高考二轮复习理科数学试题（老高考旧教材）考点突破练11概率与统计的综合问题

考点突破练11概率与统计的综合问题1.(2023陕西部分名校仿真模拟)赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成,其作用是促进细胞的生长,使得植株变高,每粒种子的赤霉素含量x(单位:ng/g)直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10,20,30,40,50的种子各20粒,并跟踪每粒种子后天生长的情况,收集种子后天生长的优质数量y(单位:粒),得到的数据如下表:赤霉素含量x1020304050后天生长的优质数量y237810(1)求y关于x的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量.附:线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^2.(2020全国Ⅰ,理19)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.3.(2023山东潍坊一模)某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中,为验证儿子成年后身高y(单位:cm)与父亲身高x(单位:cm)之间的关系及存在的遗传规律,随机抽取了5对父子的身高数据,如下表:父亲身高x160170175185190儿子身高y170174175180186(1)根据表中数据,求出y关于x的线性回归方程,并利用线性回归方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件,由此可得到怎样的遗传规律?(2)记e^i=yiy^i=yib^xia^(i=1,2,…,n),其中yi为观测值,y^i为预测值,e^i为对应(xi,yi)的残差.求(1)中儿子身高的残差的和并参考数据及公式:∑i=15xi=880,∑i=15xi2=155450,∑i=15yi=4.(2023陕西铜川二模)为进一步巩固提升全国文明城市,加速推行垃圾分类制度,某市推出了两套方案,并分别在A,B两个大型居民小区内试行.其中A小区实行方案一,B小区实行方案二.方案一:进行广泛的宣传活动,向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义,讲解分类垃圾桶的使用方式,垃圾投放时间等,定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动;方案二:在小区内设立智能化分类垃圾桶,智能垃圾桶操作简单,居民可以通过进行自动登录、称重、积分等一系列操作.并建立激励机制,比如,垃圾分类换积分、兑换礼品等,以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后,在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查,记录他们对试行方案的满意度得分(满分100分),将数据分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如图所示的频率分布直方图:A小区方案一B小区方案二(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分,判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中点值作代表).(2)以样本频率估计概率,若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案,低于70分认为居民不赞成推行此方案,规定小区居民赞成率不低于70%才可在该小区继续推行该方案,判断两小区哪个小区可继续推行方案?(3)根据(2)中结果,从可继续推行方案的小区内随机抽取5人,用X表示赞成该小区推行方案的人数,求X的分布列及数学期望.5.(2023山东济南一模)甲、乙两人进行抛掷骰子游戏,两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰子,规定:先掷出点数6的获胜,游戏结束.(1)记两人抛掷骰子的总次数为X,若每人最多抛掷两次骰子,求比赛结束时,X的分布列和期望;(2)已知甲先掷,求甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率.6.某企业招收了2000名新员工,为便于全面了解新员工的素质情况,除查看员工履历外,还进行了一系列的综合素质测试(满分100分),人事部随机抽取了100名员工的测试成绩作为样本分析,并把样本数据进行了分组,绘制了频率分布直方图,并且认为其测试成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2).(1)求样本平均数x和样本方差s2.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)人事部门规定测试成绩超过82.7分的新员工可参加干部竞聘初级面试.①用样本平均数x作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,请利用估计值判断这2000名新员工中,能够参加干部竞聘初级面试的人数;(四舍五入保留整数)②公司为培养后备人才,对初级面试过关的人员还要分别进行A,B两项答辩,规定A,B两项答辩只通过一项的员工可获得1000元的干部培训奖励费,若两项答辩均通过,则可获得1500元的干部培训奖励费,否则不受此奖励,初试过关的李华通过A项答辩的概率为0.6,通过B项答辩的概率为0.5,其获得干部培训奖励费为Y,求Y的分布列与数学期望.(附:若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μσ<Z≤μ+σ)=0.6826,P(μ2σ<Z≤μ+2σ)=0.9544,161≈12.70)考点突破练11概率与统计的综合问题1.解(1)x=10+20+30+40+505=30,y=2+3+7+8+105=6,∑i=15(xix)(yiy)=210,∑i=15(xix)2=1000,则b^=2101000=0.21,a^=(2)将x=60代入y^=0.21x0.3,得到y^=12.3,则估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量为1000×122.解(1)甲连胜四场的概率为1(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为116;乙连胜四场的概率为116;所以需要进行第五场比赛的概率为11(3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18;比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为1163.解(1)由题意得x=160+170+175+185+1905=176,y=b^=∑i=15xiyi-5xy∑所以线性回归方程为y^=0.5x+89,令0.5x+89x>0得x<178,即x<178时,儿子比父亲高;令0.5x89x<0得x>178,即x>178时,儿子比父亲矮,可得当父亲身高较高时,儿子平均身高要矮于父亲,即儿子身高有一个回归,回归到全种群平均高度的趋势(2)由y^=0.5x+89可得y^1=0.5×160+89=169,y^2=174,y^3=176.5,y^4=181.5,y^5=184,所以∑i=15y^i=885,又因为∑i=1结论:对任意具有线性相关关系的变量∑i=1ne^i=0,证明:∑i=1ne^i=∑i=1n(yiy^i)=∑i=1n(yib^x4.解(1)设A小区方案一的满意度平均分为x,x=(45×0.006+55×0.014+65×0.018+75×0.031+85×0.021+95×0.010)×10=72.7,设B小区方案二的满意度平均分为y,y=(45×0.005+55×0.010+65×0.010+75×0.020+85×0.032+95×0.023)×10∵72.7<78.3,∴方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.(2)由题意可知,A小区即方案一中,满意度不低于70分的频率为(0.031+0.021+0.010)×10=0.62,以频率估计概率,赞成率为62%,B小区即方案二中,满意度不低于70分的频率为(0.020+0.032+0.023)×10=0.75,以频率估计概率,赞成率为75%,∴B小区可继续推行方案二.(3)现从B小区内随机抽取5人,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,则X~B(5,34),P(X=0)=C50145=11024,P(X=P(X=3)=C53343×142=2701024=∴X的分布列为X012345P11545135405243数学期望E(X)=5×5.解(1)X的所有可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)=16,P(X=2)=56×16=536,P(X=3)=所以X的分布列为X1234P1525125所以X的数学期望为E(X)=1×16+2×536+3(2)设事件“甲掷第n次且不获胜”的概率为an,由题可知,a1=56,且an=an1×56×56=2536an1(n≥2),所以数列{an}是以56为首项,2536为公比的等比数列,则an=56·(2536)n1,所以甲恰好抛掷第n次且赢得比赛的概率Pn=an1×56×16.解(1)x=0.05×45+0.18×55+0.28×65+0.26×75+0.17×85+0.06×95=70,s2=(4570)2×0.05+(5570)2×0.18+(6570)2×0.28+(7570)2×0.26+(8570)2×0.17+(9570)2×0.06=161.(2)①由(1)可知,μ=70,σ2=161,故测试成绩X~N(70,161),因为P(μσ<Z≤μ+σ)=0