2024届全国普通高等学校数学高二年级上册期末检测试题含解析

2024届全国普通高等学校数学高二上期末检测试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知等差数列｛4｝的前"项和为S,,且S4=10,§8=36,则Si2为（）

A.42B.62

C.78D.90

x+y-l>0

2.已知实数x,y满足卜—y—1W0,贝!Jz=x+y的最大值为（）

x+2y-2<0

54

A.-B.-

33

C.2D.l

3.已知三棱锥O—A5G点M,N分别为线段Ab,OC的中点，且Q4="，OB=b，OC=c>用o，b，c表示

MN，则MN等于。

A.]1-a-bB./仅-a—c

1/7

(^.5(4-c-bD.一Ic+a+/?

4.已知角a为第二象限角，sina=|,贝!|cos(c-的值为()

A4+3A/34—3^/3

A.-----------B.----------

1010

C3-4百D-4—3A/3

1010

5.已知命题p：e（10,4<o）,lgx0>l,则命题p的否定为（）

AVxe(10,+oo),lgx<lB.V%e(10,4<»),lgx>l

C.V%^（10,+oo）,lgx>lD.V%g（10,+<»）,lgx<l

6.南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列

与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.如数列L3,6,10,前

后两项之差组成新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.现有二阶等差数列，

其前7项分别为2,3,5,8,12,17,23,则该数列的第31项为（）

A.336B.467

C.483D.601

7.某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A,C之间的曲线）绕

其虚轴所在直线/旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：

AA；=13cm,BBl=12cm,CQ=20cm,A4=15cm,31cl=48cm,其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲、

乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示

学生甲乙丙丁

估算结果（cm3）25200万17409/z-14889万13809乃

其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（）（参考公式：/柱=»尺％,%锥=；乃氏2丸，

%台=；»乂/+水+女））

图1图2

A.甲B.乙

C.丙D.T

3

8.已知各项均为正数且单调递减的等比数列｛。“｝满足。3、3a4、2%成等差数列.其前〃项和为S“，且§5=31,则

()

B.%=2"-3

C.S=32—-D.S„=2H-4-16

n2〃-5n

9.直线x-百y—3=0的倾斜角为()

A.150°B.120°

C.60°D,30°

10.如图，正方形ABC。与矩形ACEb所在的平面互相垂直，AB=y[2,AF=1,M^EF±,且平面皮)E,

则M点的坐标为()

(222J

II.下列命题曾送的是0

A.命题“若必―3%+2=0,则％=1”的逆否命题为“若xwl,贝！17一3%+2/0”

B.命题“若3%+2=0,贝！|尤=1”的否命题为“若必―3%+270,贝！Ixwl”

C.若命题p：工<-1,或工〉1；命题q：%<-2,或x>1,则f是F的必要不充分条件

D.“x>2”是“X2-3X+2>0”的充分不必要条件

22

12.直线3x—2y=0是双曲线工—21=1的一条渐近线，F[,居分别是双曲线左、右焦点，尸是双曲线上一点，且

a9

|尸周=4,则|尸卜=()

A.2B.6

C.8D.10

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.二进制数110%）转化成十进制数为.

14.已知％>0,y>0,且一+—=1,则4%+y的最小值为

%y

陷

5间的距离为2,动点产满足=6,贝!）|即2+忸即的最小值为

15.若平面内两定点A,附I

22/1\

16.已知点尸是椭圆亍+\=1上的一点，点贝（I|PQ|的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

938。―1710

17.⑴分）在数列｛叫中'%=不石'记'==，〃**•

（1）求证：数列｛2｝为等差数列，并求出数列｛包｝的通项公式;

（2）试判断数列｛4』的增减性，并说明理由

18.（12分）已知直线/经过两条直线2x—y—3=0和4x—3y—5=0的交点，且与直线x+y—2=。垂直

（1）求直线/的一般式方程;

（2）若圆。的圆心为点（3,0）,直线/被该圆所截得的弦长为2&，求圆。的标准方程

19.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA±^ABCD,AD//BC,ADVCD,ABLAC,CD=2AD=2

（1）证明：PB±AC,

4

（2）当M的长为何值时，直线Ab与平面PCD所成角的正弦值为§?

20.（12分）已知椭圆C与椭圆三+汇=1有相同的焦点，且离心率为好.

