某中学2023届九年级上学期第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023（±）初三第一次月考数学试卷

一、单选题（18分）.

I.计算：23=（）

A.5B.6C.8D.9

2.据国家统计局公布，2015年我国国内生产总值约为676700亿元（人民币），请用科学

记数法表示数据“676700亿”，结果是()

A.6.767x105B.6.676X1012C.6.676X1013D.6.676X1014

3.下列计算正确的是（）

A.3丫=初3B.X54-X5=xc.3X2-5X3=15X5D.5X2/+2X2/=10X4/

4.反比例函数），="的图象如图所示，则二次函数y=2kx2-4x+k2的图象大致是（

)

X

5.设抛物线Ci：y=f向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度得到抛物线C2,

则抛物线C2对应的函数解析式是（）

A.y=(x-2)2-3B.y=(x+2)2-3

C.y=(x-2)2+3D.y=(x+2>+3

6.有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S/,S2,则S”S2等于（）

A.1：72B.1：2C.2：3D.4：9

二、填空题（18分）

7.一个矩形的面积为a：+2°,若一边长为a,则另一边长为.

8.化简++—）=.

9.已知点P（3-m,m）在第二象限，则m的取值范围是.

10.某班一次测验成绩（10分制）如下：10分4人，9分7人，8分14人，7分18人，6

分5人，5分2人.则本次测验的中位数是一.

11.如图a,ABCD是一矩形纸片，AB=6cm,AO=8cm,E是AO上一点，且AE=6cm.操

作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕A凡如图6；（2）将以B/

为折痕向右折过去，得图a则AGFC的面积是

图a图c

12.如图，在半径为5的。。中，弦A8=6,P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP,过

点A作AP的垂线交射线PB于点C,当APAB是等腰三角形时，线段BC的长为一.

三、解答题

(1)求值：明一2卜卜，-(2016-^)n+2cos30o

13.

（2）解方程：X2-3X-4=0

14.先化简，再求值：（占一口）+，其中k-2.

Xx+1X+2x4-1

15.请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形.

（1）图1是矩形ABCD,E,F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；

（2）图2是正方形ABCD,E是对角线BD上任意一点（BE>DE）,以AE为边画一个菱

形.

16.小惠家大门进门处有一个三位单极开关，如图，每个开关分别控制着A（楼梯），B（客

厅），C（走廊）三盏电灯，其中走廊的灯已坏（对应的开关闭合也没有亮）.

（1）若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了''是事件；若小惠闭合所有三个开关,

“楼梯，客厅，走廊灯全亮了''是事件(填“不可能”或"必然”或"随机”)；

(2)若任意闭合其中两个开关，试用画树状图或列表的方法求“客厅和楼梯灯都亮了'’的概

17.如图，在△ABC中，ZACB=90°,D,E分别为AC,AB的中点，BF〃CE交OE的延

长线于点F.

(1)求证：四边形ECB尸是平行四边形；

(2)当/A=30。时，求证：四边形ECBF是菱形.

⑻如图，已知反比例函R*。)的图象经过点(8,4),直线)…+3反比例函数图

象相交于点A和点仇机，4).

(1)求上述反比例函数和直线的解析式;

(2)当时，请直接写出左的取值范围.

19.如图，在放AA8C中，ZACB=90°,B。是/ABC的平分线，点。在4B上，。经过

B,。两点，交BC于点E.

(1)求证：AC是。的切线.

2

(2)若A8=6,sinABAC=-,求8E的长.

20.图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2,其中点B,E,。均

为可转动点.现测得A8=BE=EZ)=8=15cm,经多次调试发现当点8,E所在直线垂直

经过的中点F时(如图3所示)放置较平稳.

