2022-2023学年福建省福州市高一年级下册期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省福州市高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1.已知i为虚数单位，复数Z满足（l+i）z=i,则彳的虚部（）

A.--B.yC.—D.）

2222

【答案】A

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共辄复数的概念求得彳，则答

案可求.

【详解】由（,l+i”、=i，得2=币i=而i（l-启i）=｝1与1,

_11.

..Z=---------1

229

则彳的虚部为-J.

故选：A.

2.高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76,90,84,82,81,87,86,82,

85,83.这组数据的第75百分位数是（）

A.85B.86C.85.5D.86.5

【答案】B

【分析】把数据从小到大的顺序排列，然后用百分位数的定义求解.

【详解】从小到大的顺序排列数据为：76,81,82,82,83,84,85,86,87,90,

因为10x75%=7.5,

所以这组数据的75百分位数是第八个数据86.

故选：B

【点睛】本题主要考查总体百分位数的估计，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

3.端午节放假，甲回老家过节的概率为:，乙,丙回老家过节的概率分别为假定三人的行动相

互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）

AB.3C.；D.-L

605260

【答案】B

【分析】这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这

段时间内至少1人回老家过节的概率.

【详解】端午节放假，甲回老家过节的概率为!，乙,丙回老家过节的概率分别为

345

假定三人的行动相互之间没有影响，

这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，

.•・这段时间内至少1人回老家过节的概率为：一一£|=|.

故选：B.

4.如图正方体/88-44CQ的棱长为以下结论中，塔送的是（）

A.异面直线40与/月所成的角为60。B.直线4。与8G垂直

C.直线4。与8"平行D.直线4力与8c平行

【答案】C

【分析】对A,根据直线50再在三角形中判断即可;

对B,根据直线结合正方体的性质判定即可;

对C,根据线面垂直的性质判断直线4。与8。垂直即可；

对D,根据平行四边形4月8判断即可；

【详解】对A,正方体中44〃DC,且Z4=0C,故平行四边形/£8,故/QII4C,易得正

“CB、,故异面直线吊。与“用所成的角为直线8c与/月所成的角为乙组C=60。，故A正确；

对B,因为正方形8CG4,故直线4C与8G垂直，又40IBC，故4。与8G垂直，故B正确；

对c,因为ZQLBG，6。1平面/4。。，故又GR,8Gu平面8GA，故4。，平

面8G4,因为5Ru平面8GR,故直线4。与8。垂直，故C错误：

对D,由A可知平行四边形44。，故40I4C,D正确:

故选：c

5.已知某7个数的平均数为3,方差为3,现加入一个新数据3,此时这8个数的平均数为受，标准

差为s,则()

A.x=3,s>yfiB.x=3>s<5/3

C.x>3>s<百D.x>3>s>百

【答案】B

【分析】利用平均数和方差公式可得结果.

【详解】••,某7个数的平均数为3,方差为3,现加入一个新数据3,

此时这8个数的平均数为3标准差为方差为一，

7x3+327x3+(3-3)2

-X=---=3,$2=----V——2_<3，5<V3•

88

故选：B.

6.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是()

A.至少有一个黑球与都是黑球

B.至少有一个黑球与至少有一个红球

C.恰有一个黑球与恰有两个黑球

D.至少有一个黑球与都是红球

【答案】C

【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.

【详解】对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球,

这两个事件不是互斥事件，A不正确；

对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑

球，，B不正确；

对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球

时还有可能是两个都是红球，，两个事件是互斥事件但不是对立事件，；.C正确；

对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，

这两个事件是对立事件，.〔D不正确；

故选：C.

7.已知时="=1,p=m+xn(xeR),函数〃x)=|p|,当苫=乎时，/(x)有最小值，则而在［上

的投影向量为()

A6-百一G-n6-

A.——nBR•——nCr.———nD.———n

4242

【答案】C

【分析】根据题意写出/(x)=E的表达式，结合二次函数知识求得而G=-乎，根据投影向量的定

义即可求得答案.

【详解】由题意得，问第=1,

/(X)=|^|=y](m+xn)2=ylx2+2xm-n+1=y](x+mn)2+]-(m-n)2,

当x=-m•"时，=有最小值，

即-m-n-,：.m-n=-,

44

则〃?在〃上的投影向量为竺,

l«l4

故选：C

8.设4尻C,。是同一个半径为2的球的球面上四点，是以为8c底边的等腰三角形，且面积

为迈，ZBAC=120°，则三棱锥。-N8C体积的最大值为()

4

A.唱B,373C.毡D.更

244

【答案】D

【分析】首先计算“8C外接圆的半径，再利用图形得到点。的位置，即可求三棱锥D-Z8C体积

的最大值.

