2023版高考数学一轮总复习检测15不等式选讲

专题十五不等式选讲

解答题

1.(2022届四川期中,23)已知函数f(x)=∣x+a∣+∣Λ-∣∣,且a为非零常数.

⑴当a=l时,求f(x)W7的解集；

⑵当a<0时,求证:f(x)22位.

(l~^2x,X≤-1,

解析⑴因为a=l,所以f(x)=∣x+a∣+卜斗=∣x+l∣+∣χ-2∣=3,-1Wx<2,

”(,2χ-l,X22,

当x<-l时,l-2x≤7,所以-3Wx<T;

当TWx<2时,3W7恒成立,所以TWx<2;

当x》2时,2χ-l≤7,所以2≤x≤4.

综上所述,当a=l时,f(x)W7的解集是{x∣-3WxW4}.

⑵证明：∣x+a∣+卜,性k+a-%+∣∣=∣a+∣∣,

因为a<0,所以-a>0,二>0,

a

所以Ia+m=-(a+$(-a)+(勺22近(当且仅当a=-费时取等号).

2.(2022届长春质检,23)已知函数f(x)=Ix-21+1χ-aI.

(1)当a=3时,求不等式f(x)>5的解集；

(2)若Vx∈[1,2],f(x)》Ix-41,求实数a的取值范围.

‘5-2才,X≤2,

5-2x>5、『5)5,>5,

解析⑴当a=3时,f(x)=1,,2<x<3,f(x)>5等价于f

.χ≤2.χ23<x<3,

2六5,X》3,

解得x<0或x>5,所以不等式的解集为{x∣x<0或x>5}.

(2)VX∈[1,2],f(x)⅛≈Iχ-41等价于2-χ+χ-a∣5≈4-χ,等价于VXe[1,2],∣χ-a∣⅛≈2,即

Vx∈[l,2],a≤-1或心4,

从而实数a的取值范围是{aIa≤-l或a24}.

3.(2022届河南焦作模拟,23)设函数f(x)≈∣χ-l∣-∣2x+l∣.

(1)解不等式:f(x)2-2;

(2)设f(x)的最大值为m,关于X的不等式x2-ax+2>0在bm]上恒成立,求实数a的取值范围.

解析(1)当x≤T时，l-χ-[-(2x+l)]2-2,解得x)-4,所以-4≤xWf∙

当gxWl时，l-χ-2xT)-2,解得x≤∣,所以BXWi

当x>l时，χ-l-2χ-l≥-2,解得x≤0,所以无解.

综上,原不等式的解集为卜卜4WXWg

(x+2,ɪ≤-ɪ,

(2)∙..f(x)=,3χ,T<χWIif(X)Mf(-9=加，.∙.χ2-ax+2>0在χG”,引时恒成立等价于

I-X-2,x>1,

a〈x+：在x∈[ɪ,，时恒成立.

又∙.∙χ+∣222式(当且仅当X=调时等号成立)，,a的取值范围是(-8,22).

4.(2022届吉林顶级名校期中，23)已知函数f(x)=∣2x+l∣-∣x∣.

(1)解不等式f(x)20;

(2)若存在实数X,使得f(x)≤ixl+a,求实数a的取值范围.

解析(1)①当x≤-时,T-2x+x>0=xWT,所以xWT;

②当一<x<0时，2x+l+x20=x2-:所以-;≤x<0;

③当x≥0时,2x+l-χ≥0=>x≥-l,所以x≥0.

综上,不等式的解集为(-8,一1]U[-i,+8).

⑵f(x)≤IXI+aBP12x+l∣-21x|≤a,

ΛP4HX1⅛

由已知畔(卜+步田)威又IlTTXIl0即WWk+1阈磕

；.»,即a^-l.

故实数a的取值范围是[T,+8).

5.(2022届四川绵阳质检,23)已知函数f(x)=∣χ-2∣-∣χ-5∣.

⑴证明:-3≤f(x)≤3;

(2)求不等式f(x)^x2-8x÷15的解集.

(-3,XS2、

解析(1)证明：f(X)=IX-2∣Tχ-5∣42χ-7,2<x<5,

(3,XN5.

