2023-2024学年广东省中山市桂山中学高一年级上册数学理期末试卷含解析

2023年广东省中山市桂山中学高一数学理期末试卷含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.将两个数a=2,b=-6交换，使a=-6,b=2,下列语句正确的是（）

b=a

a=b

c=a

a二b

b=c

a=c

c=b

b=a

a=b

b=a

A.B.C.D.

参考答案：

B

/G）=OSxSl.

2.已知函数12，-1，*<0.则/[/（-05）]等于（）

A.-0.5B.-1C.05D.1

参考答案：

C

2

3.在等差数列（°J中,若a2+a4+a6+a8+aio=8O,则a7—2a&的值

为（）

A.4B.6C.8

D.10

参考答案：

C解析：因为a2+a4+a6+a8+aio=5a6=8O所以a6=16

221

a7—2a8=ae+d—2（ae+2d）=2ae=8

_19”

4.顶点在原点，始边与x轴正方向重合的角-X的终边在（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

参考答案：

B

5.圆（*一1）'+丁=1与直线3”的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.直线过圆心

参考答案：

A

6.已知三棱锥的四个面中，最多共有（）个直角三角形?

A.4B.3C.2D.1

参考答案：

A

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质.

【分析】一个三棱锥V-ABC中，侧棱VAJ_底面ABC,并且4ABC中/B是直角，则可知三

棱锥四个面都是直角三角形，从而可得结论

【解答】解：如果一个三棱锥V-ABC中，侧棱VAL底面ABC,并且4ABC中/B是直角.

因为BC垂直于VA的射影AB,所以VA垂直于平面ABC的斜线VB,

所以/VBC是直角.

由VAL底面ABC,所以NVAB,NVAC都是直角.

因此三棱锥的四个面中/ABC；ZVAB；ZVAC；NVBC都是直角.

所以三棱锥最多四个面都是直角三角形.

故选：A

7.如图，■℃»三点在地面同一直线上，DC^a,从CD两点测得d点仰角分别是

"•"（［＜#）,则4点离地面的高度4A等于（）

a，a-0a，a-6

(A)事仍a)(B)3(a-用

acos力acnsa-0

(0事彷a)(D)30-用

参考答案:

A

4_304

8.已知等差数列｛斯｝和｛儿｝的前几项和分别为4和4,且或«+2,则使得为整

数的正整数〃的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

参考答案:

A

【分析】

S=1^J1.、

根据等差数列的性质和前n项和公式，可得42"+1=6+2"+1,要使得,为正整

数，求得"的取值个数，即可求解，得到答案。

【详解】由题意，根据等差数列的性质和前n项和公式，

、=*D+30

12J>124,18

--------=6+------

可得12n^l,

要使得,为正整数，则”=1或n=4,

所以要使得,为正整数的正整数n的个数为2个，故选A。

【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及前n项和公式的应用，其中解答中根据等

J♦旦

差数列的性质和前n项和公式，化简&是解答的关键，着重考查了推理与运

算能力，属于中档试题。

9,若丁=/（冷（XWR）是周期为2的偶函数，且当0MXM1时，/（x）=？-2x；则方程

3/（X）-X=°的实根个数是（）

A.1B.2C.3D.4

参考答案：

D

略

10.在aABC中，角48均为锐角，且8s则AABC的形状是（）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

参考答案：

cos^4=fln(--^4)A.B

C解析：22都是锐角，则

——A>B.A+B<—,Q>—

222

二、填空题:本大题共7示题,每小题4分，共28分

11.函数f(x)=ln(x-2)的定义域为

参考答案：

(2,+8)

【考点】函数的定义域及其求法.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】根据对数函数f(x)的解析式，真数大于0,列出不等式，求出解集即可.

【解答】解：•••函数f(x)=ln(x-2),

x-2〉0；

解得x>2,

该函数的定义域为(2,+8).

故答案为：(2,+8).

【点评】本题考查了对数函数定义域的应用问题，是基础题目.

12.已知直线/，平面口??直线二平面户??有下列四个命题

_L%?(2)al,8=j;?

⑶《=.?⑷/,加=&//.?其中正确的命题是

参考答案：

(1)(3)

jQog,5)2-410g25+4+log,:

13.TT•J—______________•

参考答案：

-2

略

14.已知坐标平面内的两个向量a="sina3)£=12挺3),且则钝角

a-

参考答案：

至

T

略

15.若直线m被两平行线L：x-«y+l=O与Iz：x-«y+3=0所截得的线段的长为1,则

直线m的倾斜角的大小为.

参考答案：

120°

【考点】两条平行直线间的距离.

|1-3|

【分析】由两平行线间的距离V而=1,得直线m和两平行线的夹角为90°.再根据两

条平行线的倾斜角为30°,可得直线m的倾斜角的值.

|1-3|

【解答】解：由两平行线间的距离为《1+8=1,

直线m被两平行线11：x-V3y+l=0与L：x-V3y+3=0所截得的线段的长为1,

可得直线m和两平行线的夹角为90°.

由于两条平行线的倾斜角为30°,故直线m的倾斜角为120。，

故答案为：120°.

【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，属于基础题.

16.（5分）Z^ABC中，AC=3,AB=2,若G为AABC的重心，则菽?前=.

参考答案：

5

3

考点：平面向量数量积的运算.

专题：计算题；平面向量及应用.

