2024年中考数学复习：圆的解题模型与方法及练习题汇编（含答案解析）

2024年中考数学复习：圆的解题模型与方法及练习题汇编

【解题模型与方法】

一.分类讨论思想的概念

分类讨论思想是一种最基本的解决问题的思维策略，就是把要研究的数学对象按照-定标准划分为若

干不同的类别，然后逐类进行研究，求解的一种数学解题思想。

二、引起分类讨论的主要原因：

由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一-性。如:点与圆

的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外;两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能

在直径的异侧：圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。因此，求解圆的有关问题时，要注意

分类讨论思想。

三、解答分类讨论型问题的步骤

(1)确定分类对象；

(2)对问题中的某些条件进行分类；

(3)逐类进行讨论；

(4)对各类讨论结果进行归纳，并加以整合，得出结论。

【典型例题】

例1.过不在。。上的一点A,作。。的割线，交。0于B、C,且AB・AC=64,0A=10,

则。0的半径R为。

分析：点A与。0的位置关系有两种：

(1)点A在。0内，如图1,延长A0交。。于F,由相交弦定理易得：

(2)点A在。0外，如图2,由割线定理易得：

故。0的半径R为或6。

例2.在半径为1的。0中，弦AB、AC的长分别为和，则NBAC的度数是

分析：圆心。与NBAC的位置关系有两种；

当圆心在NBAC内部时，如图，

易得ZBAC=75°

当圆心0在NBAC的外部时，由轴对称性可知：ZBAC=15°

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所以NBAC为75°或15

常考经典考题检测

考试范围：圆；考试时间：100分钟

一.选择题（共8小题）

1.一个点到圆的最小距离为3c/〃，最大距离为6c〃，则该圆的直径是（）

A.L5cmB.1.5腐或4.5。必

C.4.5cmD.3cm或9cm

2.已知△46C是半径为2的圆内接三角形，若比’=2愿，则N4的度数为（）

A.30°B.60°C.120°D.60°或120°

3.已知。a和。a相切，两圆的圆心距为9加，。。的半径为4腐，则。a的半径为（）

A.5cmB.13c/n

C.9。加或13c勿D.5cm或13cm

4.已知在半径为2的。。中，圆内接的边48=2百，则/C的度数为（）

A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°

5.已知。。的半径为2,弦48的长为小巧,则弦所对的圆周角的度数为（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

6.在边长为a的正方形内有4个等圆，每相邻两个互相外切，它们中每一个至少与正方形的一边相

切，那么此等圆的半径可能是（）

C.我+1aD.&7a或色

A.旦B.a

2222a2H4

7.半径分别为5c勿和2CR的两圆相切，则两圆的圆心距为（）

A.3cwB.1cm

C.3cm或RcmD.以上答案均不正确

8.已知外接圆的半径为2,%=2y，则N力的度数是（）

A.120°B.30°或120°C.30°或60°D.60°或120°

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二.填空题（共6小题）

9.在半径为2的。〃中，弦的长为2,则弦46所对的圆周角的度数为.

10.点6是以〃'为直径的。。上的一点，tan/胡仁近，然=4«,点〃是直线16上一点，且/

3

8g30°,则线段4?的长为.

11.如图，PM,RV分别与。。相切于46两点，C为。。上异于46的一点，连接4GBC.若/

—58°,则/加石的大小是.

12.如图，在等边△/a'中，48=2料，如果以比'为直径的。〃和以力为圆心的。/相切，那么。

A的半径r的值是.

13.如图，菱形4时的边长为5,对角线4C为8,以顶点。为圆心，2为半径画圆，点夕在对角线

14.如图，边长为4的正方形48缪中，顶点月落在矩形㈤石的边如上，斯=5,而矩形的顶点G

恰好落在6。边上.点。是四边上一动点（不与45重合），以。为圆心，力长为半径作圆，当

。。与矩形戚G的边相切时，的长为.

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三.解答题(共7小题)

15.已知//比；画一个角/%E根DE"AB,EF//BC,®DE交BC于点、P.探究N4勿与/〃妹'的数

量关系.

图1图2

(1)我们发现N/8C与/时存在某种数量关系，如图1所示，那么图1中N/8C与/颂有什

么数量关系？请说明理由.

(2)你认为//玄与/班'还有其他数量关系吗？若有，请写出这个数量关系并在图2中画出一

个满足这个数量关系的/庞汽若没有，请说明理由.