【详解】设/5=/C=x,则SMc=Lx2-sinl20°=迈，得x=6，

4ABe24

“8C中，5C2=(VI/+(8『-2x(6jxcosl20°=9,得BC=3,

再根据正弦定理可知〕空定=2K，得及=百，

sin120

如图，点。是“8C外接圆的圆心，点O是四面体力BCD外接球的球心，当点。和O,。'在一条直线

上时，此时三棱锥O-Z8C的体积最大，

OO'=^22-(V3)2=1>00=2+1=3,

D

此时/TBC=；XS_8CXD0=；X乎X3=¥

故选：D

二、多选题

9.己知，"、”是不同的直线，a力是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（)

A.若机ua,nu。,mHn,则a//〃

B.若加_La,m10,〃ua,则〃//月

C.若。//夕,mLa,mHn,贝ij〃_L夕

D.若a///?,mLan1/p,则mJ_〃

【答案】BCD

【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断.

【详解】若加ua,n^p,mlln,由a与4相交或平行，A错；

若机_La,则a//，又〃ua,所以〃//£,B正确；

若a〃夕，mLa,则夕，因为机〃〃，所以〃，夕，C正确；

若a//夕，_La,则"?"L夕，n!IP，贝lj/?内存在直线c与及平行，由加J_£得〃?_Lc,则c//〃得加_L〃，

D正确.

故选：BCD.

10.某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7,8,9,10,6,8,（单位：环）,

下列说法正确的有（）

A.这组数据的平均数是8

B.这组数据的极差是4

C.这组数据的中位数是8.5

D.这组数据的方差是2

【答案】AB

【分析】根据平均数，极差，中位数，方差的定义和计算公式分别求得，即可判断各个选项的正误.

【详解】解：对于A,这组数据的平均数是1x（7+8+9+10+6+8）=8,故A正确；

6

对于B,这组数据的极差是10-6=4,故B正确；

对于C,这组数据从小到大为6,7,8,8,9,10,

...这组数据的中位数是8,故C错误；

对于D,这组数据的方差是s2=［［（7-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）［=g,故D

错误.

故选：AB.

11.在中，角48,C的对边分别是则能确定8为钝角的是（）

A.sin2^+sin2C<sin25B.ABBC<0

C.-<cosJD.0<tan4tanC<1

b

【答案】ACD

【分析】选项A,利用正弦定理化角为边，并结合余弦定理，可得cos5<0；

选项B,由方.而=-|布就|cos8<0,可得cos8>0；

选项C,利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，化简可得cos8<0；

选项D,根据同角三角函数的商数关系，两角和的余弦公式，化简可得cos8<0.

【详解】选项A,由正弦定理及sinZN+sinPvsin*,+c2<b2>

由余弦定理得，COS8=L上上生<0,由5e（0,兀），所以8为钝角，即选项A正确；

2ac

选项B,AB-BC^\AB\-\BC\COS（TI-B\AB\BC|cos5<0,则cos8>0,显然B不可能为钝角，

即选项B错误；

选项C,由正弦定理及:<cosA,得吗<cos/,

bsin8

由5《（0,兀）,sin5>0,所以sinC<sin8cos/,

又sinC=sin（4+B）=sin/lcos3+cos/isinB,所以sio4cos8<0,

由力£（0,兀），sinJ>0,所以cos8<0,由8«0,兀），所以8为钝角，即选项C正确；

选项D,由0<taMtanC<1,知0<siMsinCV1,

cosAcosC

由Ze(O㈤,Ce(O,n),则siMsinC>0,有cosXcosC>0

所以cos/cosC-siMsinC>0,即cos(/+C)=-cosB>0,

所以cos8<0,由8€(0,无)，所以B为钝角，即选项D正确.

故选：ACD.

12.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点"、N,若线段MN的最小值为6-1,则()

A.正方体的外接球的表面积为12"B.正方体的内切球的体积为三

C.正方体的棱长为2D.线段MN的最大值为2道

【答案】ABC

【解析】设正方体的棱长为。，由此确定内切球和外接球半径，由的最小值为两球半径之差可

构造方程求得。，进而求得外接球表面积和内切球体积；由的最大值为两球半径之和可得到最

大值.

【详解】设正方体的棱长为。，

则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即3a；内切球半径为棱长的一半，即?.

22

分别为外接球和内切球上的动点，

：.双曲=皂"巴=昱'=舁3解得：a=2,即正方体棱长为2,C正确，

m,n222

・••正方体外接球表面积为4欠*(6『=12万，A正确；内切球体积为冷，8正确；

线段"N的最大值为巫4+q=石+1，。错误.

22

故选：ABC.