当2<x<5时，-3<2χ-7<3.所以-3≤f(x)≤3.

2

(2)当x≤2时,f(x)≥X2-8X+15即X2-8X+15≤-3,其解集为空集;

当2<x<5时,f(x)>X2-8X+15即X2-8X+15≤2X-7,所以5-√5Wx<5,故解集为｛x15-√3≤x<δ);

当x25时，f(x)⅞x2-8x+15即X2-8X+15≤3,所以5≤x≤6,故解集为｛x15≤x≤6｝.

综上,f(x)^X2-8X+15的解集为｛x15-√3≤x≤6｝.

6.(2022届江西六校联考,23)设函数f(x)=2∣χ-l∣+lx+21.

(1)求不等式f(x)W9的解集;

(2)设f(x)的最小值为m,正数a、b、C满足a+b+c=m,求证:土+3•二》3.

abc

(~3x,X≤~2,

解析(1)Vf(x)=21x-11+1x+2h--ɪ+4,-2<x<当x≤-2时，由f(x)≤9,得-3x≤9,解

3>x,%≥1,

得x2-3,此时-3WxW-2;

当-2<x<l时，由f(x)W9,得-χ+4W9,解得x2-5,此时一2<x<l;

当χ>l时，由f(x)W9,得3xW9,解得xW3,此时l≤x≤3.

综上,不等式f(x)≤9的解集为[-3,3].

⑵证明：由⑴可知当xW-2时,f(x)=-3x26;

当-2<x〈l时,f(x)=-χ+4∈(3,6);

当x》l时，f(x)=3x23.

函数f(x)的最小值m=3,则a+b+c=3.

Va,b,c均为正数，，£+a22b，9+b22c,t+c22a,当且仅当a=b=c=l时等号成立，

abc

/.—+ʒ-+-+a+b+c≥2(a+b+c),

abc

.∙.-+4+ɪ≥a+b+c=3,得证.

abc

7.(2022届四川名校联盟,23)已知函数f(x)f∕4∕+41nχ+zn2+2∣χ-l∣∙

(1)若"2,求不等式f(x)≤6的解集；

(2)若存在o∈R,使不等式f(x0)4而成立,求实数m的取值范围.

解析(1)若m=2,则f(X)=∣2X+2∣+∣2X-2∣,

-4x,X≤-1,

4,-1<x<1,

14x,%≥1,

当x≤-l时,-4xW6,则-;

当T<xQ时,4W6恒成立,则TCxV;

3

O

当x≥l时，4x≤6,则IWxWj.

综上，当m=2时,不等式f(x)≤6的解集为｛x∣-g≤X≤I],

(2)f(x)=∙√4χ2+4mx+/+2IXTI=I2x+m∣+12x~21,

存在x0∈R,使不等式f(x0)Wm2成立,只需要f(x)π,,,,≤m',

∙.∙12x+mI+12χ-212I(2x+m)-(2χ-2),即f(x)⅞∣m+21,等号成立的条件为

(2x+m)(2χ-2)≤0,

Λm2≥1m+21.

当m2-2时,m2⅛m+2,即(m-2)(m+l)NO,

Λm⅛2或-2WmWT;

当m<-2时,mz⅛-(m+2),即m2+m+2⅛≈0,Λm<-2.

故实数m的取值范围是(-∞,-l]U⑵+8).

8.(2022届四川资阳一诊,23)已知函数f(x)=21χ-l+1x+21.

(1)解不等式f(x)W6-χ;

⑵设f(x)的最小值为M,实数a,b满足a+2b=M,⅛τlEιa2+bz+2b⅛=4.

解析(1)当x<-2时，f(X)=-2X+2-X-2=-3X≤6-X,得-3<xC-2;

当-2WXWl时，f(x)=-2X+2+X+2=-X+4W6-χ,得-2WxW1;

当x>l时，f(X)=2X-2+X+2=3XW6-X,得l<xW/

综上所述,原不等式的解集为｛x卜3≤x≤∣).

