第06讲 二元一次方程组的应用（讲义与练习）-中考数学复习(解析版)

第06讲二元一次方程组的应用(核心考点讲与练)

院聚焦考点

由实际问题抽象出二元一次方程

(1)由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知

量联系起来，找出题目中的相等关系.

(2)一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同

类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符.

(3)找等量关系是列方程的关键和难点.常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比

例问题等中的有关公式.

二.由实际问题抽象出二元一次方程组

(1)由实际问题列方程组是把“未知”转化为“己知”的重要方法，它的关键是把己知量和未

知量联系起来，找出题目中的相等关系.

(2)一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是

同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符.

(3)找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：

①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系.②将问题中给出的条件按意思分割成两个

方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系.③借助表格提供信息的，按

横向或纵向去分别找等量关系.④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系.

三.二元一次方程组的应用

(-)列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

(1)审题：找出问题中的己知条件和未知量及它们之间的关系.

(2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

(4)求解.

(5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

(二)设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎样设

元，设几个未知数，就要列几个方程.

匕名师点睛

由实际问题抽象出二元一次方程(共4小题)

1.（2021•下城区模拟）王阿姨以每个"7元的价格买进苹果IOO个，现以每个比进价多20%价格

卖出70个后，再以每个比进价低n元的价格将剩下的30个卖出，则全部卖出100个苹果所得的

金额是田元，下列方程正确的是（）

A.70∕n+30（加-〃）=W

B.70×（1+20%）∕M+30（m-π）=W

C.70×（1+20%）m+2>Qn=W

D.100×（1+20%）m-30（加-〃）=W

【分析】王阿姨全部苹果共卖得金额=先卖70个苹果的总价+剩下的30个苹果卖出的总价.根据

等量关系直接列出方程即可.

【解答】解：依题意得，

先卖70个苹果的单价是加（1+20%）元，

剩下的30个苹果卖出的单价是（"L"）元，

二全部苹果共卖得金额是：70×（1+20%）×m+30（,〃-”）元.

Λ70×（1+20%）m+30（m-n）=%

故选：B.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，正确理解文字语言中的关键词，从而明确

其中的运算关系.注意多每个比进价多20%是原来的价钱m再加上20%m.

2.（2021春•饶平县校级期末）大型客车每辆能坐54人，中型客车每辆能坐36人,现有378人，

问需要大、中型客车各几辆才能使每个人上车都有座位，且每辆车正好坐满？

【分析】首先根据题意表示出大型客车X辆可座5批人，中型客车y辆可座36y人，根据总人数

为378可得方程54x+36y=378.

【解答】解：设需要大型客车X辆，中型客车y辆，由题意得：

54x+36y=378,

则3x+2y=21,

当X=I时，y=9;

当x=2时，y=型（不合题意）：

2

当x=3时，y=6i

当X=4时，y=-（不合题意）；

-2

当x—5时，y=3；

当x=6时，y——（不合题意）；

2

当x—1时，y=0：

答：一共有4种符合题意的答案.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的

等量关系.

3.列二元一次方程：把一袋花生分给一群猴子，每只猴子分3粒，还剩下8粒.设有X粒花生,

y只猴子.

【分析】根据猴子数量乘以每只猴子分3粒再加上8即可得出等式.

【解答】解：设有X粒花生，y只猴子，则

3y+8=x.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据已知得出花生粒的总个数是解题

关键.

4.根据题意列二元一次方程：长方形的长是5cvπ,宽是2Z>C7”,周长为αcτπ.

【分析】根据长方形的周长公式（长+宽）X2=周长代入相应数值可得答案.

【解答】解：由题意得：（5+2%）X2=α.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的

等量关系.

二.由实际问题抽象出二元一次方程组（共5小题）

5.（2021春•拱墅区期中）某校运动员分组训练，若每组7人，余2人；若每组8人，则缺3人；

设运动员人数为X人，组数为y组，则列方程组为_17y+2=x_.

~∖8y-3=x-

【分析】根据“若每组7人，余2人；若每组8人，则缺3人”，即可得出关于X,y的二元一次

方程组，此题得解.

【解答】解：依题意得：0y+2=x

l8y-3=x

故答案为：（7y+2=x.

∣8y-3=x

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程

组是解题的关键.

