2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区振华学校九年级上册数学期末复习检测试题含解析

2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区振华学校九上数学期末复习检测试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，A5是。O直径，若NAOC=140。，则的度数是（）

A.20°B.30°C.40°D.70°

2.如图，点A,B,C在。。上，NA=36。，NC=28。，则NB=（

A.100-B.72°D.36°

3.已知如图，在正方形ABCD中，AD=4,E,F分别是CD,BC上的一点，且NEAF=45°,EC=1,将aADE绕点A沿顺时

430

针方向旋转90°后与AAEG重合,连接EF,过点B作BM〃AG,交AF于点M,则以下结论:①DE+BF=EF,②BF=—,③AF=—,

77

32

④SAW而中正确的是（）

A.①②③B.②®④C.①③④D.①②④

4.已知点E在半径为5的。O上运动，AB是。O的一条弦且AB=8,则使△ABE的面积为8的点E共有（）个.

A.1B.2C.3D.4

5.一元二次方程（x+2）（x-1）=4的解是（）

A.xi=O,X2=-3B.xi=2,X2=-3

C.xi=LX2=2D.XI=-1,X2=-2

6.如图，矩形。IBC的Q4边在x轴的正半轴上，点3的坐标为（4,2）,反比例函数y=人的图象经过矩形对角线的

X

交点P,贝必的值是（）

了

-

「XL

十一

A.8B.4C.2D.1

7.化简正+（、历-1）的结果是（）

A.20-1B.2-V2C.1-V2D.2+72

8.如图，在中，ZACB^90°,CDLAB于点D,CD=2,BD=1,则AD的长是（）

C

二

ADB

A.1.B.72C.2D.4

9.当〃取何值时，反比例函数y=@匚

的图象的一个分支上满足）'随X的增大而增大（）

X

A.a>3B.a<3C.a>3D.a<3

10.如图，OO中弦AB=8,OC±AB,垂足为E,如果CE=2,那么。O的半径长是（）

A.4B.5C.6D.1°

3

11.若抛物线y=ax2+2ax+4(a<0)上有A(-yi）,B（-72，yz）,C（0,y3）三点，则yi,yi,y3的大小

关系为（）

A.yi<yz<yjB.y3<y2<yiC.yj<yi<yzD.y2<yj<yi

12.用配方法解一元二次方程/-4x=5时，此方程可变形为（）

A.（%+2）2=1B.（X-2）2=1C.（x+2）2=9D.（x-2）2=9

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、8、C都在横格

线上.若线段A5=6c/n,则线段3C=cm.

14.若王，々分别是一元二次方程》2+2x-l=0的两个实数根，则须工2+玉+々=.

15.如图，抛物线y=-g（x+1）（x-9）与坐标轴交于A、B、C三点，D为顶点，连结AC,BC.点P是该抛物线

在第一象限内上的一点.过点P作y轴的平行线交BC于点E,连结AP交BC于点F,则空的最大值为.

AF

16.等腰RtAA8c中，斜边A3=12,则该三角形的重心与外心之间的距离是,

17.如图，某试验小组要在长50米，宽39米的矩形试验田中间开辟一横一纵两条等宽的小道，使剩余的面积是1800

平方米，求小道的宽.若设小道的宽为x米，则所列出的方程是（只列方程，不求解）

18.在RtAABC中，NC=90°，AB=10,BC=8,贝!JcosA的值等于

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，点4、B、C、D、E都在。。上，AC平分N3AZ）,且A5〃CE,求证：AE=CD-

E

.0

20.（8分）为了测量山坡上的电线杆PQ的高度，数学兴趣小组带上测角器和皮尺来到山脚下，他们在A处测得信号

塔顶端P的仰角是45。，信号塔底端点Q的仰角为3（）。，沿水平地面向前走1（）0米到8处，测得信号塔顶端P的仰角

是60。，求信号塔PQ的高度.（结果保留整数）

21.（8分）（1）如图1,在。。中，弦A3与酸相交于点尸，ZBCZ）=68°,ZCFA=1O8°,求NAOC的度数.

