2023-2024学年上海市松江区高二年级下册期中数学质量检测试题（含答案）

2023-2024学年上海市松江区高二下册期中数学质量检测试题

一、填空题

1.已知C：=15,则"=.

【正确答案】6

【分析】由组合的计算公式求解即可.

【详解】因为C：=15,所以当I=I5,所以"=-5(舍)或〃=6,

所以”=6.

故6.

2.已知”=(l,y,2),6=(0,1,-1),且4工人，则N=.

【正确答案】2

【分析】根据空间向量垂直的坐标表示可解.

【详解】因为“/b，α=(L%2),⅛=(0,1,-1)

所以<7∙b=y-2=0,解得丫=2.

故2

3.已知一个随机变量X的方差D(X)=I,则。(2X-1)=.

【正确答案】4

【分析】根据方差性质X+勿=MO(X)可得.

【详解】由方差性质。(αX+加=∕O(X)可得

E>(2X-1)=4D(X)=4.

故4

4.从0,1,2,L,9这10个自然数中任取2个不同的数，它们的积是奇数的概率为.

【正确答案】I

【分析】利用组合公式先求总的基本事件数，然后再求积为奇数的基本事件数，由古典概型

概率公式可得.

【详解】根据题意，记取出的两个数的积为奇数为事件A,从10个数中任取2个数相乘，

inO

有C：。=45种情况，若取出的两个数全部为奇数，有C：=lO种，则尸(A)=翥=§

故:

5.某校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为180的样本,

已知从学生中抽取的人数为165,则该学校的教师人数是.

【正确答案】200

【分析】根据分层抽样各层样本容量和总体个数的比值关系可解.

【详解】从所有师生中抽取一个容量为180的样本，已知从学生中抽取的人数为165,则老

师抽取180-165=15人，则该学校的教师人数羔*2400=200人.

故200

6.当〃≥2,化简：CJ,-2C>+(-1)*-'⅛C*++(-l)"-'nC:=.

【正确答案】0

【分析】构造二项式，对其求导，然后赋值计算即可.

【详解】因为I-(I-X)"=C,x-C>2++(T严

两边对X求导数得：

W(I-X)a=C；-2C%+3CX-+(-∖)"-'nC'∙χ"-',

令X=I,代入上式，

即得：C,-2C：+3C”+(-lΓlnC>0,

故0.

7.甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为().3,乙命中目标的概率为

0.5,则该目标至少被命中一次的概率为.

【正确答案】0.65

【分析】根据题意，由概率计算公式代入计算即可得到结果.

【详解】设目标至少被命中一次的概率为8,

贝IJP(B)=0.3X(1-0.5)+(1-0.3)×0.5+0.3×0.5=0.65

故答案为:0.65

8.把一颗质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件A为“所得点数之和是偶数”,记事件B为“至

少有一次点数是4"，则P(BlA)=.

【正确答案】ɪ

1o

【分析】列举出事件A的所有基本事件，然后从其中找出满足事件B的基本事件，利用古

典概型概率公式可得.

【详解】事件A有下列可能：0,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),

(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)共18种：

满足B条件有:(2,4),(4,2),(4,4),(4,6),(6,4),共5种，所以P(BIA)=[

18

故W

18

9.某活动小组有4男3女共7名学生在博物馆参观后排队合影留念.若这7人排成一排，

且3名女生互不相邻，则共有种不同的排法.

【正确答案】1440

【分析】根据题意，女生互不相邻，属于不相邻问题，所以先排其他人，再把女生插入排好

的空档中即可.

【详解】先把四个男生排成一排有A：种排法，在每一种排列中有五个空档(包括两端)，再

把三个女生插入空档中有A：种方法，所以共有A：A；=1440种不同方法.

故1440.

10.已知除颜色外完全相同的10个小球，其中3个白色，3个红色，4个黑色.现将它们从

左至右随机排成一排，则3个红球恰好排在一起的概率是.

【正确答案】ɪ

【分析】利用捆绑法可求得3个红球恰好排在一起的方法数，结合小球随机排列的方法总数,

根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】10个小球随机排列，有A：：；种情况；

把3个红球看成一个整体，有A；种情况，然后把这个整体与其他小球排序，有A；种情况；

.∙.3个红球恰好排在一起的概率是.第=2=L

Aʊ9015

故答案为.工

11.某班共有40名学生，其中23名男生的身高平均数为173cm,方差为28；17名女生的

身高平均数为162cm；若全班学生的身高方差为62,则该班级女生身高的方差为

1537

【正确答案】

^40^^

【分析】求出班级平均身高，然后利用方差的性质可解.

23x173+17x1626733

【详解】由题意可知，所有学生的平均身高为:设班级女生身高

4040

的方差为X,

2328+073一鬻j1767332

则，X+—×x+162----=-62,

4040(40

所以X=呼1537，即该班级女生身高的方差为1W537.

