2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第1讲 集合的概念4种题型总结 含解析

第1讲集合的概念4种题型总结

【考点分析】

考点一：元素与集合的概念

①元素：一般地，我们把要研究对象统称为元素.

②集合：我们把所要研究的对象放在一起的总体叫做集合.

③两个集合相等：是指构成两个集合的元素是一样的.

考点二：集合中元素的三个特征

给定一个集合，它的元素必须是确定的、互不相同的，它的三个特征是确定性、无序性、互

异性

考点三：元素与集合的关系

知识点关系概念记法读法

如果“是集合A中的元素，

属于a≡A%属于A”

就说a属于集合A

元素与集合的关系

如果α不是集合A中的元

不属于a^AZ不属于A”

素，就说"不属于集合A

考点四：常间数集及其表示符号

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

ia⅛NN*或N+ZQR

【题型目录】

题型一：集合中元素的确定性

题型二：集合中元素互异性

题型三：元素与集合的关系

题型四：集合中元素的个数

【典型例题】

题型一：集合中元素的确定性

【例1】（2022.陕西.西北农林科技大学附中高二期末（文））下列各组对象中不能形成集合

的是（）

A.高一数学课本中较难的题B.高二（2）班全体学生家长

C.高三年级开设的所有课程D.高一（12）班个子高于1.7m的学生

【答案】A

【解析】

【分析】

根据集合的三要素确定性，互异性和无序性逐个判断即可；

【详解】

对A,高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合；

对BCD,各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合

故选：A

【例2】（2022•全国•高一专题练习）下列选项能组成集合的是（）

A.著名的运动健儿B.英文26个字母C.非常接近0的数D.勇敢的人

【答案】B

【解析】

【分析】

根据集合的定义判断即可；

【详解】

解：著名的运动健儿，元素不确定，不能组成集合；英文26个字母，满足集合元素的特征，

所以能组成集合：

非常接近0的数，元素不确定，不能组成集合；勇敢的人，元素不确定，不能组成集合.

故选：B.

【题型专练】

1.下列各对象可以组成集合的是（）

A.与1非常接近的全体实数

B.某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生

C.高一年级视力比较好的同学

D.与无理数兀相差很小的全体实数

【答案】B

【详解】

A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D

中相差很小的对象不确定，故错.

故选：B

2.（2022•黑龙江・鸡西市第四中学高二期中）下列所给的对象能组成集合的是（）

A.“金砖国家”成员国B.接近1的数

C.著名的科学家D.漂亮的鲜花

【答案】A

【解析】

【分析】

利用集合元素的确定性对选项逐一分析，由此判断出正确选项.

【详解】

对于A,“金砖国家''成员国即巴西，俄罗斯，印度，中国，南非，能组成集合，故A正确；

对于B,C,D三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.

故选：A.

3.（2023•全国•高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（）

A.与1非常接近的全体实数

B.北大附中云南实验学校2020-2021学年度第二学期全体高一学生

C.高一年级视力比较好的同学

D.高一年级很有才华的老师

【答案】B

【解析】

【分析】

由集合中元素的性质可直接得到结果.

【详解】

对于ACD,集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD

错误；

B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.

故选：B.

4.（2022•江苏・高一）下面各组对象中不能形成集合的是（）

A.所有的直角三角形B.一次函数y=χ+l

C.高一年级中家离学校很远的学生D.大于2的所有实数

【答案】C

【解析】

【分析】

根据集合的元素具有确定性的性质，可判断答案.

【详解】

所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函数y=χ+ι,元素是确定的，可以形成

集合，大于2的所有实数，能形成集合，

而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，因而这里的学生就不确定,

所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合，

故选：C

5.下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点。的距离

等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤血的近似值的全体.其中能构成集合的组数有

()

A.2组B.3组C.4组D.5组

【答案】A

【详解】

①“接近于O的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；

②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；

③“平面上到点。的距离等于1的点的全体''的对象是确定的，能构成集合；

④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；

⑤“近的近似值的全体的对象”不确定，不能构成集合；

故③④正确.

故选：A.

题型二：集合中元素互异性

【例11下列判断正确的个数为（）

（I）所有的等腰三角形构成一个集合；

（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；

（3）质数的全体构成一个集合；

（4）由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】

在（1）中，所有的等腰三角形构成一个集合，故（1）正确；

在（2）中，若工=α,则a2=l,，a=±l,构成的集合为{1,-1},故（2）正确；

a

在（3）中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，

故（3）正确：

在（4）中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2,3,4,6},含4个元素，故（4）

错误.

