2023年人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质综合测试试卷及答案

第三章综合测试

考试时间120分钟,满分150分.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.函数ZU)=-1+x+：的定义域是(C)

A.［-1,+0°)

B.(—8,0)U(0,+8)

C.［-l,0)U(0,+8)

D.R

1+x20,

［解析］要使函数有定义，贝的一八解得—1且xWO,故选C.

1x^0,

2.下列各组中的函数/U)与g(x)是同一个关于x的函数的是(C)

A.fi,x)=x~1,g(x)=?一］

B./x)=2x-l,g(x)=2x+l

C._/U)=f，g(x)=&

D.y(x)=l,g(x)=x°

［解析］A中的式幻=尤-1与g(x)=§—l定义域不同；B中的/)=2%—1

与g(x)=2x+l对应关系不同；C中的式均=/与g(九)=4/定义域相同，且&=

%2,故是同一个函数；D中的负幻=1与g(x)=x°定义域不同.故选C.

3.有关函数单调性的叙述中，正确的是(C)

A.y=—孑在定义域上为增函数

B.y=*y在［0，+8)上单调递增

C.y=—3f—6x的减区间为［―1,+°°)

D.y=<u+3在(-8,+8)上必为增函数

［解析］对于A,其定义域为不含0的两个区间，在各自的区间上都是增函

数，但不能说在整个定义域上为增函数；对于B,在［0,+8)上单调递减；对于

C,因为y=-3/—6x=-3(x+iy+3,可求得减区间为［-1,+°°)；对于D,

增减性与a的取值有关.故选C.

4.已知基函数的图象过点(2,，，则函数g(x)=(x—2求x)在区间

1上的最小值是(C)

A.-1B.—2

C.-3D.-4

［解析］由已知得2a=3，解得a=—l,

.,.g(X)=E/=l—1在区间1上单调递增，则g(X)min=g(O=-3,故选

C.

5.已知函数/U)为偶函数，且在(-8,0］上单调递增，负-1)=2,则不等

式式2x+l)<2的解集为(A)

A.(―0°,—l)U(0,+00)

B.(0,+°°)

C.(-1,0)

D.(—8,-1)

［解析］因为函数犬x)为偶函数且在(一8,0］上单调递增，穴一D=2,

所以函数7U)在［0,+8)上单调递减，式1)=2,且/(2x+l)=川2x+l|),

所以用2x+l|)勺⑴，所以|2x+l|>l,解得或%>0,

即x的取值范围是(一8,-l)U(0,+°°).故选A.

6.设於)是定义域为R的奇函数，且加+x)=/(—x).若《一U则局

=(C)

A--3B.-§

C.1D.|

［解析i由题意可得：娘=4+京=/(一|)=一/(1)，

故选c.

7.已知函数凡r)是定义域为R的偶函数，且对任意X”力昼(-8,0］,当

的范围是(A)

［解析］由题意可知，风什在(-8,0］上为增函数，又.*x)为偶函数，故式x)

iii2

在(0,+8)上为减函数，由可得一)<1—2x<g,解得铲.故选

A.

—%2—ar—5(x^1),

8.已知函数,/(x)=是R上的增函数，则。的取值范

盟>1)

围是(B)

A.一3«0B.—3WaW-2

C.aW—2D.a<Q

等1,

［解析］由条件可知<6Z<0,解得一3WaW—2.

、一Q—6WQ,

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的

四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分,

部分选对的得2分)

9.已知则下列结论正确的是(BD)

A./3)=9B.犬-3)=4

C.汽尤)=/D./%)=(%+1)2

［解析］因为g—l)=(2x-l)2+2(2z-1)+1,故|x)=/+2x+1=(x+1)2,

故选项C错误，D正确；犬3)=16,大-3)=4,故选项A错误，B正确.故选BD.

10.函数/U)是定义在R上的奇函数，下列命题中是正确命题的是(ABD)

A..A0)=0

B.若/(x)在［0，+8)上有最小值一1,则兀r)在(一8,0］上有最大值1

C.若/U)在口，+8)上为增函数，则/(x)在(一8,—1］上为减函数

D.若第>0时，j［x)=^--2x,则x<0时，fix)——x2—2x

［解析］奇函数在对称的区间上单调性相同，故C错误，其余都正确.

