单调递增区间为［l,+∞),则函数/(χ)的对称轴为χ=3=l,即6=2“

所以,满足条件的基本事件有：件2),(2,4),(3,6),(4,8),共4对,

41

所以，事件4的概率为P(∕)=ττ=:

(2)因为α>0,二次函数开口向上,

所以,方程l∕(x)l=2有4个根,即为/(x)=2和f(x)=-2各有2个根,

所以，二次函数/(x)=αx2-6x-l的最小值小于-2.

所以-4q-"<_2,即∕>44,

满足条件的基本事件有：(l,4b(l,6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6),(4,8),共11

对，

所以，事件8的概率RB)=?.

18.从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”

指语文、数学、外语三门统考学科，以原