(1)求平稳放置时灯座力C与灯杆OE的夹角的大小；

(2)为保护视力，写字时眼离桌面的距离应保持在30cm,为防止台灯刺眼，点A离桌面的距

离应不超过30cm,求台灯平稳放置时NA8E的最大值.(结果精确到0.01。，参考数据：

^3-1.732,sin7.7030.134,cos82.30°=0.134,可使用科学计算器)

图1图2图3

21.如图，在Rt/iABC中，ZACB=90°,AC=5cm,ZBAC=60°,动点M从点B出发，在

BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒6cm

的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0MW5),连接MN.

(1)若BM=BN,求t的值;

(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；

(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值.

22.已知△ABC是等腰三角形，AB=AC.

(1)特殊情形：如图1,当DE〃BC时，有DB_EC.(填“>”，“<”或“=”)

(2)发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转a(00<a<180°)到图2位置，

则(1)中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

(3)拓展运用：如图3,P是等腰直角三角形ABC内一点，NACB=90。，且PB=1,PC=2,

PA=3,求/BPC的度数.

AAK

5图i°图2CC图3J

23.如图1,抛物线y=ar2+(a+3)x+3(axO)与x轴交于点A(4,0),与)，轴交于点B,在

x轴上有一动点E(九0)(0<相<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点M交抛物线于

点P,过点P作于点M.

(1)求a的值和直线AB的函数表达式：

C,6

(2)设△产〃"的周长为G，AAEN的周长为C?,若才=g求〃?的值.

(3)如图2,在(2)的条件下，将线段OE绕点。逆时针旋转得到。旋转角为a

2

(0°<a<90°),连接E'A、E'B,求+的最小值.

1.c

解析：解：23=8.

故选：C

2.C

解析：解：676700亿=676700x1（）8=6.767x1（严；

故选C.

3.C

解析：A.（肛）3=凸,3’故该选项错误，不符合题意；

B.x5^x5=l,故该选项错误，不符合题意；

C.3X2-5/=15X\故该选项正确，符合题意；

232i2i

D.5xy+2Xy=lXy,故该选项错误，不符合题意;

故选C.

4.B

解析：；函数y="的图象经过二、四象限，

X

，k<0,

由图知当*=-1时，y=-k<l,

.,.0>k>-1,

，抛物线y=2kx2-4x+k2开口向下，

对称轴在-1左侧，

•.•当x=0时，y=k2<l.

故选B.

5.A

解析：试题分析：由“左加右减''的原则可知，向右平移2个单位长度所得抛物线的解析式为:

y=(x-2)2；

由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=(x-2)2向下平移3个单位长度所得的抛物线的解析

式为：y=(x-2『-3.故选A.

考点：二次函数图象与几何变换.

6.D

解析：设小正方形的边长为x,根据图形可得：

EF1

...，」

SDAC9

.s,J

,,SABCD18

SABC4

=

**•S2-S正方形ABCD,

8

•.•oc2=--Xt

8

/.Si：S2=—X2：-X2=4：9

188

故答案为：D

7.〃+2.

解析：请在此输入详解!

8.x

V-J-1

解析：解：原式=（X+1）+干

故答案为：尤.

9.m>3.

3—加<0

解析：试题分析：因为点P在第二象限，所以，｛,解得：m>3

m>n（）

考点：（1）平面直角坐标；（2）解不等式组

10.7.5

解析：解：由题意可知，共50个数据，按从大到小的顺序排列后，中位数是第25,26个数

据的平均数，

即：—=7.5,

2

故答案为：7.5.

11.2cm2##2平方厘米

解析：由题意得：FC=BC-BF=8-6=2cm,ZA=45°,AB//FC,

：.ZGFC=45°.

■:ZGCF=90°,

:.CF=CG=2cm,

/.S--CF-CG=—x2x2=2cm2.

GCFC22

故答案为：2cm2.