(3)若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少15°,请求出这两个角的度数.

(1)求证：AB=BC；

(2)如图2,以比1为直径在a'的上方作一个半圆，点〃为半圆上的一个动点，连接4?交a'于

点反

①当如，四时，求力〃的长.

②在线段4。上取一点五，连接跖交4〃于点&若BF=AE,当点〃在半圆园上从点6运动到点

第4页共40页

。时，求点G经过的路径长.

17.如图1,平行四边形4%中，AD=2«，DC=4\/§，/片60°,点"在/延长线上且&/=5，

原为半圆。的直径且阳^仇FE=6,如图2,点£从点M处沿物方向运动，带动半圆。向左平

移，每秒禽个单位长度，当点尸与点。重合时停止平移，如图3,停止平移后半圆。立即绕点£

逆时针旋转，每秒转动5°,点尸落在直线比上时，停止运动，运动时间为t秒.

(1)如图1,BF=；

(2)如图2,当半圆。与边相切于点只求的长；

(3)如图3,当半圆。过点C,跖与小边交于点Q,

①求价1平移和旋转过程中扫过的面积；

②求8的长；

(4)直接写出半圆。与平行四边形板的边相切时t的值.(参考数据：sin35°=—>

3

tan35°=^~)

18.如图1,将半径为2的。。剪掉一个60。的扇形之后，得到扇形力豳将扇形4/放置在数轴

上，使点8与原点重合且如垂直于数轴，然后将图形沿数轴正方向滚动，直至点/落在数轴上

时停止滚动.记优弧位?与数轴的切点为点2过点力作直线/平行于数轴，当/与弧有两个

公共点时，记另一个公共点为点G将直线/绕点「顺时针旋转60°,得到直线必，交数轴于点

Q.

(1)当点4落在数轴上时，其对应数轴上的实数为；

(2)当直线/经过圆心。时，线段闾的长度为；

(3)当8与扇形/如所在圆相切于圆的左侧时，求弦/C的长及点。对应数轴上的实数；

(4)直接写出整个运动过程中图长度的最大值.

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mm

备用图

19.如图1,在平面直角坐标系中，点力的坐标为(-1,0),点27的坐标为(3,0),以4?为直径

的。"与y轴的正半轴交于点C点P是劣弧8C上的一动点.

(1)求sinN腕的值.

(2)当△△(力中有一边是外的两倍时，求相应/尸的长.

(3)如图2,以以为边向上作等边△曲，线段助9分别交8c和BC于点〃，N.连结即HP.点

。在运动过程中，〃尸与防存在一定的数量关系.

【探究】当点P与点”重合时，求史的值；

DP

【探究二】猜想：当点一与点N不重合时，【探究一】的结论是否仍然成立.若成立，给出证明:

若不成立，请说明理由.

C在射线00上，8在射线⑺上，连结四BC.Ql=3,OB=^-OC

4

=3t.过点4B,C的圆交的垂线物于点〃，连结/〃，直线/〃，或交于点反

(1)①用含t的代数式表示6a

②tanNADB=

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(2)连结切，记△颇的面积为S.

①求S关于t的函数表达式；

②当△曲与△4项的面积差为2,求此时r的值.

(3)点/关于直线8C的对称点为/，若/'落在45必内部(不包括边界)时，请直接写出t

的取值范围.

Q|Q

(备用图)

21.如图1,边长为6cm的等边△?!园中，4〃是高，点。以JEcWs的速度从点〃向1运动，以点P

为圆心，为半径作。尺设点户的运动时间为市.

(1)当。/与边/C相切时，求£的值；

(2)如图2,若在点一出发的同一时刻，点0以lcWs的速度从点8向点C运动，一个点停止运

动时，另一个点也随之停止运动.过点0作创的平行线，交/C于点机当Q"与。。相切时，求

t的值；

(3)在运动过程中，当。尸与△4?。的边共有两个公共点时，直接写出t的取值范围.

备用图

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参考答案与试题解析

选择题（共8小题）

1.一个点到圆的最小距离为3腐，最大距离为6.，则该圆的直径是（）

A.1.5a〃B.1.5c勿或4.5cm

C.4.5。勿D.3cm或9cm

【答案】D

【解答】解：当点在圆外，则该圆的直径=6c/-3M=3C/〃；当点在圆内，则该圆的直径=6c研3c/

=9cm,

即该圆的直径为3c勿或9cm.