故选：C

【例2】已知集合A中的元素为—2,2a,/-ɑ,若2eA，则。=.

【答案】1或2；

【详解】

由A={-2,2α,∕-α},2∈A,

若20=2,α=l,/-Q=O,

此时A={—2,2,0},符合题意;

若a?—a=2，则a=2,a=-∖,

当a=-l时，2a=-2,不符题意，

当a=20寸，A={—2,4,2},符合题意，

综上可得：”=1或a=2.

故答案为：1或2.

【题型专练】

1.已知集合A是由。+1,4-1,/-3三个元素组成，若IeA,则实数。的值为.

【答案】O或一2

【详解】

因为1∈A,则a+l=l或a-l=l或〃_3=1,

当a+l=l时，a=0,A={1,-1,-3},符合题意;

当a-l=l时，a=2,A={3,l,l},不满足集合中元素的互异性，舍去；

当/一3=1时，a=-2或许2（舍）

当a=-2时，A={-l,-3,l},符合题意；

综上所述：。=0或。=一2，

故答案为：。或-2

2.已知集合A中的元素为&+l,Z—L二一3,若1∈A,则实数Z的值为.

【答案】0或一2

【详解】

依题意IeA,

当攵+1=1时，k=0,A={1,-1,-3）,符合题意.

当左一1=1时∙，k=2,k-i=k2-3=∖＞不满足互异性，错误.

当工一3=1，k=2（舍去）或左=—2,

&=一2时，A={-l,-3,l},符合题意.

综上所述，实数上的值为0或-2.

故答案为：0或-2

3.已知集合A中的元素为a+2,/+2,若3∈A,则实数。的值为（）

A.1或—1B.1C.-1D.一1或O

【答案】C

【详解】

当a+2=3时，得。=1,此时片+2=3，不满集合中元素的互异性，不合题意；

当"+2=3时，得α=±l,若α=l,则α+2=3,不满集合中元素的互异性，不合题意；

若α=-l,则α+2=l,满足3∈{α+2,∕+2}.

故选：C

题型三：元素与集合的关系

【例1】下列关系中，正确的个数为（）

Φ√5∈/?;②;e。；③0=0：④OWN；⑤乃eQ；⑥-3∈Z.

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【详解】

由元素与集合的关系，得：在①中，√5∈R，故①正确；

在②中，ɪeð,故②正确；在③中，0=0,故③错误；在④中，OeN,故④错误；

3

在⑤中，）eQ,故⑤错误；在⑥中，一3∈Z,故⑥正确.

故选：D.

【例2】集合A中的元素X满足J—eN,XeN,则集合A中的元素为_______________.

3-X

答案：0,1,2

解析；.3—x=l或2或3或6，即x=2或1或。或-3.

又冗∈N,故X=0或1或2.即集合A中的元素为0,1,2.

【例3】（2022•全国•高一专题练习）己知X,九Z为非零实数，代数式L+土+c+i^J

∣x∣∖y∖∣z∣Ixyz\

的值所组成的集合是〃，则下列判断正确的是（）

A.41MB.2∈Λ∕C.OgMD.-4gΛ∕

【答案】A

【解析】

【分析】

分别对X,y,Z的符号进行讨论，计算出集合M的所有元素，再进行判断.

【详解】

根据题意，分4种情况讨论；

①、X、y、Z全部为负数时，则孙Z也为负数，则三+α+言+苦=-4；

∣x∣Iyl∣z∣IxyzI

②、x、y、Z中有一个为负数时，则^yz为负数，则三+{+卷+卢彳=0；

∖χ∖∖y∖∣z∣I孙Zl

③、X-Z中有两个为负数时,则型为正数,则由+言言焉=0；

④、*y、Z全部为正数时，则型也正数，则匕+土+告+产；=4；

∖χ∖b,llɪlIχyzI

则M={4,0,-4}；分析选项可得A符合.

故选：A.

【题型专练】

1.下列元素与集合的关系表示正确的是（)

3

①0∈N*;②√∑wZ;③]∈Q;④乃WQ

A.①②B.②③c.①③D.③④

【答案】B

【详解】

N*为正整数集，所以O£N*,故①不正确；

Z表示整数集，所以J∑ez,故②正确；

3

。表示有理数集，则1e。，τreQ,故③正确，④不正确；

故选：B

2.下列关系中，正确的个数为（）

①OeN;②乃eQ；（3）√2∈Q;④TeZ;Θ√2IR.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】

0是自然数，故OeN,①正确；

乃是无理数，故乃名Q,②错误；

血无理数，故血史Q，③错误；

一1是整数，故一1∈Z,④正确；

血是实数，故R，⑤错误.故正确个数是2个.