（2）如图2,在正方形A8C。中，点E是CD上一点（£>E>CE）,连接AE,并过点E作AE的垂线交于点F,

若AB=9,BF=7,求。E长.

22.（10分）如图，A8是。。的直径，点C是。。上一点，AD±DC^D,且AC平分延长0C交AB的延

长线于点P.

（1）求证：PC=PA・PB；

（2）若3AC=45C,。。的直径为7,求线段PC的长.

23.(10分)如图1,在八4BC中，AB=AC=1O,BC=12.

(1)求AC边上的高8"的长；

(2)如图2,点£)、£分别在边AB、8C上，G、尸在边AC上，当四边形。EGF是正方形时，求DE的长.

24.(10分)如图，四边形ABCD中，AB=AD,NBAD=60。，ZBCD=30°,将AC绕着点A顺时针旋转60。得AE,

连接BE,CE.

(1)求证：AADC^AABE；

(2)求证：AC2=DC2+BC2

(3)若AB=2,点Q在四边形ABCD内部运动，且满足AQ?=OQ?+BQ?,直接写出点Q运动路径的长度.

25.(12分)如图所示，CD是。的直径，AB为弦,CO交AB于点E.若乙R4O=30°,AO//BC,OA=2.

(2)求CE的长度.

(1)观察图形，请填写下列表格:

正方形边长1357・•・n（奇数）

黑色小正方形个数.・・

正方形边长2468・・・n（偶数）

黑色小正方形个数・・・

（2）在边长为n（n>l）的正方形中，设黑色小正方形的个数为Pi,白色小正方形的个数为P2,问是否存在偶数n,

使P2=5PI?若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、A

【分析】根据邻补角的性质，求出NBOC的值，再根据圆周角与圆心角的关系求出ND的度数即可.

【详解】VZAOC=140°,

:.ZBOC=1800-ZAOC=40°,

VZBOC与NBDC都对BC，

.*.ZD=—ZBOC=20°,

2

故选A.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键.

2、C

【详解】试题分析：设AC和OB交于点D,根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得：NO=2NA=72°,

根据NC=28°可得：ZODC=80°,贝ljNADB=80°,则NB=180°-NA-NADB=180°-36°-80°=64°,故本题选C.

【分析】利用全等三角形的性质条件勾股定理求出8尸的长，再利用相似三角形的性质求出△BMF的面积即可

【详解】解：：AG=AE,NFAE=NFAG=45°,AF=AF,

.".△AFE=AAFG,

.,,EF=FG

VDE=BG

:.EF=FG=BG+FB=DE+BF故①正确

VBC=CD=AD=4,EC=1

，DE=3,设BF=x,则EF=x+3,CF=4-x,

在RtZkECF中，(x+3)2=(4-x)2+l2

4

解得x=一

7

/.BF=|AF=,+$2=当1故②正确，③错误，

VBM/7AG

:.AFBM-AFGA

.SFBM=(FB/

"S.FGA一"

32

**•SAMEF=万二,故④正确，

故选D.

【点睛】

本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学

会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题

4、C

【分析】根据△ABC的面积可将高求出，即OO上的点到AB的距离为高长的点都符合题意.

【详解】过圆心向弦AB作垂线，再连接半径.

设△ABE的高为h,由SA8E=gxABx/i=8可求〃=2.由圆的对称性可知，有两个点符合要求；

又弦心距=庐下=3・

•••3+2=5,故将弦心距AB延长与OO相交，交点也符合要求，故符合要求的点有3个.

故选C.

考点：（D垂径定理；（2）勾股定理.

5、B

【解析】解决本题可通过代入验证的办法或者解方程.

【详解】原方程整理得：x'+x-6=0

:.（x+3）（x-1）=0

Ax+3=0或x-l=0

•*.xi=-3,xi=l.

故选B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法•因式分解法.把方程整理成一元二次方程的一般形式是解决本题的关键.