故选：D.

2.已知△48C是半径为2的圆内接三角形，若比'=2我，则N4的度数为（）

A.30°B.60°C.120°D.60°或120°

【答案】D

【解答】解：如图，作直径劭，连接8，则/阅9=90°,

,//\ABC是半径为2的圆内接三角形，BC=273，

:.BD=4,

•*-^^VBD2-BC2=2,

CD=LBD,

2

:.NCBD=3Q°,

.•.//=Ng60°,

：.^A'=180°-/4=120°,

4的度数为：60°或120°.

故选：D.

3.已知。Q和。彷相切，两圆的圆心距为9a力，。。的半径为4M,则。a的半径为（）

第8页共40页

A.3cmB.13cm

C.9c/或13cmD.5cm或13c%

【答案】D

【解答】解：・.•两圆相切，

・・・两圆有可能外切，也有可能内切，

・•・当外切时，另一圆的半径=9+4=13的，

当内切时，另一圆的半径=9-4=5c而，

工。。的半径为13c勿或5c勿，

故选：D.

4.已知在半径为2的。。中，圆内接△/a'的边48=2如，则/C的度数为（）

A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°

【答案】C

【解答】解：如图，连接力、OB,过。作切_L46于，.

在Rt△0。中，AD=M，勿=2,

.•.sin/力浙迫二返，

AO2

AZAOD=60°,ZAOB=120°.

点C的位置有两种情况：

①当点C在如图位置时，360°；

2

②当点。在£点位置时，NC=N£=180°-AZJC®^120°.

2

故选：C.

5.已知。。的半径为2,弦48的长为蓊，则弦43所对的圆周角的度数为（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

【答案】D

【解答】解：如图所示，

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连接勿、OB,过。作OFLAB,则4F=LB,NA0F=L/A0B,

22

：力=2,AA2M,

：.AF=^AB=^X2A/3=V3，

22

M

.\sinZAOF=-^-=-^—='^-,

OA12

：.ZAOF=QO0,

:./A042NAOF=120°,

AZADB=XZAOB=^LX120°=60°,

22

：.ZAEB^180Q-60°=120°.

故选：D.

6.在边长为a的正方形内有4个等圆，每相邻两个互相外切，它们中每一个至少与正方形的一边相

切，那么此等圆的半径可能是（）

B.返工C.@&D・管a或会

A.「

22a22

【答案】D

【解答】解：此题要考虑两种情况:

当四个等圆两两外切且和每个圆和正方形的两边相切时,

则圆的直径的2倍等于正方形的边长,

即圆的半径是更：

4

当只有每相邻的两个圆相外切且和正方形的一边相切时,

则它们的圆心组成了一个边长等于圆的直径的正方形.

若设圆的半径是r,则有2K2&r=a,

-1a

1-a.

2

故选：D.

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7.半径分别为5c力和2c勿的两圆相切，则两圆的圆心距为（)

A.3cmB.1cm

C.3cm或1cmD.以上答案均不正确

【答案】C

【解答】解：・・•两圆相切，

・••两圆可能外切，也有可能内切，

・••当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和7,

当两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差3,

・••两圆的圆心距为3c77/或7cm.

故选：C.

8.已知△45C外接圆的半径为2,BC=2/3,则N力的度数是（）

A.120°B.30°或120°C.30°或60°D.60°或120°

【答案】D

【解答】解：作直径切，点4在位上，点4在最上，如图，

；切为直径，

:.NCBD=90°,

在Rt△a®中，•.•5山八些=&3_=1_,

CD42

.\ZZ?=60°,

.,./4=/g60°,N4=180°-Ng120°,

即的度数是60°或120°.

故选：D.

9.在半径为2的。。中，弦4?的长为2,则弦4半所对的圆周角的度数为30°或150°

【答案】见试题解答内容

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【解答】解：根据题意，弦16与两半径组成等边三角形，

，先四所对的圆心角=60°,

①圆周角在优弧上时，圆周角=30°,

②圆周角在劣弧上时，圆周角=180°-30°=150°.

.,.圆周角的度数为30°或150°.

10.点8是以/C为直径的。。上的一点，tanN%（7=亚，40=4正，点〃是直线48上一点，且N

3

8a=30°,则线段的长为4或8..

【答案】4或8.

