2023-2024学年河北省石家庄市高二年级下册第二次月考数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年河北省石家庄市高二下册第二次月考数学

模拟试题

一、单选题

1.在等差数列｛即｝中，若q=T,公差"=2,则“7=()

A.7B.9C.11D.13

【正确答案】A

【分析】根据为=-1,公差d=2,利用等差数列的性质求解即可.

【详解】因为等差数列｛m｝中，且％=T,公差4=2,

所以a7=aj+4d=7.

故选：A

本题主要考查等差数列的基本性质，属于基础题.

2.设函数/(x)在X=I处的导数为2,则lim∕03)T⑴=().

ArTOʌɪ

2

A.-2B.2C.-D.6

【正确答案】A

【分析】根据导数的定义与极限的性质计算即可.

【详解】Hmn1*上型=Hm-3±lMUlim小包匕他T,⑴=-2.

加TO∆xδx→0—∆xAxTt)—∆x

故选：A.

3.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，

每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()

A.60种B.120种C.240种D.480种

【正确答案】C

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组

合，排列，乘法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先

从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有C；种选法；然后连同其余三人，看成四个元

素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!

种，根据乘法原理，完成这件事，共有C；x4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选

后排思想求解.

4.若+的展开式中常数项为240,则正整数"的值为()

A.6B.7C.8D.9

【正确答案】A

【分析】首先写出二项式展开式的通项，依题意可得3r=0且C>4>=240,即可排除B、

C,再将A、D代入验证即可.

【详解】解：二项式(X+々J展开式的通项为7；T=C"i(3j=CKle4,

所以〃-3r=0且C：4=240,

显然0≤r≤w且为整数，即〃为3的倍数，故排除B、C,

又4'为240的因数，所以/∙=I或z∙=2,

当r=l时〃=3,此时C>4∣=12H240,不符合题意；

当r=2时〃=6,此时C>4?=240符合题意.

故选：A

5.已知等差数列｛%｝的前n项和为Sn,a5,a1是关于X的方程Y-4x+k=0的两根，贝”U=

()

A.22B.24C.26D.28

【正确答案】A

【分析】根据题意得见+%=4,又SlI(♦+4J=Il(1+4)即可求解.

22

【详解】因为的，%是关于尢的方程％2-4犬+左=0的两根，

所以%+α7=4,Sll=1与％)="(a；%)=22,

故选：A.

6.现有5种不同的颜色，给四棱锥P-ABCD的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点

颜色不能相同，一共有种方法.

A.240B.360C.420D.480

【正确答案】C

利用分布计数原理逐个顶点来进行涂色，注意讨论同色与不同色.

【详解】当顶点A,C同色时，顶点P有5种颜色可供选择，点A有4种颜色可供选择，点

B有3种颜色可供选择，此时C只能与A同色，1种颜色可选，点D就有3种颜色可选，

共有5x4x3x1x3=180种；

当顶点A,C不同色时，顶点P有5种颜色可供选择，点A有4种颜色可供选择，点B有3

种颜色可供选择，此时C与A不同色，2种颜色可选，点D就有2种颜色可选，共有

5x4x3x2x2=240种；综上可得共有180+240=420种,故选C.

本题主要考查基本计数原理，两个原理使用时要注意是分步完成某事还是分类完成某事，侧

重考查逻辑推理的核心素养.

7.设函数“x),g(x)在R上的导函数存在,且f(x)<g'(x),则当x∈(α,b)时()

A./(x)<g(x)B,ʃ(%)>>?(%)

C./(x)+g(α)<g(x)+f(α)D./(x)+g(b)<g(x)+f(6)

【正确答案】C

【分析】对于AB,利用特殊函数法,举反例即可排除;对于CD,构造函数∕ι(x)=∕(x)-g(x),

利用导数与函数单调性的关系证得MX)在R上单调递减，从而得以判断.

【详解】对于AB,不妨设"x)=-2x,g(x)=l,则/'(x)=-2,g'(x)=0,满足题意，

若x=Te(a,b),则f(x)=2>l=g(x),故A错误，

若X=O∈(",b),则f(χ)=O<l=g(χ),故B错误;

对于CD,因为F(x),g(x)在R上的导函数存在，且/'(x)<g'(x),

令〃(X)=/(x)-g(x),则"(x)=A(X)-g，(X)C0,

所以MX)在R上单调递减，

因为x∈(α,6),∖^a<x<b,所以〃(b)<∕z(x)<∕7(α),

由∕7(x)<∕z(a)得/(x)-g(x)<∕(α)-g(α),则/(x)+g(α)<g(x)+∕(α),故C正确；

由Mb)<a(x)得/(0)-g(0)</(X)-g(χ),贝∣J∕(x)+g(6)>g(x)+∕(6),故D错误.

