2024年上海市徐汇区高二年级上册期末统考数学试卷含详解

2023-2024学年上海市徐汇区高二年级上学期

期末统考数学试卷

2024.1

一、填空题（本大题共有12小题，满分48分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,

每个空格填对得4分，否则一律得0分.

1.设A是一个随机事件，则0（A）的取值范围是.

2.已知向量”=（，）,（‘‘），a"。,则mn的值为.

3.抛掷3枚质地均匀的硬币，最多1枚正面朝上的概率为.

4万

4.球的体积是3,则球的表面积是

5.管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放

回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有条鱼.

6.在30。二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是则这个点到二面角的棱的距离为

7.用斜二测画法画一个水平放置边长为12的正三角形的直观图，则该直观图的面积为.

8.某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、

11,2、10.6、11.7,则这组数据的第80百分位数为.

9.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AAi=8.若侧面44/18水平放置时，液面恰好过AC,BC,

AiCi,SG的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为

10.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10°即为入冬.将连续5天的日平均温度的记录数据（记录

数据都是自然数）作为一组样本，现有3组样本①，②，③，依次计算得到结果如下：①平均数％<4且极差小于

或等于3；②平均数％<4且标准差s<4；③众数等于5且极差小于或等于4,则3组样本中一定符合入冬指标的

样本组号是.

11.如图，在正四棱柱.8-A4GR中，底面ABCD是正方形，且AB=2,明=4,经过顶点&和C各作

一个平面与平面平行，前者与平面A3CD交于自，后者与平面A8与人交于则异面直线4与4所成角的

余弦值为.

12.点。是正四面体44&44的中心，1°闻=1（'=123,4）,若0尸=404+404+404+4044,其中

0<4WI«=I，2,3,4）,则动点「扫过的区域的体积为.

二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位

置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.已知直线应0和平面e,若。//£,贝是“匕的（）条件.

A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要

14.某家大型超市近10天的日客流量（单位:千人次）分别为：3.4、3.6、5.6、1.8、3.7、4.0、2.5、2.8、4.4、3.6.下列

图形中不利于描述这些数据的是（）

A.散点图B.条形图C.茎叶图D.扇形图

15.甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同

学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的

概率为

甲乙

87585668

5329■9

234

A.B.C.D.

555

16.已知点M为正方体ABC。-A4G2内部（不包含表面）的一点.给出下列两个命题:

小：过点M有且只有一个平面与441和4G都平行；

%:过点M至少可以作两条直线与441和qG所在的直线都相交.

则以下说法正确的是（）

A.命题必是真命题，命题％是假命题B.命题必是假命题，命题%是真命题

C.命题名,%都是真命题D.命题%,%都是假命题

三、解答题(本大题满分56分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区

域内写出必要的步骤

17.某中学有高一年级学生600人，高二年级学生400人参加知识竞赛，现用分层抽样方法从中抽取100名学

生，对其成绩进行统计分析.得到如下图所示的频率分布直方图.

频率/组距

0.030

0.025

0.020

0.015

0.0101—

0.005

O'405060708090100成绩

(1)求从该校高一年级、高二年级学生中各抽取的人数;

(2)根据频率分布直方图，估计该校这1000名学生中竞赛成绩在60分(含60分)以上的人数.

18.如图，在直四棱柱ABC。—4月。1。中，AB!ICD.ABLBC.A\=AB=BC=2,CD=3,E为人内的中

AF1

点，点户在上，且满足工方二£

(i)求直四棱柱ABCD—A4G。的侧面积

AG2

(2)设点G在4。上，且于K=试判断直线AG是否在平面AEF内，并说明理由.

19.甲乙两人进行某项比赛

(1)若比赛结果有胜利、失败、平局三种，已知甲获胜概率为0.4,甲不输的概率为Q9,求甲乙两人取得平

局的概率；

(2)若比赛结果只有胜利、失败两种，已知甲获胜的概率为2对于甲来说，一局定胜负和三局两

2

胜两种比赛方式比较，试问哪种比赛方式对甲更有利？说明你的理由.