6.（2021•西湖区二模）某中学体育组配备了篮球20个和排球IO个，一个篮球和一个排球的单

价之和为93元.若设篮球的单价为α元，排球的单价为b元，已知本次购买的总费用为1510元，

根据题意可得方程组为（）

A（a+b=93

I10a+20b=1510

B[a+b=93

∣20a+10b=1510

C（a+b=93

•I20a-IOb=1510

2a-b=93

20a+10b=1510

【分析】根据“一个篮球和一个排球的单价之和为93元.购买篮球20个和排球10个共花费1510

元”，即可得出关于0,6的二元一次方程组，此题得解.

【解答】解：依题意得：＜p+b=93

∣20a+10b=1510

故选：B.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程

组是解题的关键.

7.（2021春•奉化区校级期末）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的

“方程”一章里一次方程组是由算筹排布而成的，如图1、图2,图中各行从左到右列出的算筹数

分别表示未知数X,y的系数与对应的常数项，把图1所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是

[3x+2y=19.类似地，图2所示的算筹图可用方程组表述为_俨刊=11

Ix+4y=23∖4x+3y=27

图1图2

【分析】上下两行的前两个算筹分别为x、y的系数，每行的后一个算筹是常数项，且十位数用横

线表示，个位数用竖线表示，满五用横线表示.按此规律，即可看出第二个方程组.

【解答】解：根据图2知，此算筹图可用方程组表述为[2x+y=ll,

I4x+3y=27

故答案为：[2χ+y=ιι.

I4x+3y=27

【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，主要培养学生的观察能力，关键是能

够根据已知的方程根据对应位置的数字理解算筹表示的实际数字.

8.（2021春•仙居县期末）某班用700元钱购买足球和篮球共11个，其中篮球单价为50元/个,

足球单价为80元/个，若设购买篮球X个，足球y个，则可列方程组为—[x^*y=ll

~[50x+80y=700-

【分析】根据“用700元钱购买足球和篮球共11个，其中篮球单价为50元/个，足球单价为80元

/个”，找到等量关系列出方程即可.

【解答】解：设购买篮球X个，购买足球y个，根据“足球和篮球共11个"可Xty=11；

根据“两种球共花费了700元”可得买篮球的钱数+买足球的钱数=700,

即50x+80y=700,

因此可得方程组：卜4Y=Il，

150x+80y=700

故答案为：卜+z=”

∣50x+80y=700

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是能够找到题目中的

等量关系，难度不大.

9.（2021•赣州模拟）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共

买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出

九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为X,买鸡

的钱数为外可列方程组为

\6x+16=y

【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案.

【解答】解：设人数为X,买鸡的钱数为y,可列方程组为：J9x_11=y.

[6x+16=y

故答案是：俨”I，.

[6x+16=y

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程

组是解题的关键.

≡.二元一次方程组的应用（共IO小题）

10.（2021春•萧山区期末）某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第

1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙膏，收入219

元；第3天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；第4天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，

收入216元，聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（）

A.第1天B.第2天C.第3天D.第4天

【分析】设牙刷的单价为X元，牙膏的单价为y元，当第1天、第2天的记录无误时，利用总价

=单价X数量，即可得出关于X,V的二元一次方程组，解之即可得出X,y的值，再代入第3天及

第4天的数据中验证即可得出结论（若3,4天的结果均不对，则1,2天中的数据有误，以3,4

天的数据列出方程组求出牙刷和牙膏的单价，再代入1,2天的数据中验证即可）.

【解答】解：设牙刷的单价为X元，牙膏的单价为y元，

当第1天、第2天的记录无误时，依题意得：

ri3x÷7y=144解得：0=3,

118x+lly=219Iy=15

.∙.23"2Qy=23X3+20X15=369（元），17x+llʃ=17×3+11×15=216（元）.

又T369≠368,

.∙.第3天的记录有误.

故选：C.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的

关键.

11.（2021春•拱墅区期末）如图，在周长为60的长方形/BC。中放入六个相同的小长方形，若

小长方形的面积为S,长为X,宽为y,则（）

A.若x=2,则5=20B.若y=2,贝∣JS=20

C.若x=2y,则S=IoD.若x=4y,则S=IO

【分析】由长方形的性质得2x+5y=30,再分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：♦.'长方形/88的周长为60,

，48+4。=30,

由题意得：x+2y+"3y=30,

即2x+5y=30,

/、若x=2时，贝!∣y=空，

5

.'.s=盯=至2,故选项4不符合题意：

5

B、若y=2时，则X=10,

ΛS=xy=20,故选项8符合题意；

C、若x=2y,则4y÷5y=30,

解得：y=也，

3

•・∙XL—20—>

3

.∙.s=中=2四，故选项C不符合题意;

9

D、若x=4y,则8y+5y=30,

解得：y=毁，

13

・

•∙xL_120•,

13

λs=3600_,故选项。不符合题意；

169

故选：B.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，在各个条件下求出x、AS的值是解题的关键.