【解答】解：,:tanNBAC='叵,

3

：.ZBAC=^°,

Y/fC为的直径，

胸=90°,

ZJG?=60°,

:.BC=Lg2M,

2

Jj?=cos30°x4>/3=®）

,:』BCg30°,

在中，S9=tan30°•比‘=1-xW^=2,

3

：.BD'=2,

当点〃在内部时，AD=AB-BD=&-2=4,

当点。在△/白；外部时，AD'=AB+BD'=6+2=8,

综上所述，4〃的长为4或8.

故答案为：4或8.

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11.如图，PM,月平分别与。。相切于48两点，C为。。上异于46的一点，连接AC,BC.若NP

=58°,则///的大小是61°或119°

【答案】61°或119°.

【解答】解：连接。、0B,

•:PM,即分别与。。相切于46两点，

C.OALPA,0B1PB,

.♦.N4如=360°-90°-90°-58°=122°,

当点C在优弧＜6上时，/力龙=!//如=工＞＜122°=61°，

22

当点广在劣弧45上时，AAC6=180°-61°=119°,

故答案为：61°或119°.

12.如图，在等边△/1比1中，AlM，如果以比"为直径的。。和以力为圆心的。4相切，那么

的半径r的值是3-E或3+E•

【答案】见试题解答内容

【解答】解：连接力〃如图,

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A

•.♦△4比1是等边三角形，

：.BC=AB=AC=2\[^^NB=60°.

•.•。为a1的中点，

.•.切=切=愿，ADLBC,

，。〃的半径为依，

/L9=48・sin60°=3.

①以6C为直径的和以A为圆心的。力相外切时，

.*./•=3-V3-

②以融为直径的。〃和以/为圆心的。力相内切时，

：.r-M=AA3,

r—3+yfZ-

综上,如果以比'为直径的。〃和以力为圆心的。/相切,那么。4的半径r的值是3-遥或3+V3.

故答案为：3-百或3+我.

13.如图，菱形465的边长为5,对角线力。为8,以顶点〃为圆心，2为半径画圆，点尸在对角线

上运动，当射线8。与圆。相切时，心的长是4-旦,4或4+旦弧.

44

【答案】4-旦五或4+旦五.

44

【解答】解：连接劭交/C于点〃，当射线露与。〃相切于点£时，连接理如图:

•••四边形46徵是菱形,

第14页共40页

:.AB=BC=5,ACLBD,4H=Lc=4,BA2BH，

2

在麻△%!狎中，^/=VAB2-AH2=V52-42=3,

:.BD=2B46,

•.,射线防与。。相切于点£,

腐=90°,

^-VBD2-DE2=V62-22=4^2>

'：ZDEB=ZBIIP=^,ZPBH=ZDBE,

:.XBHPs丛BED,

•典=里

"'PHDE，

.3_4A/2

"PH2

:.PH=3近,

4

：.AP=AH-PH=\

4

当射线切与。〃相切于点尸时，如图：

同理可得：

4

:.AP=A讣PH=4&Ji，

4

综上所述，当射线如与圆〃相切时，"的长是4-2&或4+3加,

44

故答案为：4-旦丁^或4+3'Q.

第15页共40页

14.如图，边长为4的正方形4?切中，顶点力落在矩形的边）'上，EF=3,而矩形的顶点G

恰好落在8c边上.点。是48边上一动点（不与46重合），以。为圆心，刃长为半径作圆，当

。。与矩形应的边相切时，4〃的长为13或2.

【答案】区或2.

9

【解答】解：•••四边形46缪是正方形，

,49=34,/C=/49C=90°.

；四边形为矩形，

：.DG=EF=5,ZE=NEDG=90°.

CG=VDG2-DC2=3•

•：/CD伊/ADG=9Q°,NEDA+NADG=9G,

:"CDG=/EDA.

；NC=N£=90°,

：./\CDG^/\EAD.

，ED_AEAD

♦♦而近W

•DEAE4

•=--3—»

435

;.施=曲,熊=”

55

:"F=EF-力£=旦

5

①当。0与矩形DEFG的房边相切时，设AB与尸G交于点H,

过点。作〃匕用于点M,如图，

第16页共40页

：NZWQ90。,

.../£4%/刈8=90°.

尸=90°,

：.ZFAB+ZFHA=^°,

:./EAg/FHA.

：/£=/尸=90°,

:.△EAWXFHA.