(说明：“三局两胜”是常见比赛模式，指先赢得两局者为胜，做多三局结束)

20.如图，在多面体A5CDEF中，四边形A3CD为正方形，DE1平面

ABCD,DE//BF,AD=DE=2,BF=L

2

E

(1)求证：AC±EF

2

(2)在线段DE上是否存在点G,使得直线BG与AD所成角的余弦值为?？若存在，求出点G到平面ACN的

距离，若不存在，请说明理由.

21.如图，圆台0Q的轴截面为等腰梯形44。£，&。=244=24。1=4,5为底面圆周上异于4。的点

(1)若尸是线段中点，求证：£P//平面4A3

(2)若AB=BC,设直线/为平面AA3与平面GCB的交线，点Qe/，BCi与平面QAC所成角为々，求sina

的最大值.

2023-2024学年上海市徐汇区高二年级上学期

期末统考数学试卷

2024.1

一、填空题(本大题共有12小题，满分48分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,

每个空格填对得4分，否则一律得0分.

1.设A是一个随机事件，则0(A)的取值范围是.

【答案】［0』

【分析】根据概率的基本性质可得结果.

【详解】因为随机事件的概率0W尸(A)Wl,

故答案为：［0,1］.

2.已知向量〃=(一机1,3),6=(2,若〃〃则相儿的值为.

【答案】-2

【分析】运用向量平行坐标运算公式即可.

【详解】Vallb，

—m13——1

---=—=一,斛得：m=-6,n=—,

2n13

mn=-2.

故答案为：-2.

3.抛掷3枚质地均匀的硬币，最多1枚正面朝上的概率为.

【答案】g##0.5

【分析】求一枚正面朝上的概率与没有正面朝上的概率，利用加法公式，可得结果.

【详解】抛掷3枚质地均匀的硬币，恰好一枚正面朝上的概率为A=3X(1)3=|,

没有正面朝上的概率为2=§)3=",两个事件互斥，

所以最多1枚朝上的概率为〃=Pi+。2=；.

故答案为：g.

4〃

4.球的体积是一，则球的表面积是

3

【答案】4兀

【分析】根据球的体积求得球的半径，由此求得球的表面积.

【详解】设球的半径为，•，依题意一•r3=—,r=l,故球的表面积为4兀4兀.

33

故答案为4兀.

【点睛】本小题主要考查球的体积和表面积有关计算，属于基础题.

5.管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放

回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有条鱼.

【答案】50000

【分析】设这个水库里大概有〃条鱼，利用等比例性质求”即可.

【详解】令这个水库里大概有〃条鱼，由题意有幽=用-,可得”=50000条.

n1000

故答案：50000

6.在30。二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10cm,则这个点到二面角的棱的距离为

【答案】20

【分析】画出简图，结合三角函数关系即可求解.

如简图所示，两平面相交于点/,PAVl,PA^a,MALl,MA^/3,PML/3,尸河=10,贝U为二面角

的平面角，则AP=20,即点P到二面角的棱/的距离为20.

故答案为：20

7.用斜二测画法画一个水平放置的边长为12的正三角形的直观图，则该直观图的面积为.

【答案】976

【分析】斜二测画法画平面图形的直观图的面积是原图面积的变倍.

4

【详解】边长为12的正三角形的面积为3x122=36百，

4

斜二测画法画的直观图面积S=g368=976.

4

故答案为：9A/6.

8.某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、

11.2、10.6、11.7,则这组数据的第80百分位数为.

【答案】10.8

【分析】将数据从小到大排序后，运用百分位数的运算公式即可.

【详解】数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7,共有12个,

所以12x80%=9.6,

所以这组数据第80百分位数是第10个数即：10.8.

故答案为：10.8

9.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AAi=8.若侧面A4bB由水平放置时，液面恰好过AC,BC,

AiCi,BiG的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为_.