故选：C.

8.设/(x)=OrTlnX|+1有三个不同的零点，则”的取值范围是()

A.(θ,e)B.(θ,ɛ')C.［。'-)D.(。，F)

【正确答案】D

【分析】由/(X)=5TlnM+1有三个不同的零点，可得αr+l=∣lnx∣有三个不同的零点，画出

图形，利用导数求解切线方程，进而可得切线斜率，结合图象关系即可求解.

【详解】如图，由/(x)=0r-MX+l有三个不同的零点，可得αx+1=11词有三个不同的零点,

画出函数>Hlm∣的图象，直线N=依+1过定点(0,1),

当x>l时，设过(0,1)的直线与y=Inx的切点为(XO,3。),

由y=lru,得y=L∙∙∙y'L=故切线方程为y-瓜％=L(x-%),

X⅞⅞

把定点(0,1)代入得：1TH=-1,即％=e2.

WL=M=F，

即直线y=奴+1的斜率为α=4∙.

e

则使/(x)="-∣lnx∣+l有三个不同的零点的”的取值范围是

故选：D

二、多选题

9.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、”乐”、“射"、"御”、"书”、

“数''六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是()

A.从六门课程中选两门的不同选法共有20种

B.课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种

C.课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种

D.课程“乐”、"射"、"御’’排在都不相邻的三天的不同排法共有72种

【正确答案】BC

【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答.

【详解】对于A,从六门课程中选两门的不同选法有方=15种，A不正确；

对于B,前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有5A；=600种，B正确；

对于C,“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有2A；=240

利％C正确；

对于D,先排“礼”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”，不同排法共有A；A：=144

种，D不正确.

故选：BC

2022

10.若(I-X)2必++a2022x,则()

A.⅝=1B.q=2022

C.al+a2++<22022=—1D.a0—at+a2—a3++a2022=ɪ

【正确答案】AC

【分析】对ACD,由赋值法可判断；对B,由二项式展开项通项公式可求.

【详解】对A,令X=O得4=1,A对；

对B,由二项式展开项通项公式可得第2项为

120211

T2=C20221(-x)=-2022x=α1x=q=-2022,B错

对C,令X=I得4)+4+%++〃2O22=°n4∣+“2++〃2022=—=-1，C对；

对D,令X=-I得4-4+。2-%++⅛2=22022,D错.

故选：AC.

11.已知等比数则｛%｝的公比为q(q>0),前〃项积为7.，若。>(>£,则()

A.0<^<lB.q>i

C.ZJ3>1>7]4D.T]4>\>Ti5

【正确答案】AC

【分析】利用数列的基本性质可得出生>1,O<α√⅞<l,求出4的取值范围，可判断AB选

项；利用等比数列的性质可判断CD选项.

【详解】因为数列等比数则｛%｝的公比为q(4>0)且刀>4>£,则

6l+2+3+4+5

T6=ata2a,aia5a6=al⅛=>0,

aca

所以，ι,hi=ɪ<1,

16/6

α

又因为%4=”得>0，则0<A<l<”;,所以，α7>l><⅞>0,从而q>0,

故对任意的〃eN*,an=alq"^'>0,由%>q=>。可得。<4<1，A对B错；

a71

T13=ata2"13=4>1，0=4%«14=(z⅞)<»即Z3>∣>Z4,C对D错.

故选：AC.

12.斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引

入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用耳表示斐波那契数列

的第"项，则数列｛q｝满足：%=%=1，4,+2=4,+1+4,,记Zq=4+%+…+α,,,则下列

/=I

结论正确的是()

A.⅜=34B.3an=an_2+a,,+2(n>3)

20212019

aa

C.Zq=2(m'2022D∙Z4="2021

r=l/=I

【正确答案】ABC

【分析】由数列的递推公式可判断AB,由累加法可判断CD.

【详解】由4,+2=4+∣+4知，｛%｝的前IO项依次为：1，1，2,3,5,8,13,21,34,

即〃9=34,A项正确；

根据递推公式C=CT+%.2,

a+a+aaaaa+

得,,,,n=n-2+,,-∖+%+,,=,,-2+4用4=«,,.2+¾+2(∏≥3).B正确；

2

"l="2'〃］，

cc1=a2∖a3-a^)=a2∙a3-a1∙aλ

M=(¾∙(¾-¾)=Λ3∙¾-a3∙a2,

LL,

¾21=¾021∙(%O22—¾O2O)=¾O2I,¾)22—¾O21，⅞O2O，

2021

所以4+〃2。2021=。2021，“2022，即:Σ。；=。2021，“2022,故C正确；

Z=I

由递推式，得见一。2=。1，。4-。3=。2，…，”2021一”202()=%()19，

累加彳等%—生+04—03+,,,+。2021—°202()=4+%+，，，+。2019，

所以4g一?=6+々+…+4。】9，

a

所以4+a2+∙∙∙+%0i9=¾02I-2=402l-］，

2019

a

即Zi=。2021—1，D项错误；

/=1

故选：ABC.