【点睛】本题考查正方体外接球和内切球相关问题的求解，关键是通过球的性质确定两球上的点的

距离最小值为R-r,最大值为R+r.

三、填空题

13.为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从4B,

C三个部门中抽取16名员工进行科研能力访谈•己知这三个部门共有64人，其中8部门24人，C

部门32人，则从N部门中抽取的访谈人数.

【答案】2

【分析】利用分层抽样的定义以及分层抽样按比例抽取的特点进行求解即可.

【详解】解：由题意可知，N部门一共有64-24-32=8人，

故采用分层抽样的方法从4B,C三个部门中抽取16名员工，

则从/部门中抽取的访谈人数为16*白=2人.

64

故答案为：2.

14.在中，AB=AC=-JlBC=2-41,用斜二测画法画出的直观图，则该直观图的面积

为.

【答案】叵

4

【分析】根据题意计算出原图的面积，由直观图与原图的面积之比为也，计算可得答案.

4

【详解】如图所示，作出底边上的高人

则〃="2何_]=5/7,

所以晨说=gx2xV7=V7,

所以该直观图的面积2.叱=乎*近=乎.

故答案为：巫.

4

15.在正四面体力BCD（各棱都相等）中，E是8c的中点，则异面直线4E与C。所成的角的余弦

值为.

【答案】3

6

【分析】根据三角形的中位线平行于底边，作出异面直线所成的角，再解三角形求得即可.

【详解】取8。的中点尸，连接力£印，

•••E、F分别是BC、BD的中点，二EF//CD,

:ZEF为异面直线AE与CD所成的角，

D

设正四面体ABCD的棱长为2,则AE=4F=瓜EF=1,

4卢+EF?-AE?3+1-3=立

在AAEF中,cos^AEF=

2xAFxEF2x73-6

故答案为：JL

6

7

16.已知圆锥的顶点为S,母线阳，S8所成角的余弦值为:，S4与圆锥底面所成角为45。，若ASAB

O

的面积为5A，则该圆锥的侧面积为

【答案】40及兀

【分析】先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧

面积公式求出结果.

【详解】因为母线S4,S3所成角的余弦值为:，所以母线S4,S3所成角的正弦值为巫,

因为

88

△SAB的面积为5VB,设母线长为/,所以』x广,更1=5A；./=班，

28

因为S4与圆锥底面所成角为45。，所以底面半径为/COS¥=YZ/,

42

因此圆锥的侧面积为兀,“=乂^兀产=40A/2TT.

2

【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面

积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解.

四、解答题

17.已知|。|=3』3=(1,2),且>=加

(1)求「的坐标;

(2)当4>0时，若^=(3,-4),求值与己的夹角的正弦值.

【答案】(1)«=(3,6)^5=(-3,-6)；(2)手.

【分析】(1)由1=义5可得@=(九24),再由|口=3石，可求出2的值，从而可求出值的坐标;

(2)直接利用向量的夹角公式求解

【详解】解(1)5=26=2(1,2)=(2,22),

|a|=V22+4/l2=|2|V5=3/5,2=±3>

a=(3,6)或/=(-3,-6),

(2)当2>0方=(3,6),

9+(-24)-15_石

cos①己)

V9+36^+16

因为伍日e[0㈤，

所以sin(瓦？)==~~'

即G与^的夹角的正弦值为乎

18.已知a,b,c分别为A/8C内角48,C的对边，且包巨=回

cosAa

⑴求角4

(2)若。=",6=2,求c.

【答案】⑴力=今

(2)。=3

【分析】(1)直接通过正弦定理得到tan4=6,即可求出角4

(2)直接余弦定理求解即可.

【详解】(1)由正弦定理及包刍=画，得迎g.=Gsin\

cosAacosAsinA

sinB丰0,sin力=cosA,即tan4=G,

\-0<A<7r,:.A=—.

3

(2)・：a=布,b=2,A=?,

・'.由余弦定理/-2frccos力，

可得：7=4+/_2x2xcx；,可得：c2-2c-3=0,

.•・解得c=3或c=-1(负值舍去).

’.c=3.

19.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段

［90,100）,［100,110）,…，［14。150）后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列

（1）求分数在［120,130）内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）估计本次考试的第50百分位数；

（3）用分层抽样的方法在分数段为［110,130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总

体，从中任取2个，求至多有1人在分数段120,130）内的概率.

【答案】（1）0.3,直方图见解析

【分析】（1）由频率分布直方图，能求出分数在020,130）内的频率，并能补全这个频率分布直方图;

（2）由频率分布直方图能估计本次考试的第50百分位数；

（3）用分层抽样的方法在分数段为［110,130）的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为口10,

120）中抽取的学生数为2人，分数段为。20,130）中抽取的学生数为4人，从中任取2个，利用列举

法列举出所有基本事件，再根据古典概型即可得解.