12.6或日或亚

104

解析：①当BA=BP时，

贝ijAB=BP=BC=6,即线段BC的长为6；

②当AB=AP时，如图1,连接AO交PB于点D,过点O作OEJ_AB于点E,则AD_LPB,

AE"AB=3,

B

图1

・・・BD=DP,

在RMAEO中，AE=3,AO=5,

・・・OE=,52—32=4,

VZOAE=ZBAD,ZAEO=ZADB=90°,

/.△AOE^AABD,

.OEBD4BD

..=,即nn—=,

AOAB56

.\BD=y,

2448

BD=PD=,即PB=-^-,

VAB=AP=6,

AZABD=ZAPC,

VZPAC=ZADB=90°,

/.△ABD^ACPA,

24

BDPA

即之」,

6~CP

-CP=T

==21

-BCBP-CPT-TTo

③当PA=PB时,

如图2,连接PO并延长，交AB于点E过点C作CGLAB,交AB的延长线于点G,连

接OB,贝l」PF_LAB,

AAF=FB=3,

在R3OFB中，OB=5,FB=3,/.0F=4,

AFP=9,

•/ZPAF=ZABP=ZCBG,ZAFP=ZCGB=90°,

AAPFB^ACGB,

.PFCG9c

••==~——3t

FBBG3

设BG=t,贝i」CG=3t,

VZPAF=ZACG,ZAFP=ZAGC=90°,

/.△APF^ACAG,

・AFCG

"PF-AG?

.33r

••一二---，

96+r

3

解得，

4

39

BG=—,CG=一，

44

在RSBCG中，BC=jBG2+CG2T审+令邛

线段BC的长为6或磊或率;

综上所述，当APAB是等腰三角形时,

故答案为6或昌或还.

104

13.(1)-2(2)与=4,x2=-1

解析：解：（1）

回2卜㈢-(2016-^y)+2cos30°=2-V3-3-l+2x^=2-V3-3-l+>/3=-2

2

(2)X-3X-4=0.

因式分解得：(x-4)(x+l)=0,

所以Xi=4,x2=-\.

rX+l

14.—5-,1

X4

Eif—1—+(x+1)~

解析：解:原式二------------x'二

x(x+l)x(2x-l)

210+1)2

x(x+l)x(2x-l)

X4-1

X

当x=—2时,

西十一2+1]_

原式=百

4

15.(1)作图见解析；(2)作图见解析.

解析：(1)如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形;

(2)如图所示：四边形AECF即为所求的菱形.

16.(1)随机；不可能；(2)

解析：解：(1)若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是随机事件；

•••走廊的灯已坏，

若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了“是不可能事件;

故答案为：随机；不可能;

(2)设客厅灯亮了为事件A,楼梯灯亮了为事件B,走廊灯亮了为事件C；则

树状图如下：

开始

.♦•共有6种结果，其中“客厅灯和楼梯灯亮了'’的有2种，

21

/.P（客厅灯和楼梯灯都亮了）

63

17.（1）详见解析；（2）详见解析.

解析：解：（1）证明：；D,£分别为边AC,4B的中点,

C.DE//BC,即EF//BC.

又,：BFHCE,

...四边形ECB尸是平行四边形.

（2）证法一：

VZACB=9Q°,NA=30°,E为AC的中点,

ACB=-AB,CE=-AB.

22

,CB=CE,

又由（1）知，四边形ECB尸是平行四边形，

.••四边形EC8尸是菱形.

证法二：

VZACB=90°,NA=30。，E为A8的中点，

：.BC=^AB=BE,NABC=60°,

2

...△BCE是等边三角形，

，CB=CE.

又由（1）知，四边形EC8F是平行四边形，

四边形ECBF是菱形.

证法三：

为AB的中点，乙4cB=90。，乙4=30。，

ACE=^AB=BE,NABC=60°,

.♦.△8CE是等边三角形，

：.CB=CE.

又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形，

，四边形ECBF是菱形.

18.(1)反比例函数解析式为％

x

(2)-4<x<-1或x>0

上1

解析：(1)解：♦..反比例函数*=一(七0)的图象经过点(8,-1),

x2

•I_k

*''2-8；

:・k=-4,

4

，反比例函数解析式为弘=——.

x

4

・・•点B(mf4)在反比例函数解析式为y=-一上,

二4=-

m

m=-1,

又3(-1,4)在为内+。上，

/.4=-1+b,

b=5,

・••直线的解析式为%=x+5.