12.(2021春•江干区期末)如图，长为夕，宽为X的大长方形被分割为5小块，除阴影，E外，

其余3块都是正方形，若阴影E周长为8,下列说法中正确的是()

①X的值为4；②若阴影。的周长为6,则正方形4的面积为1；③若大长方形的面积为24,则三

个正方形周长的和为24.

A.①②③B.①@C.①③D.②③

【分析】设正方形A的边长为a,正方形B的边长为b,正方形C的边长为c,则x=a+b,y=

b+c,阴影E的长为c,宽为α+b-c,阴影。的长为。，宽为b-a,由阴影E的周长为8可求解

X值判定①；由阴影。周长为6可求解b值，即可求”,进而判定②；由大长方形的面积为24,

可求计c=6,假设三个正方形的周长为24,可求得α=0,不成立，故可判定③.

【解答】解：设正方形/1的边长为α,正方形8的边长为b,正方形C的边长为¢,

9

.∙x=a+b,y=b+cf

阴影E的长为c,宽为a+b-c,

阴影。的长为〃，宽为b-a,

・・・阴影E的周长为8,

.*•2(c÷6r+fe-c)=8,

.∙.α+b=4,

即x=4,故①正确；

・・・阴影。周长为6,

Λ2(a+b-a)=6,

解得6=3,

∙.Z+6=4,

.∙.α=l,

即正方形/的面积为1,故②正确；

∙.∙大长方形的面积为24,

Λχy=24,

Vχ=4,

・∙y=6,

b+c=6,

假设三个正方形的周长为24,

.∙.4α+4b+4c=24,

.'.a+b+c=6,

.,.α=0（不成立），

.∙.若大长方形的面积为24,则三个正方形周长的和为24.故③错误，

故选:B.

【点评】本题主要考查二元一次方程的应用，正方形的性质，设正方形”的边长为。，正方形5的

边长为b,正方形C的边长为c,用a,b,C表示X,y是解题的关键.

13.（2021•吴兴区二模）织里童装城某拉链专卖店出售甲、乙两种拉链，已知该店进货甲种拉链

100条和乙种拉链60条共需280元，进货甲种拉链160条和乙种拉链100条共需456元.

（1）求出甲、乙两种拉链的进价；

（2）已知专卖店将甲种拉链提价0.4元出售，乙种拉链提价25%出售.小明在该专卖店购买甲、

乙两种拉链，共花费45元，求有哪几种购买方案；

（3）在（2）条件下，不同方案专卖店获利是否发生变化，如果变化，请求出最大值；如果不变，

请说明理由.

【分析】（1）甲种拉链的进价为每条X元，乙种拉链的进价为每条y元，由题意：该店进货甲种

拉链100条和乙种拉链60条共需280元，进货甲种拉链160条和乙种拉链100条共需456元.列

出方程组，解方程组即可；

（2）设购买甲种拉链加条，乙种拉链”条，由题意：专卖店将甲种拉链提价0.4元出售，乙种拉

链提价25%出售.小明在该专卖店购买甲、乙两种拉链，共花费45元，列出二元一次方程，求出

正整数解即可：

（3）求出利润是恒值，即可得出结论.

【解答】解：（1）设甲种拉链的进价为每条X元，乙种拉链的进价为每条y元，

由题意得：（ι°°χ+6°y=28o,

I160x+100y=456

解得：IXj6,

1y=2

答：甲种拉链的进价为1.6元，乙种拉链的进价为2元；

（2）设购买甲种拉链，”条，乙种拉链”条，

由题意得：（1.6+0.4）m+2（1+25%）〃=45,

整理得："=18-4"?,

5

∙.∙m、〃为正整数，

.∙.[m=5或Im=IO或卜=15或Im=20,

In=14ln=10In=6In=2

即有4种购买方案：

①甲种拉链5条，乙种拉链14条：②甲种拉链10条，乙种拉链IO条：③甲种拉链15条，乙种

拉链6条；④甲种拉链20条，乙种拉链2条：

（3）不发生变化，理由如下：

；利润W=O.4∕∏+2X25%X（18-Λn）=9（元），

5

不同方案专卖店获利不发生变化.