6、C

【分析】根据矩形的性质求出点P的坐标，将点P的坐标代入y=人中，求出k的值即可.

x

【详解】•••点P是矩形QWC的对角线的交点，点8的坐标为（4,2）

.♦.点P（2,l）

将点P（2,l）代入>=人中

X

2

解得左=2

故答案为：C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质以及反比例函数的性质，掌握代入求值法求出k的值是解题的关键.

7、D

【解析】将除法变为乘法，化简二次根式，再用乘法分配律展开计算即可.

1

【详解】原式=0x=V2x(V2+1)=2+啦.

V2-1

故选D.

【点睛】

本题主要考查二次根式的加减乘除混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键.

8、D

【分析】由在RSABC中，NACB=90。，CD±AB,根据同角的余角相等，可得NACD=NB,又由NCDB=NACB=90。,

可证得AACDs^CBD,然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案.

【详解】：在R3ABC中,NACB=90。，CD1AB,

二ZCDB=ZACB=90°,

:.ZACD+ZBCD=90°,ZBCD+ZB=90°,

...NACD=NB,

.,.△ACD^ACBD,

.ADCD

,•而一茄’

VCD=2,BD=1,

.AD2

--7，

；.AD=4.

故选D.

【点睛】

此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于证得AACDs/iCBD.

9、B

【解析】根据反比例函数的性质可得：

•••y=一的一个分支上y随X的增大而增大，

X

:.a-3<0,

:.a<3.

故选B.

10、B

【分析】连接OA,由于半径OC_LAB,利用垂径定理可知AB=2AE,设OA=OC=x,在RtaAOE中利用勾股定理易

求OA.

【详解】解：连接OA,

VOC±AB,

.*.AB=2AE=8,

，AE=4,

设OA=OC=x,贝!|OE=OC-CE=x-2

在RtAAOE由勾股定理得：

OA1=AE2+OE2

即：f=42+0—2)2,

解得：x=5,

故选择：B

【点睛】

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

11、C

【分析】根据抛物线y=ax?+2ax+4(a<0)可知该抛物线开口向下，可以求得抛物线的对称轴，又因为抛物线具有

对称性，从而可以解答本题.

【详解】解：•.,抛物线y=ax2+2ax+4(a<0),

二对称轴为：x=--=-1,

2a

・••当xV-1时，y随x的增大而增大，当x>-1时，y随x的增大而减小，

33

,**A(—―,yi),B(.—y/29yi),C(y/29y3)在抛物线上，且一5V-,一0.5V,

.*.y3<yi<y2,

故选：C.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数具有对称性，在对称轴的两侧它的增减性不一样.

12、D

【解析】试题解析：

x2-4x=5,

x2-4x+4=5+4,

(X-2)2=9.

故选D.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、18

【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出♦43。〜.ACE,即可求得答案.

【详解】如图所示：过点A作平行线的垂线，交点分别为D、E,

♦ABD~*ACE>

•AB_AD

**AC-'

解得：AC=24,

...BC=AC-AB^24-6=18cm,

故答案为：18.

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出〜.ACE是解答本题的关键.

14、-3

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系的公式，代入所求式即可得解.

【详解】由题意，得

bc

Xj+马==-2,X^2=—=-1

aa

：.王马+玉+工2=-2—1=-3

故答案为：-3.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握，即可解题

81

15、—

40

【分析】根据抛物线的解析式求得A、B、C的坐标，进而求得AB、BC、AC的长，根据待定系数法求得直线BC的

解析式，作PNLBC,垂足为N.先证明△PNEs^BOC,由相似三角形的性质可知PN=豆mPE,然后再证明

10

PF

△PFN-AAFC,由相似三角形的性质可得到PF:AF与m的函数关系式，从而可求得一的最大值.

AF

【详解】•••抛物线丫=-g(x+l)(x-9)与坐标轴交于A、B、C三点，

/•A(-1,0),B(9,0),

令x=0,则y=L

•••C(0,1),

：•BC=y/oB2+OC2=V92+32=3M，

设直线BC的解析式为y=kx+b.

•••将B、C的坐标代入得：_，解得k=--,b=L

力=33

直线BC的解析式为y=-gx+1.