25203

（1）椭圆C的标准方程;

(2)若椭圆C的两个焦点耳，工，P是椭圆上的点，且忸制：忸闾=2:1,求△尸片耳的面积.

21.(12分)已知函数/(x)=F-(a+l)x+lnx,其中a为正数

(1)讨论"％)单调性；

(2)求证：ex-2+^-〉/(x)+(a+l)x

22.(10分)如图所示，在正方体ABCD-AjB|GD|中，E是棱D»的中点.

(I)求直线BE与平面ABB|A1所成的角的正弦值；

(II)在棱CjD1上是否存在一点F,使B[F平面A]BE?证明你的结论.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】直接由等差数列求和公式结合S4=10,§8=36求出q,d,再由求和公式求出与2即可.

S.=4<7,+—~—xJ=10

24=112x11

【详解】由题意知:解得M，则&=12+丁=78.

°o8x7.“

58=8%H—xa=36

故选：C.

2、A

【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求出z的最大值.

【详解】作出可行域如图所示，

由2=工+，可知丁=—%+2,此直线可用由直线y=—%平移得到，求z的最大值，即直线y-x+2的截距最大,

x+2y—2=0(41A415

当直线y=—X+Z过直线八的交点时z取最大值，即％ax=—+—=_

x-y-l=(JJJ333

【解析】利用空间向量基本定理进行计算.

【详解】MN=ON-OM=-OC-\-OA+-OB\=-(c-a-b

2(22J2V

故选:A

4、C

4

【解析】由同角三角函数关系可得cos。=-1，进而直接利用两角和的余弦展开求解即可.

3

【详解】•・・sina=y,1是第二象限角，

4

:.cosa=——,

5

.(n..n473313-473

•.cosa=cosacos——I-sinasin—=——x----F—x—=----------.

6J66525210

故选：C.

5、A

【解析】根据特称命题的否定是全称命题，结合已知条件，即可求得结果.

【详解】因为命题P：t0G(10,+8),lgx0>l,故命题。的否定为：X/xe(10,+8),lgx<l.

故选：A.

6、B

【解析】先由递推关系利用累加法求出通项公式，直接带入即可求得.

【详解】根据题意，数列2,3,5,8,12,17,23...满足％,-4T=%=2,

所以4=(%+一%-2)++(%—4)=("-1)+(八-2)++2+1+2

——^+2

2

该数列的第31项为%=等处+2=467.

故选：B

7、D

【解析】根据几何体可分割为圆柱和曲边圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式对几何体的体积进行估计即可.

【详解】可将几何体看作一个以8B1=12cm为半径，高为4G+ABi=48+15=63cm的圆柱，

再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为20-12=8cm,13-12=1cm,高分别为48cm,15cm,

%柱二TTX122x63=90727r(cn?),

223

UB„=-^X(8X48+1X15U1029(cm),

ISI十比3\)

所以花瓶的容积90727rcm3<V<lOlOUcm3,

故最接近的是丁同学的估算，

故选：D

8、C

3

【解析】先根据的，5a4，2生成等差数列以及明单调递减，求出公比彘再由S5=31即可求出苗,

再根据等比数列通项公式以及前九项和公式即可求出.

3

【详解】解：由的，5a4，2%成等差数列，

得：3%=%+2a§,

设｛4｝的公比为4,贝U2d—3q+l=0,

解得：＜?=g或4=1，

又Q。〃单调递减，

2

解得：%=16,

二数列｛%｝的通项公式为：an=16-

2

故选：C

9、D

【解析】由斜率得倾斜角

【详解】直线的斜率为18,所以倾斜角为30。.

3

故选：D

10、A

【解析】设M点的坐标为由CM,平面见，可得出乩,品,易工法,，利用空间向量数量积为0

求得％、y的值，即可得出点”的坐标.

【详解】设"点的坐标为（无C（0,0,0）,D（A/2,0,0）,B（0,V2,0）,£（0,0,1）,则DE=卜行,0,1）,

DB=卜后,后,0）,CM=（%,j,l）.

CM，平面

CM

工DE,CM±DB,即血而_L法,,

所以，卜官+11。，解得2所以，/点的坐标为［与，坐

-V2x+V2y=0_V|I22J

/=T

故选：A.