【点评】此题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，

列出二元一次方程组或二元一次方程是解题的关键.

14.（2021春•金东区期末）某班为充实图书角图书，在学习委员的倡议下进行了一次给班级捐书

活动，受污染区域（阴影部分）记录了在相应捐书数目为N时的人数分布情况.

捐书数N123456

捐书N本的1217■■4

人数

已知捐书4本或4本以上的人平均每人捐书4.7本，捐书5本以及5本以下的同学平均捐书3.5

本.问捐书4本和5本的各有多少人？

【分析】设捐书4本的有X人，捐书5本的有N人，根据''捐书4本或4本以上的人平均每人捐

书4.7本，捐书5本以及5本以下的同学平均捐书3.5本”，即可得出关于X,y的二元一次方程

组，解之即可得出结论.

【解答】解：设捐书4本的有X人，捐书5本的有y人，

依题意得"4x+5y+6X4=4∙7（x÷y+4）,

Il×l+2×2+3×17+4x+5y=3.5（l+2+17+x+y

解得：卜=ιo.

∖y=6

答：捐书4本的有10人，捐书5本的有6人.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的

关键.

15.（2021春•江干区期末）某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备

用480元钱购进笔记本作为奖品，若“种笔记本买20本，8种笔记本买30本，则钱还缺40元;

若/种笔记本买30本，B种笔记本买20本，则钱恰好用完.

（1）求Z,B两种笔记本的单价；

（2）由于实际需要，需要增加购买单价为6元的C种笔记本若干本.若购买B,。三种笔记

本共75本，钱恰好全部用完，则C种笔记本购买了多少本？

【分析】（1）设/种笔记本的单价为X元，8种笔记本的单价为y元，根据“若Z种笔记本买20

本，8本笔记本买30本，则钱还缺40元；若4种笔记本买30本，8种笔记本买20本，则钱恰

好用完”，列出二元一次方程组，解之即可；

（2）设购买4种笔记本加本，8种笔记本〃本，则购买C种笔记本（75-"?-〃）本，根据总价

=单价X数量，即可得出关于〃?，〃的二元一次方程，化简后可得出，"+3〃=15,结合〃?，〃均为

正整数，即可求出结果.

【解答】解：（1）设4种笔记本的单价为X元，8种笔记本的单价为p元，

依题意,得：[20x+30y=480+40,

30x+20y=480

x=8

解得:

y=12

答：/种笔记本的单价为8元，8种笔记本的单价为12元.

（2）设购买｛种笔记本m本，8种笔记本”本，则购买C种笔记本（75-"L"）本，

依题意,得：8w+12n+6（75-m-«）=480,

：./w+3"=]5»

则m=15-3〃，

，购买C种笔记本为：（60+2"）本，

•：m,〃均为正整数，

."./M=12,”=1或加=9,〃=2或，〃=6,〃=3或"？=3,n=4,

当用=12,"=1时，60+2«=62；当m=9,〃=2时，60+2”=64；当用=6,〃=3时，60+2"=

66；

当∕n=3,”=4时，60+2«=68；答：C种笔记本购买了62本或64本或66本或68本.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准

等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程.

16.（2021春•拱墅区期末）某厂接到任务需完成500台空调的安装.由于时间要求高，该厂没有

足够的熟练工人，故决定招聘一批新工人，生产开始后发现：1名熟练工人和3名新工人每天共安

装Il台空调；2名熟练工人每天装的空调数与5名新工人每天安装空调数一样多.

（1）求1名熟练工人和1名新工人I天一共可以安装多少台空调；

（2）若公司原有熟练工m人，现招聘〃名新工人（加，〃均不为0）,为了刚好20天完成安装任

务，你有哪几种方案？

【分析】（1）设1名熟练工人1天可以安装X台空调，1名新工人1天可以安装y台空调，由题

意列出方程组，即可求解；

(2)由题意列出方程，即可求解.

【解答】解：(1)设1名熟练工人1天可以安装X台空调，1名新工人1天可以安装、台空调,

由题意可得：[χ+3y=ιι,

∣2x=5y

解得：卜咤，

Iy=2

'.x+y=1(台)，

答：1名熟练工人和1名新工人1天一共可以安装7台空调：

(2)由题意可得：20(5m+2rt)=500,

.*.5m+2n=25,

,；m,〃为正整数，

.∖m=1,H=IO⅛Km=3,n—5,

答：m—\,"=10或wι=3,n—5.