•DE_AD-AE

AF"AHFH"

12

•_§_^±=V

"J3_AH而’

V

:.A//=空,皿=迫.

420

设OA=x,

与矩形DEFG的内G边相切，

OM—OA—x.

'：OMLFG,AFLFG,

：.OM//AF,

.0M_QH

-，AF=AH'

13

-T-x

.x_4

,工二'

VV

解得：x=区.

9

9

②当。。与矩形DEFG的〃。边相切时，如图,

第17页共40页

过点。作〃匕加于点弘延长加，交跖于点M则创5跖，*=鹿=22

5

设OA=x,

•••。。与矩形DEFG的加边相切，

:.0M=OA=x.

：.ON=MN-。仁西-x，

5

'：ON//Fil,

.ONOA

••--------=1，

FHAH

一39-13,

20V

解得：x—2.

.•.曲=2；

③过点。作OMLDE于点、M,如图,

EMD

F

可知aif>OA,。。与矩形DEFG的边膜相离.

综上，以。为圆心，力长为半径作圆，当。。与矩形侬的边相切时，4。的长为区或2.

9

故答案为：生或2.

9

三.解答题（共7小题）

15.已知//比；画一个角/加E梭阳IAB,EF〃BC,&DE交BC于煎P.探究N48C与NDEF的数

量关系.

第18页共40页

A

(1)我们发现N/!况与/应产存在某种数量关系，如图1所示，那么图1中/月弘与/应尸有什

么数量关系？请说明理由.

(2)你认为与N%尸还有其他数量关系吗？若有，请写出这个数量关系并在图2中画出一

个满足这个数量关系的/即若没有，请说明理由.

(3)若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少15°,请求出这两个角的度数.

【答案】(1)/ABC=NDEF.理由详见解答；

(2)NABONDEF=180°.图间解答；

(3)这两个角是15°、15°或65°、115°.

【解答】解：(1)4ABe=NDEF.

理由：'：DE//AB,EF//BC,

：.ZABC=ADPC,4DPC=4DEF.

：.AABC=ADEF.

.(2)有.如图所示：

NABC+NDEF=18Q°.

(3)①若两个角相等时，设一个角的度数为x,

贝I」：x=2x-15°,

；.x=15°.

所以两个角都是15°；

②若两个角互补时，设一个角的度数为X,

则：x+2x-15°=180°,

，x=65°.

所以一个角是65°,另一个角是115°.

答：这两个角是15°、15°或65°、115°.

第19页共40页

D

(1)求证：AB=BC；

(2)如图2,以外为直径在比的上方作一个半圆，点。为半圆上的一个动点，连接成交比1于

点反

①当加时，求/〃的长.

②在线段/C上取一点区连接跖交/〃于点G,若BF=AE,当点〃在半圆比1上从点8运动到点

。时，求点G经过的路径长.

【答案】(1)证明过程见解答.

⑵477.

(3)4百或当巨”.

9

【解答】(1)证明：•.•乙皿-60°,AB=AC,

△力比是等边三角形，

：.AB=BC.

(2)解：如图2,连接必，

'：DB1AB,

4切=4册/圆9=90°,

是等边三角形，

AZABC=60°,BC=AB=<o,

第20页共40页

:./CBA30°,

:点〃为半圆上的一个动点，

:.NBDC=9Q°,

.•."=』仁4'8=4,

22

BD-,\/BC2-CD2=VS2-42=4«,

VAB2+BD2=782+(4^3)2=4V7.

(3)解：•••△/阿是等边三角形，

；.NBAC=AEC=6Q°,AB^BC=AC=8,

①如图3,当/即1=//欧时，

VZBAC=AABC,BF=AE,

：./FBA=/EAB,

：.BG=AG,

:.点C在48边的中垂线上，

此时点G经过的路径为/Osin60°=8*1_=4向.

2

②如图4,N/C=NAEB时,即/即i+N4fi?=180°时,

:/械=N4CB=6Q°,AB=BC,

:.△BCF^XABE(A4S),

:.』CBF=NBAE,

此时点〃经过的路径为图中以物为弦的弧长，

最高点G在四边中垂线上，线段"的工处.

3

.•.b=工6^=1。”S60°=」><8X近=2运.

33323

设弦所在圆的半径为r,由垂径定理得，

r=(r-—2+4,

3

解得，r=^区，

3

.•.弦48所对的圆心角为120°

第21页共40页

120x

：.弧力的长=1

6n=1W3n.