【答案】6

【分析】利用相似得到水的体积和容器体积的比，再结合水的体积相等列等式，解方程即可求解.

【详解】当侧面AA山方水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，

3

设△ABC的面积为S,贝US梯彩=—S,

4

3

水的体积丫水=—SxA4i=6S,

4

当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为人

则有V水=S/?=6S,得/?=6,

即当底面ABC水平放置时，液面高为6.

故答案为：6.

10.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10C即为入冬.将连续5天的日平均温度的记录数据（记录

数据都是自然数）作为一组样本，现有3组样本①，②，③，依次计算得到结果如下：①平均数是＜4且极差小于

或等于3；②平均数是＜4且标准差s44；③众数等于5且极差小于或等于4,则3组样本中一定符合入冬指标的

样本组号是.

【答案】①③

【分析】用极差，平均数及众数的概念结合条件判断①③，举反例判断②.

【详解】对于①，假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3

得到此数据中最小值为10-3=7,此时数据的平均数必然大于7,

与x<4矛盾，故假设错误,

所以此组数据全部小于10,符合题意，故①正确；

对于②，举反例：1,1,1,1,11,平均数x=3<4，且标准差s=4,

但不符合入冬指标，故②错误；

对于③，因为众数为5,极差小于等于4,

则最大数不超过9,故③正确.

故答案为：①③.

11.如图，在正四棱柱ABC。—A4CQ中，底面A3CD是正方形，且AB=2,M=4,经过顶点A和C1各作

一个平面与平面。耳2平行，前者与平面A3CD交于乙，后者与平面交于小则异面直线4与6所成角的

余弦值为.

【答案席

【分析】利用平面与平面平行的性质定理，得与。〃/1,CD}//12,求用，与CR所成的角的余弦值即为所求.

【详解】设平面CBJAC平面ABCD=m,因为a〃平面C5Q1，所以m/4,

又因为平面ABCDH平面4月。12,且平面CBRn平面=用，，

所以耳。〃/〃，

因为平面ABB^//平面DCC,DX,且平面CBQin平面DCCR=CD,,

同理可证C2〃4,异面直线4与4所成角即用n，a>i所成的NC。耳

在正四棱柱ABC。—中，底面A3CD是正方形，且A3=30=2,44=4,

22

3Q=V2+2=272，CR=CB}=6+42=2亚，

cosN04=*+4*街=20+尸=典

2xCDixBiA2X2A/5X2A/210

所以异面直线4与/，所成的角的余弦值为®.

10

故答案为：叵.

10

12.点o是正四面体4444的中心，|04|=1«=1，2,3,4)^8=404+432+4045+40%,其中

0<^<1(/=1,2,3,4),则动点p扫过的区域的体积为.

【答案】

99

【分析】将正四面体44AA放入正方体中，得到正方体的体对角线是2|Q4j,从而得到该正方体的边长，再根

据条件得到产扫过的区域的体积即可.

【详解】图，作出正四面体4444，

将正四面体4444放入正方体中，如下图所示:

则。是该正方体的中心，

设该正方体的棱长为。，则/+/+/=1*2,解得：a=正,

3

又O尸=4客+4%+4%+4%，0<^<l(z=l,2,3,4),

则知P扫过的区域的边界是以该正方体的六个面作延伸的六个全等的正方体的中心为顶点的正方体，其中两个面

如下图所示：

可得动点P扫过的区域的体积为该正方体体积的2倍，

即动点P扫过的区域的体积V=2x］半j=今8.

故答案为：丑叵.

9

二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位

置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.已知直线和平面a,若alla,则“方，a”是“a”的（）条件.

A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要

【答案】B

【分析】充分性，以正方体为例，把直线和平面戊对应正方体的棱和面，举出反例即可；必要性利用线面平行

的性质定理和空间平行线的性质判断即可.