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键.

17.(2021•拱墅区二模)如图，某型号动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相

等.已知该型号动车挂8节车厢以38米/秒的速度通过某观测点用时6秒，挂12节车厢以41米/

秒的速度通过该观测点用时8秒.

(1)车头及每节车厢的长度分别是多少米？

(2)小明乘坐该型号动车匀速通过某隧道时，如果车头进隧道5秒后他也进入了隧道，此时车内

屏幕显示速度为18Okmfh,请问他乘坐的是几号车厢？

【分析】本题一动车运转为背景，考察了学生应用二元一次方程组解决实际问题的能力，解题的

关键是找到问题中的两个相等关系，列出方程组，从而解决问题.

【解答】解：(1)设车头X米，车厢每节y米，根据题意得：

∫x+8y=38×6

1x+12y=41×8'

解得卜=28.

∣y=25

答：车头28米，车厢每节25米.

(2)]S0km∕h=50m∕s,

(50×5-28)÷25=8.88；

答：小明乘坐的是9号车厢.

【点评】本题考察二元一次方程组的应用，要正确理解题意，准确找出题目中包含的两个相等关

系从而列出二元一次方程组是解决此类问题的关键.

18.（2021春•丽水月考）我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企

业进行试生产.他们购得规格是170c∙mX40“〃的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法

一或裁法二裁下/型与8型两种板材（不计损耗），如图甲.（单位：cmy

（1）列出方程（组），求出图甲中。与6的值；

（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的

A型与8型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式（高大于长）与横式（长大于高）两种无盖礼品

盒.

①两种裁法共生产A型板材64张,B型板材38张;

②能否在做成若干个上述的两种无盖礼品盒后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能,

则竖式无盖礼品盒与横式无盖礼品盒分别做了几个？若不能，则最多能做成竖式和横式两种无盖

礼品盒共多少个？并直接写出此时做成的横式无盖礼品盒的个数.

→j30+

A!A：B∖ITjO

____120_____

图乙

【分析】（1）由图示列出关于0、5的二元一次方程组求解.

（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生Z型板材和B型板材的张数；

②根据竖式与横式礼品盒所需要的4、8两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组,

求解，即可得出结论.

【解答】解：⑴由题意得：［2a+b+10=170,

a+2b+30=170

解得：卜=60,

lb=40

即图甲中〃与b的值分别为60,40；

（2）①由图示裁法一产生/型板材为：2X30=60,裁法二产生4型板材为：1义4=4,

.∙.两种裁法共产生力型板材为60+4=64（张），

由图示裁法一产生8型板材为：1X30=30,裁法二产生8型板材为：2X4=8,

.∙.两种裁法共产生8型板材为30+8=38（张），

故答案为：64.38；

②不能在做成若干个两种无盖礼品盒后，恰好把①中的4型板材和8型板材用完，理由如下：

设竖式礼品盒做X过，横式礼品盒做y个，

则4型板材需要（4r+3y）个，8型板材需要（x+2y）个，

则（4x+3y=64,

1x+2y=38

[14

解得：1

_88

Vx>y是自然数，

，不能恰好把①中的4型板材和B型板材用完，

•・“四，

5

,最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共20个，此时做成的横式无盖礼品盒为16个或17个或

18个.

【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求

出。、人的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组.

19.（2021春•北仑区期中）在一次汽车展上，甲展位对N型车和8型车两种车型购买的客户进

行优惠：4、6型车都购买3辆及以上时，N型车每辆优惠0.5万元，8型车每辆优惠1万元.一

家公司准备买9辆车，按优惠后的价格计算结果如下表：

购卖量购卖量

A型车45

8型车54

总价128万/124万元

（1）计算两种型号的车原价分别是多少元?

（2）乙展位对该公司同时购买9辆车很感兴趣，给出同时购买9辆车且每种车型分别购买3辆及

以上时两种车型均实行6%的优惠措施，且该公司要求尽可能多地购买8型车.请你通过计算说明

该公司应该在哪个展位定车（两展位这两款车原价都相同）.