4040

故答案_为.军1537

12.将一枚均匀的硬币连续抛掷〃次，以匕表示没有出现连续3次正面的概率.已知

Pn=aPn_x+bPn_2+cP„_3(n≥4),贝ljα+b+c=.

7

【正确答案】-/0.875

O

【分析】由题意表示没有出现连续3次正面的概率，则利用分类讨论法列表分析即可找

出4,6,c的值.

【详解】要求即抛掷〃次没有出现连续3次正面的概率，

分类进行讨论，

若第〃次反面向上，前n-l次未出现连续3此正面即可；

若第〃次正面向上，则需要对第n-l进行讨论，依次类推，得到下表：

第〃次n-l次"-2次概率

反面

正面反面

正面正面反面8%

所以e=lei+jg-2+!e-3(“≥4),

Z4o

me71117

所以〃+/?+C=-H----F-=—.

2488

7

故答案为

O

二、单选题

13.下列命题中假命题是（）

A.一组数据的极差可以表示这组数据的波动范围大小；

B.任意给定统计数据，都可以绘制散点图；

C.茎叶图既可以用于呈现单组数据，也可以用于对两组同类数据的比较分析；

D.一组数据中的百分位数既可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数.

【正确答案】B

【分析】根据极差、散点图、茎叶图和百分位数的定义即可判断答案.

【详解】极差表示最大值与最小值的差距，它在一定程度上能表示这组数据的波动大小范

围.A正确；

散点图应该是表示两个变量组成的数对.B错误；

根据茎叶图的作法可知，C正确；

一组n个观测值按数值大小排列，处于p%位置的值称第p百分位数，例如中位数是第50

百分位数，显然中位数可以在数据中，也可以不在数据中∙D正确.

故选：B.

14.设机，〃分别是平面α,夕的法向量，直线/的方向向量为“，以下结论错误的是（）

A.若则B.若加j_d，则/〃α

C.若〃?〃d，则/D.若加〃”，则α〃?或α,仅重合

【正确答案】B

【分析】根据空间向量证明面面垂直、线面平行、线面平行和面面平行方法判断选项即可.

【详解】A项，若机J_〃，由法向量的性质知，法向量垂直，平面垂直，故A正确；

B项，若〃可知/与平面α平行或在平面内，故B错误；

C项，若机〃d,由法向量的性质知，该向量垂直于平面，故C正确;

D项，若相〃”，可从题目加，〃分别是平面ɑ,夕的法向量知，法向量平行，所以平面平

行或重合，故D正确.

故选：B

15.已知集合A={I,2,3,4},8={1,2,3,4,5},从集合A中任取2个不同的元素，其中最小的

元素用。表示,从集合B中任取3个不同的元素，其中最大的元素用人表示，记X=6-α,

贝IJP(X=2)=()

ʌ-b∙Ic∙(D-

【正确答案】C

【分析】分别列出从集合A、B取元素的情况，即可得到。、b的取值情况，再利用古典概

型的概率公式计算可得.

【详解】从集合A中任取2个不同的元素，有6种可能，分别为：{1,2},{1,3},{1,4},{2,3),

{2,4},{3,4},

其中最小的元素。的取值分别为1,2,3,

从集合B中任取3个不同的元素,有10种可能,分别为:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5),

{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},

…-、3×l+2×3+l×6151

其中最大的元素b取值分别为3,4,5,所以P(X=2)=———--------

故选：C

16.将110表示成3的非负整数幕的和的形式，其中加数的不同排列视作同一种表示方法,

共有()种不同的方法.

A.247B.402C.485D.508

【正确答案】D

C,E∖+3w="7,⑴

【分析】设4+34+324,+3%+31%=11(),当卬=0,设°J则m+9〃=110,

a2+3%=〃,(2)

求出〃?+9〃=110的非负整数解；当α4=l时，同理求出方程的解的个数，两种情况相加即可

得出答案.

【详解】设若4+30∣+3%2+3%3+344=110,

+3〃1="2,(1)K)

(i)¾=O,则q)+34+9(%+3%)=110,设<%+3…,(2W…=I'

方程(1)的非负整数解的个数为γ+1,方程(2)的非负整数解的个数为+1.

m=110∫∕n=101Jw=92"7=83J77?=74∕n=65

m+9〃=11()的非负整数解有:

n=0,In=l,1n=2n=3'n=4'n=5

m=56ʃm=47j/n=38∖m=29Ja=20∖m=↑∖∖m=lf

n=6,In-1']n=8'∣n=9,∣n=10,In=H∣n=12

故方程的解的个数为:

56647

+1+1+1

T3T

(ii)当q=1,则％+M+9(4+3%)=29,类似地有方程的解的个数为:

综上，共有485+23=508种不同的方法.

故选：D.