设点P的横坐标为m,则纵坐标为-2(m+1)(m-9),点E(m,--m+1),

33

PE="-(m+1)(m-9)-(--m+l)=--m2+lm.

333

作PN_LBC,垂足为N.

•.,PE〃y轴，PN_LBC,

:.ZPNE=ZCOB=90°,ZPEN=ZBCO.

.,.△PNE^>ABOC.

.PNOB___9___

"PE-BC_3Vw__io_*

.3710g3M,12,、

..PN=——PE=——（--m2+lm）.

10103

VAB2=（9+l）2=100,AC^P+1^10,BC2=90,

AAC^BC^AB2.

:.ZBCA=90°,

又：NPFN=NCFA,

.,.△PFN^AAFC.

:.&里=雪（-J+3*%巫.

AFAC—~意----101010240

.,.当m=时，——的最大值为—.

2AF40

Q1

故答案为：工.

40

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的解析式、等

腰三角形的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的证明与性质，求得竺与m的函数关系式是解题的关键.

AF

16、1.

【分析】画出图形，找到三角形的重心与外心，利用重心和外心的性质求距离即可.

【详解】如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，DI为所求.

•••直角三角形的外心是斜边的中点,

1

：.CD=-AB-6,

2

是△ABC的重心，

1

：.DI=-CD=1,

3

故答案为：L

【点睛】

本题主要考查三角形的重心和外心，能够掌握三角形的外心和重心的性质是解题的关键.

17、（50-x）（39-x）=1800（答案不唯一）

【分析】可设道路的宽为xm,将4块剩余矩形平移为一个长方形，长为（50-x）m,宽为（39-x）m.根据长方形面

积公式即可列出方程.

【详解】解：设道路的宽为xm,依题意有

（50-x）（39-x）=1.

故答案为：（50-x）（39-x）=1800.

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式.解题关键是利用平移把4块试验田平移

为一个长方形的长和宽.

3

18、—

5

【分析】首先由勾股定理求出另一直角边AC的长度，再利用锐角三角函数的定义求解.

【详解】•.,在Rtz\ABC中，ZC=90°,AB=10,BC=8,

二AC=yjAB2-BC2=#102-82=6，

“AC63

..cosA----=—=一,

AB105

3

故答案为：j.

【点睛】

本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边.

三、解答题（共78分）

19、见解析.

【分析】根据角平分线的定义，可得NBAC=NZMC,然后根据平行线的性质，可得N8AC=NACE,从而求出NOAC

=NACE,最后根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等即可证出结论.

【详解】证明：VAC平分NA4O,

二NBAC=NDAC,

•：AB//CE,

：.ZBAC=ZACE,

:.NDAC=NACE,

：•AE=CD-

【点睛】

此题考查的是角平分线的定义、平行线的性质和圆的基本性质，掌握在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

是解决此题的关键.

20、信号塔PQ的高度约为100米.

【分析】延长PQ交直线AB于点M,连接AQ,设PM的长为x米，先由三角函数得出方程求出PM,再由三角函数

求出QM,得出PQ的长度即可.

【详解】解：延长交直线AB于点M，连接AQ,如图所示:

耳

则NPM4=90°,设PM的长为尤米，在用24M中，NB4M=45°,

二=米，,100（米），

PMxr~

在Rt/\PBM中，VtanZ.PBM=-----,Atan60°=----------=J3,

BMx-100

解得：X=50（3+G）,

在中，•••tanNQAM=",

AM

:.QM=AM-tanZQAM=50（3+百）xtan30°=50（石+1）（米），

,PQ=AW—QA/=100（米）；

答：信号塔P。的高度约为100米.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用、三角函数；由三角函数得出方程是解决问题的关键，注意掌握当两个直角三角形有公

共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路.

21、(1)40°；(2)1.

【分析】(1)由NBCZ)=18°,ZCE4=108°,利用三角形外角的性质，即可求得N5的度数，然后由圆周角定理，

求得答案；

DEAD

(2)由正方形的性质和已知条件证明尸，根据相似三角形的性质可知：—,设Z)E=x,则EC

FCCE

=9-x,代入计算求出x的值即可.