【分析】Q）设4型车优惠后的价格为每辆X万元，8型车优惠后的价格为每辆y万元，根据“4

型车买4辆8型车买5辆花费128万，/型车买5辆8型车买4辆花费124万”，即可列出关于

x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；

（2）由优惠政策及该公司要求尽可能多地购买B型车，可知该公司应购/型车3辆，8型车6

辆，根据“总费用=购买/型车的费用+购买B型车的费用”算出选择甲、乙两展位购买/型车

3辆、5型车6辆所需总钱数，二者作比较即可得出结论.

【解答】解：（1）设4型车优惠后的价格为每辆X万元，8型车优惠后的价格为每辆y万元，

由题意，得：［4x+5y=128,解得"x=12,

I5x+4y=124Iy=16

.X型车原价：12+0.5=12.5（万元）；8型车原价：16+1=17（万元）.

答：Z型车原价为12.5万元，8型车原价为17万元.

（2）•.♦两展位对45型车都购买3辆及以上给予优惠，且该公司要求尽可能多地购买8型车,

，该公司应购/型车3辆，8型车6辆.

选择甲展位所需费用为12X3+16X6=132（万元），

选择乙展位所需费用为（12.5X3+17X6）X（1-6%）=131.13（万元），

V132>131.13,

.∙.该公司应该在乙展位定车.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x、y的

二元一次方程组；（2）根据数量关系列式计算.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，

根据数量关系列出算式（方程或方程组）是关键.

力提升

4分层提分

题组A基础过关练

一.选择题（共9小题）

1.（2020•杭州模拟）某影院昨天甲，乙两种电影票共售出203张，甲票售出X张，每张35元，乙

票每张20元，票房总额y,则（）

A.15X-y+4060=0B.x-15.y+4060=0

C.15x+y+4060=0D.χ-15y-4060=0

【分析】根据总价=单价X数量，即可得出关于X,y的二元一次方程，此题得解.

【解答】解：依题意，得：y=35x+20（203-Λ）,

整理，得：15χ-y+4060=0.

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方

程是解题的关键.

2.（2021春•奉化区校级期末）《孙子算经》中的一道名题：今有木，不知长短，引绳度之，余

绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？其意思是：用绳子去量一根木头，绳子还剩

余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头还剩余1尺，问木头长多少尺？设木头为X尺，绳子为y

尺，可列方程组为（）

χ-y=4.5y-χ=4.5

Xhl

y-χ=4.5χ-y=4.5

【分析】根据“用绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头还剩余1

尺”，即可得出关于X,y的二元一次方程组，此题得解.

y-χ=4.5

【解答】解：依题意，得：［1.

故选：D.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次

方程组是解题的关键.

3.（2021春•永嘉县校级期末）如图，正方形ABCQ由四个相同的大长方形，四个相同的小长方

形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的3倍，若中间

小正方形的面积为1,则大正方形ABCD的面积是（）

X∣----------1---------------------ID

【分析】设小长方形的长为X,宽为y,则大长方形的长为3x,宽为3»观察图形可得出关于

X、），的二元一次方程组，解之即可得出X、），的值，再利用正方形的面积公式即可求出大正方形

ABCD的面积.

【解答】解：设小长方形的长为X,宽为y,则大长方形的长为3x,宽为3y,

3x~3y=x+y

根据题意得:

χ-y=l

用干1寸：＜，

∖y=l

/.（3x+3y）2=（3×2+3×l）2=8l.

故选：D.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解

题的关键.

4.(2021春•饶平县校级期末)如图商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图中的信息，当有10

张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是(

A.40CmB.50c∕n

【分析】设塑料凳桌面的厚度为XC小腿高儿愕,根据题意得,3x+h=29,求出塑料凳桌面

5x+h=35

的厚度和腿高，然后即可计算出当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度.

【解答】解：设塑料凳桌面的厚度为XC”?,腿高前加，根据题意得，

∫3x+h=29j

15x+h=35

解之得，x=3,∕z=20.

则10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是20+3*10=50«??.

故选：B.

【点评】此题是二元一次方程组的实际应用，求出塑料凳桌面的厚度和腿高是关键.

5.(2019•拱墅区校级模拟)某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得+5分，每答错一题

得-3分，不答的题得-1分.已知欢欢这次竞赛得了72分，设欢欢答对了X道题，答错了y道

题，则()

A.5χ-3y=72B.5x+3y=72C.6x-2y=92D.6x+2y=92

【分析】直接根据题意表示出不答的题为(20-X-y)道，根据每答对一题得+5分，每答错

一题得-3分，不答的题得-1分表示出总分=72,进而得出答案.