【详解】必要性，若alla,则存在直线mua,a//m,

由于Z?_Lc,znua,得b_Lm,

因为Z?_L"z,a//m,所以b_La,必要性成立；

充分性：若平面A3CD为平面戊，直线4月为直线。，直线与G为直线力，满足a//a,b±a,

但耳G〃平面A3CD,即b〃。，不满足充分性;

所以是的必要非充分条件；

故选：B.

14.某家大型超市近10天的日客流量（单位:千人次）分别为：3.4、3.6、5.6、1.8、3.7、4.0、2.5、2.8、4.4、3.6.下列

图形中不利于描述这些数据的是（）

A.散点图B.条形图C.茎叶图D.扇形图

【答案】A

【分析】根据数据的特征以及各统计图表的特征分析即可；

【详解】解：茎叶图、条形图、扇形图均能将数据描述出来，并且能够体现出数据的变化趋势；散点图表示因变

量随自变量而变化的大致趋势，故用来描述该超市近10天的日客流量不是很合适；

故选：A

15.甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同

学对其中一次成绩记忆模糊,只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的

概率为

甲上______

87585668

5329■9

234

A.-B.D.

5555

【答案】C

【分析】

首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可.

_88+87+85+92+93+952

【详解】由题意可得:漏=----------------------=90,

6

85+86+86+88+90+99+xF，

设被污损的数字为X,则：%乙=

6

Y

满足题意时，/甲＞x乙,即：90＞89H—=＞犬＜6,

6

即x可能的取值为X=0』,2,3,4,5,

结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：p=—=~.

105

故选c.

【点睛】本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转

化能力和计算求解能力.

16.己知点M为正方体4q内部（不包含表面）的一点.给出下列两个命题：

q］：过点M有且只有一个平面与A4和都平行；

%：过点M至少可以作两条直线与A4和用G所在的直线都相交.

则以下说法正确的是（）

A.命题处是真命题，命题生是假命题B.命题6是假命题，命题％是真命题

C.命题41，0都是真命题D.命题孙，％都是假命题

【答案】A

【分析】根据题意作出图形，根据异面直线定义和线面平行判断即可.

【详解】已知点”为正方体ABC。—44G。内（不包含表面）的一点，过点M的平面为a,

如图所示：

对于小,在平面A41n。与平面BBgC之间与平面与平面BB©C平行的平面均与AA1和B©平行，如平

面a

,当点M为正方体ABC。-A4G。内（不包含表面）的一点，满足要求的平面有且只有一个，故命题处是真命

题；

对于%，A%〃平面5月G。，所以如果用点在面351GC上时，

过"的直线如果跟瓦C相交，则与A&异面，不会相交，所以命题为是假命题.

故选：A.

三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区

域内写出必要的步骤

17.某中学有高一年级学生600人，高二年级学生400人参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取100名学

生，对其成绩进行统计分析.得到如下图所示的频率分布直方图.

］频率/组距

。0。5出土］土b,

516b738’0命力0最绩

（1）求从该校高一年级、高二年级学生中各抽取的人数；

（2）根据频率分布直方图，估计该校这1000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.

【答案】（1）60人、40人

（2）750人

【分析】（1）根据分层抽样计算方法计算可得；

（2）由频率分布直方图求出竞赛成绩在60分（含60分）的频率，即可估计人数.

【小问1详解】

依题意从高一年级学生中抽取100x―咂—=60人，

600+400

从高二年级学生中抽取100x—以一=40人，

600+400

【小问2详解】

由频率分布直方图可得竞赛成绩在60分（含60分）的频率为（0.015+0.03+0.025+0.005）x10=0.75,

所以估计该校这1000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数为1000x0.75=750人.

18.如图，在直四棱柱ABC。—44Goi中，AB//CD,AB±BC,AAl=AB=BC=2,CD=3,E为的中

点，点产在4。上，且满足7K

（1）求直四棱柱ABC。—44GR侧面积

A.G2

（2）设点G在4。上,且力=§,试判断直线AG是否在平面4跖内,并说明理由.