三、解答题

17.己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，24_L平面ABCf>,PA=AD=I,AB=I.点、

E是线段P£>的中点，求：

（1）异面直线AC和8E所成角的大小；

（2）直线BE与平面PCD所成角的大小.

【正确答案】（Darccos巫

15

（2）arcsin—

3

【分析】（1）先找出异面直线AC和BE所成角，然后在三角形Fa4中利用余弦定理先求出

角的余弦值，再求角即可；

（2）利用等体积法即匕>一38=KBic。，求出点B到平面PcO的距离，根据线面角的含义即

可求得答案.

【详解】（1）取Ef）中点为F,A。靠近。的四等分点为，，连接30,

取ACBD=O,连接OF,AF,fH,如图所示：

因为F,，分别是PQ,AD的四等分点，则由〃R4,

因为PAJL平面A8C3,ADU平面ABCr>,则P4_LAD,

所以FHlAD，

因为尸，。分别是EO,BO的中点，

所以O尸〃BE,则异面直线AC和BE所成角即为直线AC和OF所成角,

即为NFQ4或其补角；

因为AB=1,BC=AD=2,

所以AO=-AC—ɪʌ/ɪ2+22=,

222

FH=-PA=-,

42

AO2+OF2-AF2

所以cosZFOA=

IAOOF

因为异面直线AC和BE所成角的范围为（O,1πj,

故异面直线AC和BE所成角的大小为arccosYm.

15

(2)因为尸A_L平面A5CO,ADCZ)U平面ABe£>,故R4_La>,PAVAD,

故Pf)=JPA：+AQ2=2忘，STOC=∣×2√2×1=√2,

设B到平面PCo的距离为人，

=r

则KP-BCovB-PCD-BP→→2×l×2=i×λ∕2×Λ,.∙.A=√2,

取AO中点为/,连接E∕,B∕,则以〃24,故E/J_平面ABCz）,

8/<=平面438,故EI，BI,

则BI=∖∣AB2+AI2=√2，BE=j∖-PA+Bl2=√Γ+2=√3.

设直线BE与平面PC。所成的角为c,ai[0,]],

./7√2√6

埋πilJlsina=——=—τ=∙=——,

BE63

即直线与平面Pa）所成的角为arcsin直.

3

18.已知（五+1）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于512.求:

⑴〃的值;

（2）展开式中的常数项;

（3）展开式中系数最大的项.

【正确答案】（1）"=9

理

呜

【分析】（1）根据二项式系数和2"=512,可解方程求得〃的值；

（2）由二项式定理可得二项展开式通项，将r=3代入通项中即可得到常数项；

（3）设第r+l项的系数最大，采用不等式法可构造不等式组求得『的值，代入通项即可求

得系数最大的项.

【详解】（1）展开式的二项式系数和为512,.∙.2"=512,解得.〃=9

⑵(6+()=(6展开式通项为：&=G(6)-fɪl=(；)GX2,

令昼=0,解得：r=3,则展开式常数项为7；

（3）设展开式第r+1项的系数最大,

710

解得：3≤r≤亍

------>----------

9-r2(r+l)

21

又reN,.∙∕=3,展开式中系数最大的项为J；=；.

19.为了解某校高二年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次

考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如下.

⑴求。的值；

(2)估计这次数学考试的平均成绩；

(3)求这次数学考试的及格率(不低于60分视作及格).

【正确答案】(1)0.024

(2)67.6

(3)70%

【分析】(1)由频率分布直方图小矩形面积之和为1即可计算：

(2)根据频率分布直方图直接计算即可；

(3)用频率估计概率即可.

【详解】(1)由(0.002+0.008+0.02+0.026+α+0.016+0.004)X10=1,

解得α=0.024；

(2)这次数学考试的平均成绩为：

35×0.02+45×().08+55×0.2+65×0.26+

75×0.24+85×0.16+95x0.04=67.6；

(3)由频率分布直方图得这次数学考试的及格率为：

P=I-(0.002+0.008+0.02)X10=70%.

20.一个袋子中有大小、质地都相同仅颜色不同的8个小球，其中5个是红球,3个是黄球.规

定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分.现随机从袋中摸出3个球，记这三个球的

得分之和为随机变量X.求：

(I)X的所有可能的取值(直接列出，不需要说明理由)；

(2)X的分布；

⑶X的期望E[x]和方差O[x]（结果保留三位小数）.

【正确答案】（1）X=3,4,5,6

3456

Q）X

1030151

P

56565656

(3)E(X]=4.125,D[X]≈0.502

【分析】（1）根据取出小球分类即可得到X的值；

（2）根据离散型分布列的步骤求解即可：

（3）利用方差与期望之间的关系求解可得.

【详解】（1）取出的小球有3红、2红1黄、1红2黄、3黄，共4种情况,

所以X=3,4,5,6

（2）因为NX=%詈=MP（X=4）=