数学物理方法

1.就以下初始条件及边界条件解弦振动方程解：利用别离变量的方法有：代入齐次方程得那么得常微分方程利用边界条件得我们知道1’2’，令那么方程的通解由边界得得即解得.得通解由初始条件=再由2．3就以下初始条件及边界条件解弦振动方程解：利用别离变量的方法有：代入齐次方程得那么得常微分方程利用边界条件得我们知道1’2’，令那么方程的通解由边界得得即解得.得通解由初始条件=再由4题目：在扇形区域内解以下定解问题：参考答案：解：令，有即有(*)对于有其解的通式可设为：Asin()+Bcos〔〕将边界条件带入有B=0，且由经验知为一个大于零的数，那么有，解得〔n=1,2,3…〕且有将的值带入〔*〕中有，而由物理知识可以得到自然边界和，将其带入知=0故，那么又有起始条件有将在上展开成的Fourier级数，得到(n=1,2,3,…)5第三章：求上半平面内静电场的电位，即解以下定解问题解：有原题的x值的取值范围可知，此题可用傅里叶变换求解，那么令：对方称两边对x求傅里叶变换可得：，其解的形式为:〔1〕在对条件进行变换可得：〔2〕代入〔1〕式中有那么：，此时可分类讨论：当w=0时，U〔w,y〕=F(w);当w<0时，要满足条件〔2〕，那么需C2=0，有当w>0时，同理需要C1=0，那么有综上所述，可得：又有逆变换那么可得u〔x,y〕的表达式为：6第三章：用积分变换解以下问题：解：令对泛定方程关于变量x取拉普拉斯变换得由拉普拉斯变换的定义及微分性质，有即得解之得因所以可得取逆变换得7证明平面上的格林公式uΔv−vΔudσ=u∂v∂nDC−v∂u∂nds其中C为D的边界曲线,ds是弧微分。证在散度定理divAdσ=A∙nDCds中取A=uΔv得uΔv+∇v∙∇udσ=u∂v∂nDCds(1)在上式中交换u，v顺序，得vΔu+∇u∙∇vdσ=v∂u∂nDCds(2)(1),(2)式相减得uΔv−vΔudσ=u∂v∂nDC−v∂u∂nds结论得证。4.28验证u(x1,x2,…,xn)=fr(其中r=x12+x22+⋯+xn2是n维调和函数),其中fr=C1+C2rn−2(n≠2)fr=C1+C2ln1r(n=2)C1,C2为任意常数。证①n=2时，因rx1=x1r,rx2=x2r，所以ux1=f′rrx1=−x1r2ux1x2=−1r2+2x1r3rx1=−1r2+2x12r4同理ux1x2=−1r2+2x12r4所以ux1x1+ux2x2=0即u=f(r)是二维调和函数②n≠2时ux1=f′rrx1=−c2n−2rn+c2nn−2x1rn+1rx1=−c2n−2rn+c2nn−2x12rn+2(i=1,2,…,n)得ux1x2=0ni=1即u=f(r)是n维调和函数。注：也可直接利用二维拉普拉斯方程的极坐标表示式来证明。9设αi〔ｉ=1,2,3，…〕是J0〔0<x<1〕展开成贝塞尔函数J0解：设fx=x01x2*xJ=An*那么可得A要求得An01x=1=1αi2=12*01αi=2*1α=2*J2故可得：01x由Jn-1x将x=αi又因为αi是J0x故可得：所以01x3可得：A所以：f10证明