【答案】⑴14+26；

（2）在平面内，理由见解析

【小问1详解】

由题意知AD=A/12+22=J5

则直四棱柱ABCD—吊与q的侧面积为(AD+DC+BC+AB)xAAi=(+3+2+2)x2=14+2

【小问2详解】

过A作AHCD交CD于点H,

以AH,AB,方向为x,%z轴的正方向建立空间直角坐标系.

则4（0,0,0）,6（0,2,0）,。（2,2,0）,。（2,—1,0）4（0,0,2）.

AF1

又E为48的中点，点产在4C上，且满足若=不

A.G2

点G在4。上，且六；=彳，

AXD3

则/、矶(224、/卜422、.AE=(/O,Ll、),AF=(|j2,2§4,J、

设n=(x,y,z)为平面的法向量，

y+z=0

则1224八

—x+—y+—z=(J

〔333

设y=l,可得〃=(14,-1).

4_22422

又AG=,AG”=-----------=0.

3，-3,3333

则直线AG在平面AEE内.

19.甲乙两人进行某项比赛

（1）若比赛结果有胜利、失败、平局三种，已知甲获胜的概率为0.4,甲不输的概率为0.9,求甲乙两人取得平

局的概率；

（2）若比赛结果只有胜利、失败两种，已知甲获胜的概率为。（0<p<工），对于甲来说，一局定胜负和三局两

2

胜两种比赛方式比较，试问哪种比赛方式对甲更有利？说明你的理由.

（说明：“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，做多三局结束）

【答案】（1）0.5（2）一局定胜负对甲更有利

【分析】（1）甲不输是甲获胜与平局互斥的和事件，利用加法公式，求平局的概率；

（2）分别计算一局定输赢和三局两胜情况下甲获胜的概率，比较大小.

【小问1详解】

甲乙两人取得平局的概率为0.9-0.4=0.5.

【小问2详解】

对于甲来说，一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为。，

三局两胜的情况下，赢得比赛的概率为p2+2"（l—〃），因为o<p<g,

p2+2p2（1-p^-p=3p2-2^-p=2p2-2p3+p2-p=（l-p（2p-l^<0,

所以p2+2p2（l—p）<〃，则一局定胜负对甲更有利.

20.如图，在多面体A5CDEF中，四边形A3CD为正方形，DE1平面

ABCD,DE//BF,AD^DE=2,BF^-.

（1）求证：AC±EF

2

（2）在线段上是否存在点G,使得直线BG与AD所成角的余弦值为§?若存在，求出点G到平面的

距离，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）也

【分析】（1）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得；

（2）设线段0E上存在一点G（0,0/）,使得5G与A。所成角的余弦值为：，利用空间向量法求出/?,再由向

量法求出点到平面的距离.

【小问1详解】

因为四边形A3CD为正方形，DE1平面A3CD,

如图以。为原点，分别以D4,OC,OE的方向为苍％z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

则。（0,0,0）,A（2,0,0）,3（2,2,0）,C（0,2,0）,E（0,0,2）,2^2,2,£|,

所以AC=(—2,2,0),EE=[2,2,—q

所以/=—2x2+2x2+0=0,

所以ACJ_EE，所以AC，石户.

【小问2详解】

设线段DE上存在一点G（0,0,/z）,0</z<2,使得BG与AD所成角的余弦值为|,

贝UBG=（—2,—2,/?）,又旬=（一2,0,0）,

所以IcosBG,AD\=4-=|,解得/z=1（负值舍去），

11，8+/x23

所以存在G（0,0,1）满足条件，

所以AG=（—2,0,1）,依题意可得AC=（—2,2,O）,AF=[o,2,g）,

设〃=（x,y,z）为平面ACF的法向量,

AC-n=—2x+2y=0

设可得为=)

则AF,〃=2y+