【详解】（1）解：由频率分布直方图，得：

分数在口20,130）内的频率为：1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）x10=0.2,

器=0.03,补全后的直方图如右图所示:

频率/组距

0.035-------------------------------------------------

0.030-------------------------------------------------

0.025--------------------------------------------------

0.020--------------------------------------------------

0.015------------——-------------------------------

0.010---I--------------------------------------------

0.005-------------------------------------------------

/Vil111111r/、，

o90100110120130140150分数

(2)解:•・•[90,120)的频率为(0.010+0.015+0.015)x10=0.4,

［120,130）的频率为：0.030x10=0.3,

・•・第50百分位数为：120+珠产xl0=.；

（3）解：用分层抽样的方法在分数段为［110,130）的学生中抽取一个容量为6的样本，

则分数段为010，120）中抽取的学生数为：—^―X6=2A,设为48,

分数段为口20,130）中抽取的学生数为：八,：°3：工*6=4人,设为

从中任取2个，有AB,Aa,Ah,Ac,Ad,Ba,Bh,Be,Bd,ab,ac,ad,be,bd,cd共15种，

其中符合题意得有血Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,及/共9种，

Q1

所以至多有1人在分数段［120,130）内的概率为1=:

20.如图，在三棱锥S—N8C中，SC_L平面/8C,点尸、M分别是SC和SB的中点，设PM=/C=l,

ZACB=90°,直线4W与直线SC所成的角为60。.

⑴求证：平面朋平面SNC.

（2）求二面角M-AC-B的平面角的正切值;

【答案】（1）证明见解析

⑵乎

3

【分析】(1)由已知可证平面S/C,又PM//BC、则PA/_L面S/C,从而可证平面M4P-L平面

SAC;

(2)由4c，平面SBC,可得为二面角底TC—5的平面角，过点A/作A/MLCB于N点，

连接NN,则ZAMN=60°,由勾股定理可得AN=也，在Rt“MN中,可得MN=显,从而在RQCNM

3

中，即可求解二面角M—4C—8的平面角的正切值.

【详解】(1)证明：YSCl•平面/8C,.'.SCLBC,

又•.•//C8=90°,：.AC±BC,XACC}SC=C,

.，.8C_L平面SAC,

又,：P,M是SC、SB的中点，

：.PM//BC,.•.尸〃_1面£4。，又PA/u平面M4P,

平面K4P_L平面SAC；

(2)解：：SC_L平面力8C,.*.SC_LZC,又4CJ_8C,BC[\SC=C,

，/lC_L平面SBC,

：.AC±CM,ACLCB,从而NMC8为二面角的平面角，

,/直线AM与直线PC所成的角为60°,

过点M作MNJ_C8于N点，连接4N,

则NNA/260。，在△C/N中，由勾股定理可得ZN=JL

在RSAMN中，MN=—————=V2--=—,

tanNAMN33

网

在RtZ\CNM中，八。“MNT网.

tan/MCN=---=上一=——

CN13

21.甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工.其计酬方式有

两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天250元；方式二：雨天每天120元，晴天出工每天200元;

三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查,

甲以去年此月的下雨天数（10天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近9年此月的下雨天数（”）

的频数分布表（见下表）后，乙以频率最大的〃值为依据作出选择，丙以〃的平均值为依据作出选择.

n8910111213

频数312021

（I）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由；（II）根据统计范围的大小，你觉得三人中

谁的依据更有指导意义？

（III）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率.

4

【答案】（I）答案见解析；（H）答案见解析；（III）-.

【详解】分析：（I）由题意计算可得甲选择计酬方式二；乙选择计酬方式一；丙选择计酬方式二；

（II）依据三人的统计和利用的数据可知丙的统计范围最大，三人中丙的依据更有指导意义；

2

（ni）任选一年，此月下雨不超过H天的频率为由题意结合概率公式计算可得此月下雨不超过

4

11天的概率为

详解：（I）按计酬方式一、二的收入分别记为/'（〃）、g（"）,

/（10）=250x（30-10）=5000,

g（10）=120xl0+200x20=5200,

所以甲选择计酬方式二；

由频数分布表知频率最大的〃=8,

7（8）=250x（30-8）=5500,

g（8）=120x8+200x22=5360,

所以乙选择计酬方式一；

n的平均值为?（8x3+9xl+10x2+12x2+13x1）=10,

所以丙选择计酬方式二；

（II）甲统计了1个月的情况，乙和丙统计了9个月的情况，

但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据，

所以丙的统计范围最大，

三人中丙的依据更有指导意义；

(III)任选一年，此月下雨不超过11天的频率为以此