6.3.1平面向量基本定理5种常考题型归类（原卷版）

6.3.1平面向量基本定理5种常考题型归类题型1基底的概念及辨析基底概念的理解基底的判断几何图形中基底的判断与向量平行的结合题型2用基底表示向量题型3利用平面向量基本定理求参数题型4运用平面向量基本定理解决证明问题题型5平面向量基本定理的综合应用与面积的结合与数量积的结合与基本不等式的结合1、两个向量是否能构成基底考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.2、平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量.3、应用平面向量基本定理一般思路：（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．题型1基底的概念及辨析（1）基底概念的理解1．（2022·高一课时练习）平面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示．()2．（2022·高一课时练习）平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．()3．（2021·高一课时练习）下列说法错误的是（

）A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C．平面上向量的基底不唯一D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一4．（2023下·高一课时练习）下面三种说法中正确的是（

）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；③零向量不可作为基中的向量.A．①② B．②③ C．①③ D．①②③5．【多选】（2020上·辽宁大连·高一统考期末）下列结论正确的是（

）A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底B．若，是单位向量)，则C．向量与共线存在不全为零的实数使D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则（2）基底的判断6．（2021下·高一课时练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，7．（2022下·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）已知向量是平面内的一组基底，则下列四组向量中也能作为平面向量的一组基底的是（

）A． B． C． D．8．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和9．（2023·全国·高一专题练习）设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是．（写出所有满足条件的序号）10．（2023·全国·高三专题练习）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和11．【多选】（2023下·安徽阜阳·高一田家炳实验中学校考期中）设是平面内两个不共线的向量，则以下可作为该平面内一组基底的是（

）A．B．C．D．12．（2023下·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考期中）已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（

）A． B．C． D．13．【多选】（2021下·广东深圳·高一红岭中学校考期中）向量都是非零向量，满足下面哪个条件时，可以充当该平面的基底（

）A． B．C． D．（3）几何图形中基底的判断14．【多选】（2022下·广西北海·高一统考期末）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与15．（2022下·江西·高一校联考期中）如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（

）A．，是该平面所有向量的一组基底，B．，是该平面所有向量的一组基底，C．，不是该平面所有向量的一组基底，D．，不是该平面所有向量的一组基底，16．（2022上·吉林·高三吉化第一高级中学校校考阶段练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（

） B．C． D．和能构成一组基底17．【多选】（2022·广东惠州·统考一模）如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，且，则（

）A．与能构成一组基底 B．C． D．（4）与向量平行的结合18．（2023下·江西赣州·高一校考期中）已知向量与不平行，记，，若，则（

）A．2 B． C． D．19．【多选】（2022下·广东湛江·高一校考阶段练习）已知向量，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的可能取值为（

）A． B． C．4 D．320．（2021下·高一课时练习）已知为平面内所有向量的一组基底，，，，则与共线的条件为（

）A． B．C． D．或21．（2021·高一课时练习）设，为平面内所有向量的一组基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于（）A．2 B．2 C．10 D．1022．（2023下·山东潍坊·高一校联考期中）设，是平面内不平行的非零向量，，.(1)证明：，组成平面上向量的一组基底；(2)请探究是否存在实数k，使得和平行？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.23．（2023下·福建福州·高一校联考期中）已知与不共线，是一组基底，则实数的取值范围是.24．（2019·高一课时练习）已知不共线，，要使能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为.题型2用基底表示向量25．（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在中，为边上的中线，，则（

）A． B．C． D．26．（2021·高一课时练习）如图，平行四边形中，，，是的中点，以、为基底表示向量＝.27．（2020·全国·高一专题练习）在中，点D在BC边上，且.设，，则可用基底，表示为（

）A． B．C． D．28．（2024·全国·模拟预测）已知在平行四边形中，，，，，则（

）A． B．C． D．29．（2023·河北·统考模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．30．（2023·全国·模拟预测）在中，点D在边AB上且满足，E为BC的中点，直线DE交AC的延长线于点F，则（

）A． B． C． D．31．（2023上·河南·高三校联考期中）已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（

）A． B．C． D．32．【多选】（2023下·河南驻马店·高一统考阶段练习）如图，E，H分别在线段PA，PD上，C是线段AD的中点，F是线段EH的中点，，PC与EH交于点G，则（

）A． B． C． D．33．【多选】（2023下·湖南·高二开学考试）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（

）A．B．C．D．若，则34．【多选】（2023下·山西·高一统考阶段练习）如图，在正方形中，Q为上一点，交于E，且E，F为的两个三等分点，则（

）A． B．C． D．35．【多选】（2022·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中点，连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．题型3利用平面向量基本定理求参数36．（2021下·高一课时练习）设向量和是某一平面内所有向量的一组基底，若，则实数y的值为（）A．3 B．4C．－ D．－37．（2023下·辽宁·高一校联考阶段练习）已知向量、不共线，且，则的值等于（

）A．3 B．－3 C．0 D．238．（2024·广东·高三学业考试）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若，则的值为.39．（2024上·陕西西安·高三统考期末）在中，在上，且，在上，且.若，则.40．（2024上·北京昌平·高一统考期末）在中，点D，E满足，.若，则.41．【多选】（2023·广东梅州·统考三模）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（

）A． B．C． D．42．（2023上·四川内江·高三四川省内江市第二中学校考阶段练习）在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，则的最小值为.题型4运用平面向量基本定理解决证明问题43．（2023上·陕西铜川·高三校考期末）如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于．(1)用和表示；(2)求证：．44．（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．(1)分别用向量，表示向量，；(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．45．（2023下·甘肃武威·高一校考阶段练习）如图，在中，已知，，，．(1)若，证明：A，F，E三点共线；(2)若AE，BD交于点F，求的值．46．（2023下·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期末）如图，在中，．(1)用，表示，；(2)若点满足，证明：，，三点共线．47．（2023下·河北保定·高一校联考期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．(1)求的最小值．(2)若点满足，证明：．题型5平面向量基本定理的综合应用（1）与面积的结合48．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为.49．【多选】（2023上·福建福州·高三校联考期中）在中，，为中点，交于点，则（

）A．B．C．四边形的面积是面积的D．和的面积相等（2）与数量积的结合50．（2023上·贵州六盘水·高二统考期中）已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则（

）A． B． C． D．051．（2024上·黑龙江鸡西·高三校考期末）如下图，在平行四边形中，，点在上，且，则=．52．（2023·全国·模拟预测）在平行四边形中，，点分别为的中点，与交于点，则．53．（2023上·天津津南·高三天津市咸水沽第一中学校考阶段练习）如图．在中，，分别为的中点，P为AD与BF的交点，且．若，则，若，则．54．（2024上·天津河北·高三统考期末）如图，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，则等于（

）A． B． C． D．55．（2023上·广东佛山·高三统考阶段练习）在中，点在边上，且．点满足．若，，则（

）A． B． C． D．356．（2023下·河南焦作·高一校考阶段练习）如图，在中，已知，，，且，边上的两条中线，相交于点.(1)求；(2)求的余弦值.（3）与基本不等式的结合57．（2023上·山东济宁·高三统考期中）在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为（

）．A． B． C．2 D．858．（2023上·湖北·高三随州市曾都区第一中学校联考期中）在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（

）A．