(2)解：联立两函数解析式，得

，4

y=一一

4X,

y=x+5

・・・A(-4,1),

由图象可知，当必<%时X的取值范围-4<xV-1或x>0.

19.(1)见解析；(2)BE=3.2.

解析：（1）如图，连接O。,

•••。经过B,。两点，

，OB=()D,

：.ZOBD=ZODB,

BE)是NA8c的平分线，

二NOBD=NCBD.

：.ZODB=NCBD,

：.OD//BC,

VZACB=90°,即BC1AC,

：.OD1AC,

。。是-o的半径，

AC是.。的切线.

(2)解：设。的半径为R,

在曲AA8C中，ZACB=90°,

BC2

・.・AB=6,sinZBAC=——=一,

AB3

80=2x6=4,

3

VOD//BC,

・・.\AOD\ABC,

.ODOAnnR6-R

BCAB46

解得：R=2.4,

过。作于点/，则。///AC,

・・・NBOF=ABAC,

・・=sin4B0F=一,

OB3

BF=-x2.4=1.6,

3

...由垂径定理得：8£=2BF=2x1.6=3.2.

20.(1)平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°

(2)台灯平稳放置时/ABE的最大值是97.70°

解析：(1)解：由题意得，DF=^CD=1.5cm,EF1CD,

DF1

・•・coszZn.D=--=一

DE2

・•・NO=60。

平稳放置时灯座£>C与灯杆DE的夹角是60°.

(2)解：如图3,过A作交EB的延长线于”，

"F=30

“达7315也

・EF=15x——=------

22

・・・BH=30-BE-EF=\5-^^-

2

・・・cosZ/lfiW=—«0.134

AB

：.82.30。

・・・/ABE=180°-/ABH=97.70°

・••台灯平稳放置时NABE的最大值是97.70°.

21.(1)10^-15；⑵t=|或t=£；(3)t=2.5：最小值为告百

解析：(1)I•在RSABC中，ZACB=90°,AC=5,ZBAC=60°,

，A8=10,BC=5g

由题意知CN=8,BN=5』-®,

由BM=BN得2f=5#-而

解得：£=—>=106-15

2+V3

(2)①当△MBNs/\ABC时，

.MBBNF1n2f5△-底

♦・----=-----,艮I」---=-------7=---，

ABBC10573

解得：t=g

2

②当△NBM^AABC时，

.NBBM加5月-42/

・・――=——，即---------=-7=,

ABBC10一56

解得：f=*

.•.当1=3或1="时，△ABC相似.

27

(3)过M作MDLBC于点D,可得：MD=t,设四边形ACNM的面积为y,

•••尸S^BC-SABMV=gACBC—；BN.MD

」x5x5(5省-局1

22

V325百25百

=--1-----1H-----

222

根据二次函数的性质可知，当仁|时，y的值最小.

此时,y=等百

O

B

22.(1)=；(2)成立，证明见解析；(3)135°.

解析：(1)VDE//BC,

.DBEC

•---=---,

ABAC

「AB=AC,

ADB=EC,

故答案为二，

(2)成立.

证明：由①易知AD=AE,

・・・由旋转性质可知NDAB=NEAC,

XVAD=AE,AB=AC

/.△DAB^AEAC,

ADB=CE,

(3)如图，

将aCPB绕点C旋转90。得ACEA,连接PE,

AACPB^ACEA,

ACE=CP=2,AE=BP=1,ZPCE=90°,

:.ZCEP=ZCPE=45°,

在R3PCE中，由勾股定理可得，PE=2及，

在^PEA中，PE2=(2&)2=8,AE2=12=1,PA2=32=9,

VPE2+AE2=AP2,

/.△PEA是直角三角形

/PEA=90°,

/CEA=135。，

又'.,△CPB丝Z\CEA

.".ZBPC=ZCEA=135°,

3,