1809

A

FC

图3

图2

17.如图1,平行四边形4及力中，AD=2«，DC=4遍，NA60°,点历在8c延长线上且以/=①，

历'为半圆。的直径且皿以仇FE=6,如图2,点£从点M处沿，监方向运动，带动半圆。向左平

移，每秒盯个单位长度，当点尸与点〃重合时停止平移，如图3,停止平移后半圆。立即绕点£

逆时针旋转，每秒转动5°,点尸落在直线比1上时，停止运动，运动时间为力秒.

第22页共40页

(1)如图1,BF=12；

(2)如图2,当半圆。与Z边相切于点凡求以的长；

(3)如图3,当半圆。过点C,EF与小边交于点Q,

①求功平移和旋转过程中扫过的面积；

②求负的长：

(4)直接写出半圆0与平行四边形ABCD的边相切时t的值.(参考数据：sin35°=->

3

tan35°=^~'>

【答案】⑴12.

(2)£¥的长为6-373.

⑶①S平移=12后S旋转《加

②CQ=12遥-873.

(4)t=2愿-3或t=2或t=12.

【解答】(1)如图，连接BF,

在RtABMF中，BF=7BM2+EF2=V(BC+CM)2+EF2，

；AD=BC=2对，CM=CD=W3,EF=6,

•••BF=V(2V3+4V3)2+62=12)

故答案为：12.

(2)如图，连接OGOP,

•.•半圆。与加边相切于点P,FE1BM,

：.ZOCP=』OEC=9Q°,OP=OE,

第23页共40页

是NZO的角平分线,

■:AD〃BM,

:・/D=/DCM=60°,

•'•ZOCM=yZDCM=30°，

..1

-0E=^EF=3>

：.C0=20E=&,

在Rt△皈中，CE=VcO2-OE2=7S2-33=3\/3，

•••EM-MC-CE=6-3V3.

答：以/的长为6-3愿.

(3)①如图，连接OC,DE,过点。作QVJ_*于点M

由题意可知，DE1BM,ZDCN=60O,CD=473.

CE*D=2«，

在Rt△皈中，DEWCD2-CE2=V(4V3)2-(2A/3)2=6,

'：OC=OE,

:"0C4NOEN,

,：ONLCE,

.•.△OG段△6EV(/MS),

ANE=yCE=V3(

sin/NOE=^->

sin。NUEQE3

：.ZN0E^?>5Q,

:./DEF=/4N0E=35°,

在平移中：ME=MC-CE=4\f3-273=2^3>

S平移=MEXEF=2正X6=12历

第24页共40页

在旋转中：NZte尸=35°,

3597

S旋转二菽X7TXEF2而加

答：解平移过程中扫过的面积为12料，旋转过程中扫过的面积为工兀.

2

②如图，过点。作Q4J_"于点儿

阀£=35°,ZW=30°,

•••QK=+黑。=V2KE-QK=+媒。=V3CK，

tanobtanJU

VCK+KE=CE=2V3«

BPV2KE=V3X(2V3-KE).

解得KE=6日-6\历，

•••CK=6亚-4«，

ACQ=2CK=12V2-8V3.

答：。的长为

(4)当半圆。与比•边相切于点尸时，t笔与③=阳3；

V3V3

当半圆。与边相切时，即点尸与点〃重合，

此时ME=MC-CE=4F-273=笳，

当半圆。与边相切于点G时，如图,

vZB=60°,BE=BC+CE=/,

第25页共40页

...点£到直线48的距离为cos60°XBE=^y-X673=6,

即此时点尸与点G重合，EF1AB,

:.NBEF=30°,

:.NDEF=60°,

综上，力的值为2我-3或2或12.

18.如图1,将半径为2的。。剪掉一个60°的扇形之后，得到扇形将扇形4如放置在数轴上,

使点8与原点重合且庞垂直于数轴，然后将图形沿数轴正方向滚动，直至点4落在数轴上时停

止滚动.记优弧48与数轴的切点为点尸.过点4作直线/平行于数轴，当/与弧有两个公共

点时，记另一个公共点为点G将直线/绕点C顺时针旋转60°,得到直线处交数轴于点0.

(1)当点/落在数轴上时，其对应数轴上的实数为；

一3—

(2)当直线/经过圆心。时，线段网的长度为2+汉1或2—2叵；

—33―

(3)当S与扇形力以所在圆相切于圆的左侧时，求弦〃1的长及点。对应数轴上的实数：

(4)直接写出整个运动过程中修长度的最大值.