三、填空题

13.数歹!j{4}的前几项和S.="+"-?,贝IJq=.

【正确答案】8

【分析】利用5“和/的关系即可.

2

【详解】.Sll=n+n-39

2

:.S4=4+4-3=17,

2

S3=3+3-3=9

/.a4=S4-S3=17-9=8.

故8.

U.已知函数/a)=/+/./，⑴，则/㈠)=.

【正确答案】9

【分析】先对函数求得，进而求得了'⑴的值，得到r(x)=3d-6x,代入尸-1,即可求解.

【详解】由题意,函数/a)=/+/./⑴，可得尸(X)=3χ2+2x∙∕'⑴,

令X=I,可得1(l)=3+2r(l),解得r⑴=-3,所以r(x)=3∕-6x,

所以r(τ)=9.

故9

本题主要考查了导数的运算，以及导数值的计算，其中解答中熟记导数的运算公式，以及函

数在某点处的导数的意义是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

15.已知3xl*+α(0W4<13)能被13整除，则实数〃=.

【正确答案】IO

【分析】首先根据题意得到3xl2Q+α=3x(137)□+”,再利用二项式定理展开即可得到答

案.

【详解】因为3xl2"+a=3χ(13-J2+a=3(13∣2-CQ3"+-C：」3+l)+a,

所以3+α=13,即4=10.

故10

16.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数的一些代数性质直观地体现

在数阵中.在杨辉三角的10行数字中，存在两个相邻的数字之比为1:2的共有行.

第ŋ行I

第I行II

第2行I2I

第3行1331

第4行14641

第5行I3IOIO5I

第6行I6)520IS6I

【正确答案】3

【分析】由题意设第〃行相邻的两个数为C>，C：,根据组合数公式化简，再由整除取值即

可.

【详解】由题意，第"行各数从左到右均满足CJpreN,”eN,r≤",

r

设第〃行相邻的两个数为C：T,Cn,则第τ：C：=1:2,

,n∖r!("-r)!1

贝!]--------------X---------------------=—,

(r-l)!(∕j-r+l)!n∖2

r1

化简得------,即3r="+l,∕ι=0,1,2,10,

n-r÷l2

故3r=3,6,9,共有3项.

故答案为.3

四、解答题

17.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数.

（1）可组成多少个不同的四位数？

（2）可组成多少个不同的四位偶数？

【正确答案】（1）300；（2）156.

【分析】（1）第一步排千位数字有4种不同排法，第二步排百位、十位、个位数字看种不

同排法，

最后组成不同的四位数有300种，

（2）先求第一类个位数字为0有种不同排法，再求第二类个位数字为2或4,则0不能

排在千位，有种不同排法，最后求组成不同的四位偶数有156种.

【详解】解：（1）根据题意分步完成任务：

第一步：排千位数字，从1,2,3,4,5这5个数字中选1个来排，有&=5种不同排法；

第二步：排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的5个数字中选3个来排列，有

6=5x4x3=60种不同排法；

所以组成不同的四位数有5x60=300种，

（2）根据题意分类完成任务：

第一类：个位数字为0,则从1,2,3,4,5这5个数字中选3个来排在千位、百位、十位,

有&=5x4x3=60种不同排法;

第二类：个位数字为2或4,则0不能排在千位，有N=2x4x4x3=96种不同排法；

所以组成不同的四位偶数有60+96=156种.

本题考查排列、组合的综合应用，是中档题.

18.已知（2«+,］展开式中前三项二项式系数之和为46.

（1）求”的值.

(2)请求出展开式的常数项.

【正确答案】(1)〃=9,

(2)5376.

【分析】(1)由二项式展开式的通项公式求前3项的二项式系数，列方程求〃；

(2)根据通项公式确定常数项的项数，由此求常数项.

(L1λπn-kn-3k

【详解】(1)二项式24+—的展开式的通项为(I=c：∙2"T’∙χk^∙χ-*=C：∙2"'∙χ(，

所以(24+J)”展开式中前三项二项式系数依次为：C；,C：,C：,

由已知可得C?+C,+C=46,

解得〃=9或〃=-10,又〃为大于等于2的正整数，

故鹿=9；

(L1A99-3K

(2)由⑴2五+：的展开式的通项为心=Cf∙x丁，

令4^=0,得4=3,

2

所以∣24+gj的展开式的常数项为C>26=5376.

19.已知函数/(x)=gxi-4x+l.