11.德国数学家狄利克雷(1805〜1859)在1837年时提出：“如果对于光的每

一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么)，是x的函数.”这个定义较

清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x,有一

个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表

示，例如狄利克雷函数D(x),即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量

取无理数时，函数值为0.以下关于狄利克雷函数D(x)的性质正确的有(ABD)

A.。(也)=0B.O(x)的值域为｛0,1｝

C.0(x)为奇函数D.D(X-1)=D(A)

［解析］由题得O(x)=L.c则。(6)=0,所以A正确；容易得

10,XJRQ,

1,xWQ,

D(x)的值域为｛0』｝,所以B正确；因为。(一x)=L.八所以。(一x)=

10,RQ,

1,xCQ,

D(x),D(x)为偶函数，所以C不正确；因为。(x—1)=入「八所以

10,X£［RQ,

—l)=O(x),所以D正确.故选ABD.

12.已知函数於)=("合一加一1)/"*"'"是幕函数，对任意为,一£(0,十8),

且X1WX2,满足.若a,bGR,且式a)+式Z?)的值为负值，则下列结论

可能成立的有(BC)

A.a+Z?>0,ab<0B.a+/?<0,ab>0

C.a+b<0,ab<0D.以上都可能

［解析］由函数为嘉函数可知加一加―i=i,解得机=-1或机=2.当机

=—1时，_/U)=9；当m=2时，1犬)=_?.由题意知函数«x)在(0,+8)上为增函

数，因此兀。=%3,在R上单调递增，且满足,人—》)=—/(无).结合.*—x)=-Ax)

以及犬。)+/(8)<0可知/(a)<—/(/?)=/(一8)，所以。<一人，即。<一。，所以a+*0.

当«=0时，b<0,ah=0；当。>0时，b<0,ab<0；当a<0时，。/?>0（/?<0）或ah<0{0<b<

-a）,故BC都有可能成立.故选BC.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（2022•北京卷）函数ZU）=：+、/FG的定义域是（一8,0）U（0,l].

[解析]因为於）=：+[1—X，所以“1—x20,

解得xWl且xWO,

1X、％wo,

故函数的定义域为（一8,O）U（O,1].

2尤，X>0,

14.已知外）=

/+1),xWO,

=2X3=3*

，函数心一1）的

15.已知幕函数40=犬的图象经过点（9,3）,则

定义域为（0,11.

[解析]嘉函数7U）的图象经过点（9,3）,所以3=9",所以a=g,所以黑函数

寅尤）=正，故《0=坐，故12°，解得0<xWl.

16.符号田表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3,[—1.6]=-2,定义函

数：,*x）=x—印，则下列说法正确的是①②③.

①/（一0.8）=0.2；

②当1Wx<2时，.*x）=x—1；

③函数/W的定义域为R，值域为[0,1）；

④函数7U）是增函数，奇函数.

[解析]Q/（-0.8）=-0.8-[-0.8]=-0.8+1=0.2,正确.

②当1W尤<2时，fix）=x-[x]=x~\,正确.

③函数/U）的定义域为R,/U）=x—[幻表示x的小数部分，所以值域为[0,1）,

正确.

④x=0.5时，<0.5)=0.5,x=1.5时，,/(1.5)=0.5,所以人x)不是增函数；且

/-1.5)=/1.5),所以/U)也不是奇函数.故填①②③.

四'解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知函数«x)=ox+/?,且<1)=2,/2)=-1.

(1)求加n+1)的值；

(2)判断函数式犬)的单调性，并用定义证明.

［解析］(1)由负1)=2,12)=—1,得a+0=2,2a+b=—1,即a=—3,b=

5,

故段)=—3X+5,

,外加+1)=-3(机+1)+5=-3加+2.

(2)成x)在R上是减函数.

证明：任取X\<X2(X\,X2eR),

则«X2)­/(xi)=(—3x2+5)—(—3x1+5)=3x1-3X2=3(XI-xi),因为xi<X2,

所以/(X2)—Axi)<0,

即函数於)在R上单调递减.