【解答】解：设欢欢答对了X道题，答错了y道题，则：

5x-3y-(20-X-y)=72,

整理得：6χ-2y=92.

故选：C.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，正确表示出实际得分是解题关

键.

6.(2020秋•南山区期末)某公司用300()元购进两种货物.货物卖出后，一种货物的利润率是

10%,另一种货物的利润率是11%,两种货物共获利315元，如果设该公司购进这两种货物所

用的费用分别为X元，y元，则列出的方程组是()

Afx+y=3315ŋfx+y=3315

lx(l+10%)+y(l+ll%)=31E110%x+ll%y=315

Cʃx+y=3000Dʃx+y=3000

'lx(l+10%)+y(l+ll%)=31E'110%x+ll%y=315

【分析】根据购进两种货物的总价为3000元及销售后的利润为315元，即可得出关于X,y的二

元一次方程组，此题得解.

【解答】解：依题意得：fx+Sr=3000

∣10%x+ll%y=315

故选：D.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次

方程组是解题的关键.

7.（2021春•无棣县期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成

就.其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译

文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱：每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多

少？设合伙人数为X人，物价为潭，以下列出的方程组正确的是（）

∫y-8x=3（8χ-y=3

[y-7x=4（y-7x=4

c∫y-8x=3ʃ8x-y=3

∖7χ-y=4I7χ-y=4

【分析】设合伙人数为X人，物价为y钱，根据题意得到相等关系：①8X人数-物品价值=

3,②物品价值-7X人数=4,据此可列方程组.

【解答】解：设合伙人数为X人，物价为y钱，根据题意，

可列方程组：＜pχ-y=3,

Iy-7x=4

故选：B.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出

未知数，找出合适的等量关系.

8.（2021春•奉化区校级期末）如图，在大长方形ABCD中，放入九个相同的小长方形，则图中

阴影部分面积（单位：CZT?）为（）

A.96B.100C.124D.148

【分析】设小长方形的长为XC相，宽为yon,观察图形，根据小长方形长宽之间的关系，即可

得出关于X,y的二元一次方程组，解之即可得出X,y的值，再利用阴影部分的面积=大长方形

的面积-9X小长方形的面积，即可求出结论.

【解答】解：设小长方形的长为XS”,宽为"加，

依题意，得：［x+4y=20,

∖x+y=ll

解得：

∣y=3

.,.20×（ll+2y）-9^=124.

故选：C.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解

题的关键.

9.（2021春•怀柔区期末）鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一，大约在1500年前，《孙子算

经》中就记载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下

有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上

上面数，有35个头；从下面数，有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔？经计算可得（）

A.鸡20只，兔15只B.鸡12只，兔23只

C.鸡15只，兔20只D.鸡23只，兔12只

【分析】设笼中有X只鸡，y只兔，根据上有35个头、下有94只脚，即可得出关于x、y的二元一

次方程组，解之即可得出结论.

【解答】解：设笼中有X只鸡，y只兔，

根据题意得」x^ty=35,

∖2x+4y=94

解得:卜=23.

ly=12

故选：D.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解

题的关键.

二.填空题（共6小题）

10.（2016春•双城市期末）买14支铅笔和6本练习本，共用5.4元.若铅笔每支无元，练习本每本y

元，写出以X和y为未知数的方程为14x+6v=5.4.

【分析】等量关系为：14支铅笔总价钱+6本练习本总价钱=5.4,把相关量代入即可.

【解答】解：铅笔每支X元，14支铅笔需14x元；练习本每本y元，6本练习本需付6y元，共用

5.4元，

可列方程为：14x÷6y=5.4.

【点评】根据共用去的钱得到相应的等量关系是解决问题的关键，注意单价与数量要保持对

应关系.

11.(2021春•奉化区校级期末)弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁.”哥哥对

弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁."求弟弟和哥哥的年龄•设这一年弟弟X岁，哥哥y

岁，根据题意可列出二元一次方程组是一［y+(y-χ)=20_.

【分析】设这一年弟弟X岁，哥哥y岁，根据题意列出方程组解答即可.

【解答】解：设这一年弟弟X岁，哥哥y岁，根据题意得：［y+(y-x)=20,

Iχ-(y-χ)=5

故答案为:(y+(y-χ)=2o.