分析：运用三角形的重心的性质和向量的三角形法则及向量的中点表示，以及向量的平方

即为模的平方，即可化简求得.

解答：由于G为4ABC的重心，

连接AG,延长交BC于D,

则正。虹乃(AB+AC)=3(杷+AC),

则有够前3(胡正)•(正-标)

1—.2-2lx-

=3(AC-AB)=3(9-4)=3.

5

故答案为:3.

点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心的性质及向量中点的

向量表示，考查运算能力，属于基础题.

在AABC中，slM=cos5=—.McosC®

17.513.

参考答案：

16

65

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=2-75tinxcosx+2cosJx-1(x€21)

rn7T.

(I)求函数了［•','的最小正周期及在区间"三上的最大值和最小值；

..、—6.n大、

（II）若/&）=亍”曰了日求cos2x。的直

参考答案：

（本小题满分12分）

（I）解:由/3）=2,规1）18门+28$2"-1,得

/(x)=y/3(2sinxcosx)+(2cos3x-l)=>/3sin2x+cos2x=25in(2x+—)

6(3分)

所以函数/“)的最小正周期为4(4分)

，rn”一

/(x)=2sin2x+-0.——

因为'6J在区间L5」上为增函数,在区间L62」上为减函数，又

」(0)=1唱=2弱=7

八n

所以函数/用在区间L<-上的最大值为2,最小值为-1（6分）

/(x0)=2sin|2%0-l-y|

(II)解:由⑴可知

63

/(Xj)=-sin

又因为“5,所以（7分）

nn2”77r

由I2」,得（8分）

_4

从而5(9分)

所以

.JT3-4y/3

cos2^o==coscos-4-sin

66(12

分）

略

19.首届世界低碳经济大会在南昌召开，大会以“节能减排，绿色生态”为主题。某

单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为

一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，

月处理成本尸(元)与月处理量X(吨)之间的函数关系可近似的表示为：

-200x180000

2,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100

元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少

需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ks5u

参考答案：

解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：

y180000.

令=x一.2n0n0,r(x)在(0,400)为减函数，在(400,+co)上是

增函数，故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为

200元.

(2)设该单位每月获利为二则ks5u

1,1,

„=100x-(1?-200x+80000)=--x2+300x-80000

S=100x-y'22

1,

=300)2-35000

因为400sx£600,所以当x=400时，-有最大值-40000.

故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40。。。元，才能不亏损。

20.已知线段PQ的端点Q的坐标为(-2,3),端点P在圆C：(x-8)2+(y-1)2=4

上运动.

(I)求线段PQ中点M的轨迹E的方程；

(II)若一光线从点Q射出，经x轴反射后，与轨迹E相切，求反射光线所在的直线方

程.

参考答案：

【考点】轨迹方程.

【分析】(I)设M(x,y),P(xo，yo),利用中点坐标公式，转化为P的坐标，代

入圆的方程求解即可.

(II)设Q(-2,3)关于x轴对称点Q,(-2,-3)设过Q'(-2,-3)的直线？：

y+3=k(x+2),利用点到直线的距离公式化简求解即可.

XQ=2X+2

、y0=2y-3

【解答】解：(I)设M(x,y),P(xo，yo),

则代入(x0-8)+(y0-l)=4

轨迹E的方程为(x-3)2+(y-2)2=1；

(II)设Q(-2,3)关于x轴对称点Q，(-2,-3)

设过Q'(-2,-3)的直线？：y+3=k(x+2),即kx-y+2k-3=0

(5k-5)2=k2+125(k2-2k+l)=k2+124k2-50k+24=0,

(3k-4)(4k-3)=0,

•••反射光线所在。

殳

y+3=3(x+2),

即4x-3y-1=0

y+3=4(x+2),

即3x-4y-6=0.

21.如图3,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)力8C-4冬中，

乙的=9CT,AB=BC=AAl=2)。是松的中点.

(I)求证:4G〃平面

(ID求直线幺射与平面西£「々所成角的正切值.

参考答案:

解：⑴证明：连接3c1,交于£,则厚为Eg的中点,

连接是，8的中点，.••°&〃为01..................2分

又...4C1<Z平面用ZX；,Q&U1平面型X7,

平面与DC.............................4分

BBJ•平EASCnBB1型

XX=>四_1平面与比£

AB1BC

(ID

贝QG》是直线g与平面43g所成的角.6分

因为・=在Rt2\4S]C中，5Cj=^BC24-CjC2=2^

tanZ-ACiB=""=

从而BCi2...............................8分

略

22.已知圆C：x2+y2-2x+4my+4m2=0,圆Ci：x2+y2=25,以及直线1：3x-4y-15=0.

(1)求圆G：X，y2=25被直线1截得的弦长；

(2)当m为何值时，圆C与圆G的公共弦平行于直线1；

(3)是否存在m,使得圆C被直线1所截的弦AB中点到点P(2,0)距离等于弦AB长度

的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由.

参考答案：

【考点】相交弦所在直线的方程；圆与圆的位置关系及其判定.

【专题】直线与圆.

22

【分析】(1)根据直线和圆相交的弦长公式即可求圆C1：x+y=25被直线1截得的弦长；

(2)求出两圆的公共弦结合直线平行的条件即可求出直线1；

(3)根据两点间的距离公式结合弦长关系即可得到结论.

22_

【解答】解：(1)因为圆Cl：x+y=25的圆心