(1)求曲线y=f(χ)在点(o,∕(θ))处的切线方程；

(2)求y=∕(χ)在［-1,1］上的最大值和最小值.

【正确答案】(1)4x+y-l=0；(2)最大值〃-1)=可，最小值/⑴=一］.

【分析】(1)利用导数的几何意义，求得切线斜率，利用点斜式即可得解；

(2)利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可求得最值.

【详解】(1)由F(X)=gd-4x+l得，f'(x)=x2-4,

：./(0)=l,∕,(0)=-4,

ʌ曲线y=/(x)在点(0/(0))处的切线方程>-l=Y(X-O),即4x+y-\=0；

(2)令/'(x)>0可得x>2或x<-2,此时函数单调递增，

令∕,(x)<O可得-2<X<2,此时函数单调递减，

故函数AX)在［-1,1］上单调递减，

148

ʌ/(X)的最大值/(-D=y，最小值/(D=•

20.已知数列｛%｝满足4=l,α,,M=2。,,+1(〃wN")

(1)求证：数列｛%+1｝是等比数列；

(2)设H=〃，求｛qd｝的前"项和T11

【正确答案】(1)证明见解析；

,,t

(2)Tn=2'(n-l)+2

【分析】(1)根据题干条件构造出+1=2(%+D("WN∙),结合等比数列定义证明结论;

(2)先求出｛q也,｝的通项，利用分组求和法和错位相减法求出结果.

【详解】(1)因为—=2%+l(,wN∙),

所以4M+1=2(%+D("GN*),又4+1=2,

所以%1=2("∈N*),

4,+l

•••数列｛«„+1｝是首项为2,公比为2的等比数列.

,,

(2)由(1)知，an+l=2-2"-=2",Λan=2'-1,

%也="(2"-1),

T,=atbl+a2b2+α3⅛3+…。也，

=1(2I-1)+2(23-1)+3(2',-1)+∙∙∙M(2,,-1)

=(1∙2'+2∙22+3∙23+∙∙∙Λ∙2,,)-(1+2+3+∙∙∙+∕J)

=l∙2'+2∙22+3∙23+∙∙∙n∙2,,

25,,=l∙22+2∙23+3∙24+∙∙∙n∙2π+'

两式相减-S,=l∙2∣+22+23+∙∙∙2"-"∙2"M,

ɔ_ɔw+1

所以—S'=三、一一〃・2向

所以Sn=2MmT)+2,

(∖-∖-n｝n

又1+2+…+〃=ʌ-----—，

2

21.已知在递增数列｛%｝中，4，生为函数/a)=/TlX+24的两个零点，数列｛”“+「为｝是

公差为2的等差数列.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)设数列的前〃项和为S,,,证明.S,,<I

【正确答案】(1)%=〃(〃+2)；

(2)证明见解析.

【分析】(1)求出函数/(x)的零点，并求出数列｛。用一凡｝的通项，再利用累加法求出｛4｝的

通项；

(2)由(1)的结论，利用裂项相消法求和作答.

【详解】⑴函数/(X)=X2T1X+24的零点为3,8,而数列｛叫递增，则《=3吗=8,

a2-ax=5,

因此数列｛%.「4｝是以5为首项,2为公差的等差数列,则0i=2一+3,

当2时，=q+(“2-q)+(〃3—〃2)++(。“一〃〃-1)=3+5+7++(2∕?+1)

=3+(；+D.〃=“(〃+2),而q=3也满足上式，

所以数列｛为｝的通项公式是q="("+2)∙

(2)证明：由(1)得一==3--------L

ann(n+2)2∖nn+2J

因此s,=g

ʧ,I

=—1H-----

212

3

所以S“<力

22.函数/(x)=e*-αx(aeR),g(x)=Inx-V.

(I)讨论/(x)的单调性；

(II)若对于VX>0,总有f(x)≥g(x),求实数”的取值范围.

【正确答案】(I)分类讨论，答案见解析；(H)(-∞,e+l].

【分析】(I)对函数进行求导，利用导数研究函数的单调性，即可求解；

(II)分离参数，转化为分式函数的最值问题即可求解；或令=f(x)-g(x),将问题转

化为求A(X)En即可求解；或根据切线不等式e'≥ex,XTzlnx,f≥2χT将关于”的分式

不等式进行转化即可求解.

【详解】解：(I)由题意得/'(χ)=∕-α.

当α40时，f↑x)>O,函数〃x)在R上单调递增；

当4>0时，由/"(X)=0得X=In4,

当X<In4时，/'(x)<0

当x>Ina时，f∖x)>0,

所以函数/(x)在(-8,Ina)上单调递减，在(Ina,物)上单调递增.

(II)解法一：由AX)≥g(x),得“4e∏nX

X

设版外=