图1图2

备用图

【答案】(1)也JT；(2)^或2-(3)2M；8冗-2«；(4)273.

3333

【解答】解：(1)...将半径为2的。。剪掉一个60°的扇形之后，得到扇形/微

优弧前的所对的圆心角的度数为300°,

优弧前的长=300兀＞2=也工,

1803

•••点8与原点重合且如垂直于数轴,

第26页共40页

...点4落在数轴上时，其对应数轴上的实数为2”,

3

故答案为：122L；

3

(2)①当点。在点力的右侧时，

连接能过点C作W，偌于点2如图，

♦.•优弧与数轴的切点为点P,

：.OP，PQ,

'：AC//PQ,CDLPQ,

二四边形OPDC为矩形,

:.PD=0C=2,CD=0P=2,N"Z=90°.

：.ZDCQ=\8Q°-90°-60°=30°.

：.DQ=6Z>tanZDCQ=2X近=2^

_33

：.PQ=PADQ=2+^Zl•:

3

②当点。在点力的右侧时,

连接明过点C作徵_LPO于点"如图,

•.•优弧4?与数轴的切点为点P,

：.OPVPQ,

'：AC//PQ,CDVPQ,

二四边形。/侬为矩形，

:.PO=QD=2,PgOD

■:NDQC=9Q°-N〃0=9O°-60°=30°,

第27页共40页

，CD=诊tanNDQC=2X返

33

PQ=OD=OC-CD=2-

3_

综上，直线,经过圆心。时，线段图的长度为2+2叵或2-2近,

33

故答案为：2+2近或2-2近；

33

(3)连接3,0P,8与然交于点机过点C作。于点〃如图,

•.•当。与扇形/仍所在圆相切,

CQL0C,

00=60°,

,：OC=OA,

.,./必7=/。。=30°,

：.ZAOC=1800-ZOCA-ZOAC=-L20°,

AABOC=ZAOB+ZAOC=180°,

；.比为。。的直径，

连接AB,

06=90°,

.AC=BOczNBCA=4义足二2«.

2

•优弧/I夕与数轴的切点为点R

：.OP1PQ,

YAC"PQ、

：.OMLAC,

：.CM=AM=^AC=43-

2

；«I/=^QC2<H2=I,

第28页共40页

:.PM=OP-加UI.

VCDLPQ,OMLAC,OPLPQ,

二四边形物涉为矩形，

：.CD=PM=\,DP=CM=M.

,/0。=60°,

:.NDCg3G,

：.DQ=CIAtanZ近，

3

：.PQ=PD-DQ=2^>..

3

:就所对的圆心角为180°+Ng=240°,

二就的长为240兀X2@L,

1803

二点户对应的实数为亚，

3_

.•.点。对应数轴上的实数为空且应=旺2巨；

333

（4）整个运动过程中当8与。。相切于圆的右侧时，闾的长度最大，如图,

pEQ

连接。。并延长交CA于点D,过点C作血闾于点E,

♦.•优弧4?与数轴的切点为点P,

IOPLPQ,CE1PQ,AC//PQ.

工四边形制阻为矩形，

AODLAaPD=CE,PE=DC.

：.AD=CD.

连接OC,

・・・。与扇形力仍所在圆相切，

:.CQ1OC,

：.ZOCQ=90°.

VZO=120°,

第29页共40页

；./购=30°.

AOD=^OC=1,PD=OD^OP=-i,

2

:@=个“2_0丁=如,CE=PD=3.

:.PE=CD=M.

'：AC//PQ,

：.ACQP=^.

：.EQ=————=料，

tan/CQPv3

.•.偌的最大值=旭4=2«.

19.如图1,在平面直角坐标系中，点/的坐标为(-1,0),点8的坐标为(3,0),以肥为直径

的。M与y轴的正半轴交于点C.点、一是劣弧外上的一动点.

(1)求sinN48c的值.

(2)当△附8中有一边是彼的两倍时，求相应4P的长.

(3)如图2,以a'为边向上作等边△物，线段切分别交回和标于点〃，加连结〃尸，郎.点

产在运动过程中，如与即存在一定的数量关系.

【探究】当点尸与点N重合时，求史的值；

DP

【探究二】猜想：当点尸与点N