(2)证明：由(1)可知,x〈-2时，f(x)=-3x>6j-2≤x≤l时，f(x)=-x+4》3;x>l时，f(x)=3x>3,所

以函数f(x)的最小值M=3,则a+2b=3.

所以a2+b2+2b=(3-2b)W+2b=5b2-10b+9=5(b-l)2+4≥4,当且仅当a=l,b=l时取“=”.

9.(2021黑龙江齐齐哈尔二模,23)已知a,b,C都为正实数,且a+b+c=3.证明：

(1)√2∑TT+√2⅛+1+√2CΞΓΓ≤3√3;

⑵3)(*)(*)W∙

证明

(1)(√2∑TT+√26TT+√2cTI)%(a+b+c)+3+2√(2a+l)(2⅛+l)+2√(26+1)(2c+1)+2

4

√(2c+l)(2a+l)≤2(a+b+c)+3+(2a+l+2b+l)+(2b+l+2c+D+(2c+l+2a+l)=6(a+b+c)+9=27(

当且仅当a=b=c=l时取"=").^√2a+T+√2⅛TT+√2c47T≤3√3.

(2)由a,b,c都为正实数,且a+b+c=3,

可得—)(*)(*)

等.等.哈丹.巫呼.辿芸(当且仅当a=b=c=l时取).

<5θOUoCN/aI)CΔI

≡(rl)(H)64)⅛

10.(2022届云南适应性考试,23)已知函数f(x)=Ix2-3x∣+∣x∣.

(1)求不等式f(x)23的解集；

⑵若f(x)=∣χz-2x∣,求X的取值范围.

Λ2-2X,X23,

4Λ~Λ2,0<x<3,

(Λ2-4X,X≤0,

当x》3时,x2-2x≥3,解得x23或x≤-l,所以x23;

当0<x<3时,4χ-χ223,解得1WXW3,所以l≤x<3;

当x≤0时,X2-4X>3,解得x∙2+√7或x≤2-√7,

所以XW2-√7.

综上,原不等式的解集为{xIx》l或x≤2-√7}.

(2)由绝对值三角不等式可得f(x)2N-2X∣,当且仅当(χJ3x)∙x》0时取等号,解得x23

或x=0.所以X的取值范围是{x∣x23或x=0}.

11.(2022届合肥联考,23)已知函数f(x)=14xTI+41x+11.

(1)求不等式f(x)>9的解集;

(2)若不等式f(x)>2m+3l"对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.

解析(D不等式f(x)>9可化为14χ-lI+41x+11>9,

所以成fτ<x<ɪ,或*WT,

解得或

l"J+4(x+l)>9l-(4χ-l)+4(x+l)>/匕4尸l)Y(x+1)>9,Xyxe0

或x<-p所以不等式f(x)>9的解集为(-8,-∣)uɑ,+∞).

(2)因为f(x)=∣4x-lI+4[x+1∣=∣4χ-l∣+14x+41C14χ-l-4χ-41=5,当且仅当TWXWl时等号成

立,

5

所以5>2m+3∙,令g(m)=2m+3m,则g(nɪ)为R上的增函数,且g(l)=5,所以m<l,故实数m的取值

范围为(-8,1).

12.(2022届广西联考,23)已知函数f(x)=∣χ-2∣+∣2χ-l∣.

(1)求不等式f(x)>3的解集；

(2)记函数f(x)的最小值为m,若a,b,c均为正实数，且5+b+c=m,求a=b'(?的最小值.

3χ-3,x)2,

”+1,5≤X≤2,

{-3x+3,%<ɪ,

CF>o"+1.3,(-3x+323,

・・・f(x)23,・・・f*'或1VV9或，1解得x22或xW0,・・・不等式的解集

'χ>2弓WXW2(/〈5，

为{xIx22或x≤0}.

(2)由(1)知，函数f(x)在(-8,J上单调递减,在g+8)上单调递增，

所以f(x)m,n=fθ)=∣,则;a+b+c=m=∣,

由柯西不等式,有(a'+b%?)(3+产+I》&+b+c)V，

.∙.a2+b2+c2≥l,当且仅当2a=b=c,即a*b=c=∣时取等号，

.∙.a2+b%2的