11、C

【解析】根据逆否命题的定义可判断A；根据否命题的定义可判断B；求出可、f,根据充分条件和必要条件的概

念可以判断C；解出不等式无2一3%+2>0,根据充分条件和必要条件的概念可判断D.

【详解】命题“若必―3%+2=0,则％=1”的逆否命题为“若XW1,则必―3尤+2H0”，故A正确；

命题“若3*+2=0,贝！Jx=l”的否命题为“若%2一3%+2#0，贝！Jxwl”，故B正确；

若命题p：X<—1或尤>1；命题g：x<-2或尤〉1,则r>：—iWxWl是r：-的充分不必要条件，故C

错误；

d_3x+2>0nx>2或x<l,故“尤>2”是“炉一3工+2>0”的充分不必要条件，故D正确.

故选：C.

12、C

【解析】根据渐近线可求出。，再由双曲线定义可求解.

22

【详解】因为直线3x—2y=0是双曲线「—匕=1的一条渐近线，

a29

a=2,

又131—|相|=2〃=4或|?不一1月不=2〃=4,

.•.|尸苞|=8或|尸用=0（舍去），

故选:c

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、13

【解析】根据二进制数和十进制数之间的转换方法即可求解.

321

【详解】(1101)2=lx2+lx2+0x2+1x2°=8+4+1=13.

故答案为：13.

14、25

41(41)=17+^+—,利用基本不等式求解.

【解析】根据尤>0，y>0,且［+1=1,由4x+y=(4x+y)—+—

Uy)犬y

411

【详解】因为i>。，y>0,且一+—=1,

%y

所以4f=（皿）[工卜7+?+台17+2梓与

=25,

4y4x

当且仅当一=——，即x=y=5时，等号成立,

xy

所以4x+y的最小值为25,

故答案为：25

15、36—24&##—24血+36

【解析】建立直角坐标系，设出产的坐标，求出轨迹方程，然后推出|申|2+户@2的表达式，转化求解最小值即可.

【详解】以经过A,5的直线为X轴，线段A3的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.

则A（—1,0）,5（1,0）,设。（元封，由扃=行，则二0，

\PB\"邛（I）；+F一

所以两边平方并整理得（%-3）2+/=8,

所以尸点的轨迹是以（3,0）为圆心，2a为半径的圆，

所以V=8—（%_3）2,3-2A/2<X<3+2A/2.

则有+|PB|2=2（x2+y2）+2=2x2+18-2（x-3）2=12%>36-24A/2,

贝!112+归砰的最小值为36-24后.

故答案为：36-2472.

16、正

4

【解析】设P（%y）,表示出|PQ|=J[x—+（y—Op,消去y,利用二次函数求最值即可.

【详解】设P（%,y）,

所以当x=l时，「0|=于最小.

故答案为：空.

4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

〃+1

17、(1)证明见解析，b=—

n2

(2)数列｛4｝单调递减.

【解析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列｛4｝为等差数列，然后套用等差数列的通项公式即可;

(2)先根据(1)的结论求出数列｛%,｝的通项，然后用作差法即可判断其单调性

【小问1详解】

3眄-1,10

因为an+\，bn-----,neN*,

44+422a“+1

所以r76斯—2+4cin+4280即+40,

2an+1+1=4ali+42=4ali+42

4。“+422c1+21

所以2+1=10・n

80。〃+40+2

2a〃+21—202(1n+11

4%+22(2%+1)2

710101

=--------=------=I,

12q+l9+1

所以数列｛々J是以1为首项，;为公差的等差数列,

1n+1

%=1+式九-1)=方一

【小问2详解】

710n+1

由⑴可知，"=川=丁

所以20,

2aH+1=E

所以〃19-n,

为一2九+2

22

19-n-l19-n34n+36-2n-(34H-2n+76)-40

a-ci—--------------------------------------------------=----------------<Q

"+1”2〃+42n+2(2〃+4)(27Z+2)(2〃+4)(2〃+2)

故％<4,

所以数列｛4｝单调递减.