故选:B.

3.若集合A中的元素满足x—1<6,且x∈R,则下列各式正确的是（）

A.3∈A,且一3eAB.3∈A,且一3∈A

C.3eA且一3eAD.3eA,且-3∈A

【答案】D

【详解】

因为3—1=2>百，-3-l=-4<√3.所以3cA,-3∈A.

故选：D

4.给出下列关系：

Φ12∈R;（g）2∈Q;（≡）∣-3∣∈N;@|-3|eZ；⑤OeN,

其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】

根据元素与集合的关系：

Φ12∈R,正确：（2）2∈Q,正确；③∣-3∣=3∈N,正确；④卜3∣=3∈Z,正确；⑤OCN,错误，

故正确的个数为4.故选：D.

5.（2021•湖南•衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）下列关系中正确的个数是（）

①;eZ,②播eR,③OeN*,④乃任Q

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

：不是整数，0是实数，0不是正整数，乃是无理数

【详解】

①gWZ错误②后eR正确③OeN*错误④乃任Q正确

故选：B

题型四：集合中元素的个数

【例1】（2022•全国•高一专题练习）已知A是由0,加，"?2一3雨+2三个元素组成的集合，且

2∈A,则实数,〃为（）

A.2B.3C.0或3D.0,2,3均可

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可知m=2或m2-3τn+2=2,求出加再检验即可.

【详解】

V2∈A,：.m=2∏gm2-3m+2=2.

当m=2时，m2-3∕w+2=4-6+2=0,不合题意，舍去；

当机2-3m+2=2时，加=0或〃?=3,但加=0不合题意，舍去.

综上可知，m=3.

故选：B.

【例2】设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若α∈A,则士∈A("≠l,且今0).

求证：(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素；

(2)集合A不可能是单元素集.

证明：(1)若“GA,则J.¢4.

又因为2∈4,所以七=一1∈4

1—2

因为一1∈4所以I)八=JGA

1—(—1)2

因为a∈A,所以一LI=2∈4

1-2

所以A中另外两个元素为一1,1.

(2)若A为单元素集，则。=丁」，

1—4

即02-α+l=0,方程无实数解.

所以〃右士，所以集合A不可能是单元素集•

【题型专练】

X

1.非空集合A具有下列性质：①若x,yeA,则一eA；②若χ,y∈A,则x+yeA,下

y

列判断一定成立的是()

2020

(1)一IcA;(2)笈方£4；(3)若x,ywA,则孙eA；(4)若x,y∈A,则x-y任A.

A.(1)(3)B.(1)(2)

C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(3)(4)

【答案】C

【详解】

由①可知。史A.

Y

对于(1),若一1∈A,对任意的x∈A,XW0,则一x=-η∙∈A,

所以，O=X+（—x）∈A,这与OeA矛盾，（1）正确;

Y

对于（2）,若且x∈A,Ml=—∈Λ,.∙,2=1+1∈A-3=2+l∈A.

X

2020

依此类推可得知，X/〃eN*，n∈A..∙.2020∈A,2021∈Λ,-------∈A,（2）正确；

2021

对于（3）,若x,yeA,则XNO且y#0,由（2）可知，1∈A,则

y

X.

Xy=-T∙eA

所以，∙I,（3）正确；

y

对于（4）,由（2）得，1,2∈A,取x=2,y=l,则x—y=leA,所以（4）错误.

故选：C.

2、设数集A由实数构成，且满足：若XGA（XNl且x≠0）,则一L∈A∙

1-x

（1）若2∈A,则A中至少还有几个元素？

（2）集合A是否为双元素集合？请说明理由.

14

（3）若A中元素个数不超过8,所有元素的和为且A中有一个元素的平方等于所有

元素的积，求集合A中的元素.

112

【答案】（I）A中至少还有两个元素;（2）不是双元素集合,答案见解析;（3）—,2,-1,--,3,-.

223

【详解】

（1）•2∈A>--—=—1∈A.

1-2

11,

1CA,IYT）2

.∙.A中至少还有两个元素为一1，ɪ;

2

（2）不是双元素集合.理由如下：

1x-∖

1.------；­=------∈A

∙,∙x∈A,.∙.------∈A,1%

I-%I-----------

1-x