Iχ-(y-χ)=5

【点评】考查了二元一次方程组的应用和理解题意能力，关键是知道年龄差是不变的量从而

可列方程求解.

12.(2021春•奉化区校级期末)甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲跑5秒就可追上

乙；如果乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，若设甲的速度为X米/秒，乙的速度为)，米/秒，可

列方程组j5x=5y+10_

∖4x=4y+2y

【分析】根据题意，得出等量关系：①乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙；②乙先跑2

秒，则甲跑4秒就可追上乙，得出方程组即可.

【解答】解：根据乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙，得方程5x=5y+10;

根据乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，得方程4x=4γ+2y.

可得方程组(5x=5y+10

∖4x=4y+2y

故答案为：(5x=5y+10

∖4x=4y+2y

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题是追及问题，注意：无论

是哪一个等量关系中，总是甲跑的路程=乙跑的路程.

13.(2021春•绥滨县期末)七(1)班学生42人去公园划船，共租用10艘船.大船每艘可坐5

人，小船每艘可坐3人，每艘船都坐满.问大船、小船各租了多少艘？设坐大船的有X人，坐

'x+y=42

小船的有y人，由题意可得方程组为：_,三2_10_.

【分析】由于一共租用了10只船.每只大船坐5人，每只小船坐3人，共有人数42人，所以可

设租了大船X只，坐小船的有y人，由此可得等量关系式：x+y=42,-∣+∑-=10,即可得出答

案.

【解答】解：设坐大船的有X人，坐小船的有y人，由题意可得方程组为:

'x+y=42

x+y=42

故答案为：,H=10

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，据题意列出等量关系式是完成

本题的关键.

14.（2020秋•拱墅区校级期末）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶21（）fon∙它们各

自单独行驶并返回的最远距离是105h%现在它们都从4地出发，行驶途中停下来从甲车的气

体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行

驶，至此地后再行驶返回A地.则8地最远可距离A地140km.

【分析】设甲车行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，

设AC=Hw,AB=ykm,根据“两车行驶的总路程为210X2hw,到C地时甲车加注到乙车里面

的燃料等于甲车行驶到C地消耗掉的燃料”，即可得出关于X,），的二元一次方程组，解之即可

得出X,y的值，进而可得出B地最远可距离A地140A”.

【解答】解：设甲车行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用

完，如图:

ACB

•・・

设AC=Xhn,AB=ykm,

依题意得：[2x+2y=210X2,

l210-2x=x

解得：（X=7°，

∣y=140

乙在C地时加注行驶210-2X70=70（km）的燃料，AB的最大长度为140A”.

故答案为：140.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解

题的关键.

15.（2020春•绍兴期中）某企业2020年3月初准备开工，需要给员工发放口罩，老板只买到了少

量口罩，如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个，设该企业共有X名员工，买

到了＞个口罩，根据题意可列方程组为—[5x+3=y_.

∖6x=y+5

【分析】根据每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个，可以列出相应的方程组，

本题得以解决.

【解答】解：由题意可得，

∫5x+3=y

∖6x=y+5

故答案为：俨+3=y.

[6x=y+5

【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相

应的方程组.

≡.解答题（共7小题）

16.（2020秋•普宁市期末）某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八折，乙

种商品打七五折，已知打折前，买6件甲种商品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲种

商品和40件乙种商品需5200元.

（1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？

（2）某人购买甲种商品80件，乙种商品100件，问打折后购买这些商品比不打折可节省多少

元？

【分析】（1）设打折前甲种商品每件X元，乙种商品每件y元，根据“打折前，买6件甲种商

品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲种商品和40件乙种商品需5200元”，即可得出

关于X,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据节省的钱数=打折前购买所需费用-打折后购买所需费用，即可求出结论.

【解答】解：（1）设打折前甲种商品每件X元，乙种商品每件y元，

依题意，得：（6x+3y=60°,

（50×O.8x+40×0.75y=520C

解得：卜“°.

∣y=120

答：打折前甲种商品每件40元，乙种商品每件120元.

（2）80X40+100X120-80X0.8X40-100X0.75X120=3640（元）.

答：打折后购买这些商品比不打折可节省3640元.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解

题的关键.

17.（2021春•上城区期末）如图，在长方形ABCD中，放入8个完全相同的小长方形.

（1）每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？

（2）图中阴影部分面积为多少平方厘米？

B

【分析】（1）设小长方形的长为X厘米，宽为y厘米，观察图形，根据小长方形长与宽之间的