18.(本小题满分12分)已知/(X)在R上是单调递减的一次函数，且咒Ax)］=

9x~2.

⑴求网；

(2)求函数y=/(x)+x2—%在1,a］上的最大值.

［解析］⑴由题意可设於)=依+伏攵<0),由于欢刈=9九一2,则上十奶+力

=9x—2,

尸=9,k=13,

故］妨+6=-2,解得故人元）=-3x+1.

b=\,

(2)由(1)知，函数y=—3x+l+/—x=/—4x+l=(x—2/一3,

故函数丁=/-4*+1的图象开口向上，对称轴为x=2,

当一l<aW5时，y的最大值是X―1)=6,

当a>5时，y的最大值是/(a)=4—4a+1,

‘6(—1<忘5),

综上，,max=

.a2—4a+1(«>5).

19.(本小题满分12分)某蔬菜种植基地预销售一种绿色蔬菜，共143如果

在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利

0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费尸(万元)与精加工的蔬菜量

r1

尤⑴有如下关系：P=\工。设该蔬菜种植基地将光⑴蔬菜进行精

3Qx+8一

—8VE4.

加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润为y(万元)•(注：总利润=销

售获利一加工费)

⑴写出y关于x的函数解析式；

(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大？求出最大利润.

［解析］(1)由题意，知当0WxW8时，

y=0.6x+0.2(14—%)—^x2=-^r2+|x4-14

5，

当8〈尤W14时,

3x+81

y=0.6x+0.2(14—x)-—-=y^x+2,

(1?14

—而*+于+亍0WxW8,

即产,1

而r+2,8VxW14.

(2)由(1)知当0WxW8时，j?=—ix2+|x4-y=—^(x—4)2+^,

乙\JJJ^\JJ

1Q

所以当x=4时，y取得最大值，为百.

当8VxW14时，y=Y^.r+2,

17

所以当x=14时，y取得最大值，为5.

因为学＞,，所以当x=4时，y取得最大值，为竽.

故当精加工蔬菜4t时，总利润最大，为?万元.

Y

20.(本小题满分12分)已知函数8(%)=刁彳xG(-l,l).

(1)证明：函数g(x)在(一1,1)上单调递增；

(2)若g(f—l)+g(2r)<0,求实数，的取值范围.

［解析］⑴证明：设XI,X2^(—1,1),且X1<X2,

,XIX2Xl(x5+1)—X2(X?+1)(XI—X2)(l—XI尤2)

则g(XI)_g(X2)=布一不=(4+1)(心+1)=(1+1)(心+1)，

x\—X2<O,1+xr>0,l+%2>0,1—xix2>0,

.(XI~X2)(1—X\X2)

,,C^+i)(xHi)<0,

即g(xi)—g(X2)<0,

...函数g(x)在(-1,1)上单调递增.

—X

(2)因为g(一力=正口=-g(x),则g(x)为奇函数.

由g(Ll)+g(2f)<0,得g(2f)<g(l—f).

(—1<2/<1,

又因为g(x)在(一1,1)上单调递增，则〈一1<1一《1,解得0yq.

LrO-/,

故实数f的取值范围为0<f《.

21.(本小题满分12分)如果函数y=*x)(xe。)满足：

①/U)在。上是单调函数；

②存在闭区间［a,b］^D,使/U)在区间［a,切上的值域也是［a,b］.那么就

称函数y=/(x)为闭函数.

试判断函数ynr+Zx在［―1,+8)内是否为闭函数.如果是闭函数，那么

求出符合条件的区间［a,b］；如果不是闭函数，请说明理由.

［解析］设X1,X2是［―1,+8)内的任意两个不相等的实数，且一1WX1<X2,

则有

“⑵一7(为)=(X5+2%2)—(X?+2XI)

={JA-X?)+2(X2—XI)=(X2—XI)(X1+尢2+2).

•「—「・X2—XI>0,XI+X2+2>0.

(X2-XI)(X1+X2+2)>0.

•MM/Xl).

二函数y=f+2x在［―1,十8)内是增函数.

假设存在符合条件的区间［a,b］,则有

层+24=”,

即，

J[b)=b,[b2+2b=b.

4=0,。=0,Q=-1,a=­l,

解得或3=-1或,