18、(1)x-y-l=0

(2)(x-3)2+y2=4

【解析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线/的方程;

（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程

【小问1详解】

2x-y-3=0=2

解:由题意知＜,解得，

4x-3y—5=0y=i

直线2x-y-3=0和4x-3y-5=。的交点为(2,1)；

设直线/的斜率为左，/与直线x+y—2=0垂直，，左=1；

二直线/的方程为V—1=（%-2）,化为一般形式为x—y—1=。；

【小问2详解】

解：设圆C的半径为广，则圆心为C（3,0）到直线/:%-丁-1=0的距离为

d="nW=应，由垂径定理得r2=d2+（叫了=（应了+（逆了=4，

V1+122

解得r=2,

二圆C的标准方程为（X—3）2+V=4

19、（1）证明见解析

（2）PB=2指

【解析】（1）由线面垂直的判断定理证明AC，平面融8,再由线面垂直的性质定理即可证明必，AC；

(2)以A为原点，AB,AC,AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A—孙z,设P(O,Oj),求出平面PC。

4

的法向量加的坐标，根据直线A3与平面PC。所成角的正弦值为不，利用向量法可求得»=4,从而可求解尸3的长.

【小问1详解】

证明：因为底面A5CZ),又ACu平面A5C。，

所以又ABLAC,ABr>PA=A,AB,上4u平面

所以AC_L平面丛5,又PBu平面川5,

所以MLAC；

小问2详解】

解：因为底面ABC。，ABLAC,

所以以A为原点，AB,AC,AP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系A-孙z,

因为AD〃3C,ADYCD,ABLAC,

所以RtABCsRtDCA,则AC=V?,AB=2下,

（266°）

所以A（0,0,0）,B（2行,0,0）,C（0,75,0）,D

设P（0,01）,则DC=手哈4团（2^,0,0）,

PC=(0,底T),设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),

m-DC=—x+—,一°,令x=2,则y=—1,z=—好,

则55

m-PC=亚y-tz=0

所以根=2,-1,-^

m-AB_4君_4

2后5解得产=4,则尸8

所以当P3=2«时，直线AB与平面尸皿所成角正弦值为g

22

20、（1）L+匕=1

94

（2）4

【解析】（1）由题意求出七瓦c即可求解；

（2）由椭圆的定义和三角形面积公式求解即可

【小问1详解】

22

因为椭圆C与椭圆匕+乙=1有相同的焦点，

2520

所以椭圆C的焦点耳卜百,0）,巴（布,0）,c=6，

a3

所以a=3,b2=a2—c2=4f

22

所以椭圆c的标准方程为二+乙=1.

94

【小问2详解】

由|尸团:|尸闾=2:1,归周+|尸闾=6,

得|尸4|=4,|尸鸟|=2,

而闺国=2百，

77

所以N耳PK=Q,

所以S型迟=；|延卜|。1|=4

21、（1）答案见解析

（2）证明见解析

【解析】⑴求解函数八大）的导函数，并且求r（x）=o的两个根，然后分类讨论!<1,，〉1和J_=i三种情况下

aaa

（2\

对应的单调性；⑵令［/—2+三-J—"（x）+（a+l）x］=/—Inx—2=g（x）,通过二次求导法，判断函数g（x）

的单调性与最小值，设g'（x）的零点为与，求出/取值范围，最后将g（%）转化为%的对勾函数并求解最小值，即可

证明出不等式.

【小问1详解】

函数八％）的定义域为（0,十。）

V/（上以_.+1）+、—2-（7）川—-1*-1）

令r（x）=0得（依―1）（x—1）=0

,；a>0,-］（x-1）=0,得工=，或x=l

①当工<1,即°>1时，时，或龙〉1；/'（x）<0时，—<x<l.

aaa

.•./（X）在上单调递增，在上单调递减，在（1,+8）上单调递增

②当一>1,即0<avl时，时，1<1或X>一；/'（犬）<0时，1<x<—.

aaa

.•./（X）在（0,1）上单调递增，在上单调递减，在，■,+81上单调递增

③当工=1,即。=1时，?（x）=（x—1）20

a—x一

.•."％）在（0,+。）上单调递增

综上所述：当”>1时，在1o,£|和（L+8）上单调递增，在:』］上单调递减；

当0<。<1时，/（%）在（0」）和|；,+，|上单调递增，在［J上单调递减；

当。=1时，/（%）在（0,+。）上单调递增

【小问2详解】

(2A

令e%-2+;-J—"(x)+(a+l)x]=e