【详解】(1)VZBCD=18°,ZCE4=108°,

：.ZB=ZCFA-ZBCD=108°-18°=40°,

：.ZADC=ZB=40°.

(2)解：.四边形ABC。是正方形，

ACD=AD=BC=AB=9,ZD=ZC=90°,

：.CF=BC-BF=2,

在RtZ\AOE中，ZDAE+ZAED=9Q°,

TAELE尸于E,

二NAEO+N尸EC=9()°,

:.NDAE=NFEC,

工AADES^ECF,

*DEAD

••—,

FCCE

设OE=x,贝ljEC=9-x,

.J9

••——9

29-x

解得Xl=3,X2=l,

"：DE>CE,

：.DE=1.

【点睛】

此题考查三角形的外角的性质，圆周角定理，正方形的性质，三角形相似的判定及性质.

22、(1)见解析；(2)PC=\.

PCPA

【分析】(1)证明△BlCs/\PCB,可得——=——，即可证明尸。=弘・尸8；

PBPC

(2)若3AO45C,则"=d,由(1)可求线段PC的长.

PB3

【详解】(1)・・F3是。。的直径，

/.ZACB=90°.

•••AO1,OC于。，且AC平分NZM6,

AZPDA=90°,ZDAC=ZBAC.

VZPCA=ZPDA+ZDAC9ZPBC=ZACB+ZBACf

:.NPCA=NPBC.

•:/BPC=/CPA,

•••△B4cs△PC3,

.PC-PA_AC

''~PB~~PC~~CB'

：.PC2=PA*PB；

(2)'：3AC=4BC,

.PCAC4

"CB_3'

设PC=4A,贝!|尸8=3七PA=3k+7,

，(4A)2=343A+7),

.•/=3或A=0(舍去)，

：.PC=1.

【点睛】

本题考查了三角形相似的判定与性质，圆周角定理，解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解

答本题的关键.

,、，、240

23、(1)9.6；(2)——.

49

【分析】(1)过点A作于点根据三线合一和勾股定理得BC上的高AM的长，再根据面积法即可解

答；

(2)设DE=NH=x,则BN=BH-NH=9.6—x,因为DE//AC可得MDEABAC,再根据相似三角形对应

DE9.6-xx

边成比例得---=----,即-------=—>从而得解.

BHAC9.610

【详解】解：(1)如图1,过点4作41/，3。于点

'：AB^AC^lO,：.BM=-BC=6(三线合一)

2

在中，由勾股定理得40=8.

,=如网=3=9.6

图1

(2)如图，设3〃与OE交于点N.

•.•四边形。EGF是正方形

ADE//AC,DE=NH,BNIDE.

设DE=NH=x,则BN=BH-NH=9.6—x

由DE〃AC可得ABDEA5AC,从而

BNDE9.6-xX

——=——，a即n------

BHAC9.6To

解得x嗡

.­=空

49

EGBEECXX

(本题也可通过---1----=----1---=1t,列方程^+777=1求解)

ACBHBCBC109.6

【点睛】

本题考查面积法求高、三角形相似的判定与性质的综合应用，是比较经典的题目.

2

24、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）-71.

3

【解析】（1）推出NDAC=NBAE,则可直接由SAS证明AADC^^ABE；

（2）证明ABCE是直角三角形，再证DC=BE,AC=CE即可推出结论；

（3）如图2,设Q为满足条件的点，将AQ绕着点A顺时针旋转60度得AF,连接QF,BF,QB,DQ,AF,证

△ADQ^AABF,由勾股定理的逆定理证NFBQ=90。，求出NDQB=150。，确定点Q的路径为过B,D,C三点的圆上

BD，求出80的长即可.

【详解】（1）证明：；NCAE=NDAB=60。，

:.ZCAE-ZCAB=ZDAB-ZCAB,

.•.ZDAC=ZBAE,

又；AD=AB,AC=AE,

/.△ADC^AABE(SAS)；

C

D)

图1E

(2)证明：在四边形ABCD中，

ZADC+ZABC=360°-ZDAB-ZDCB=270°,