2023年山东各地数学中考一模试题汇编含详解15 选填压轴

专题15选填压轴

一.选择题（共20小题）

1.（2023∙利津县一模）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A,B,P,。四点均在正方形网格的格点上,

线段Λβ,P。相交于点/，则图中NQMB的正切值是（）

B.1C.√3D.2

2.（2023•宁阳县校级一模）如图，在ΔA8C中，ZACB=90°,AC=BC=4,P是ΔA8C的高8上一个动点，以

3点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45。得到3户，连接D产，则。产的最小值是（）

A.2√2-2B.4-2√2C.2-√2D.√2-l

3.（2023•东阿县一模）如图1,在正方形Λ58中，点尸在边3C上，且BF=LCF,点E沿BD从点B运动到点

2

D.设点E到边BC的距离为X,EF+EC=y.y随X变化的函数图象2所示，则图2中函数图象的最低点的坐标

为（）

A.（-,2√iθ）B.（3,3√2+√10）C.（2,2+2√10）D.（ɪ,2√10）

24

4.（2023∙博山区一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点上，以Afi为直径的

圆经过点C,。，贝IJCoSNADC的值为（）

5.（2023•天桥区一模）已知二次函数y=∕n/-4z∏2χ-3（机为常数，小力0）,点尸（巧,，乃,）是该函数图象上一点,

当0别4时，%,-3,则机的取值范围是（）

A.〃?.』或，〃<0B.m.ΛC.m,,-1或加>0D.mf,-1

6.（2023∙新泰市一模）如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0,0）,点M的坐标为（3,0）,N为y轴上一动

点，连接MN,将线段MN绕点“逆时针旋转60。得到线段MK,连接NK,OK,求线段QK长度的最小值（

A.-B.-y∕3C.2D.2yβ

22

7.(2023•长清区一模)已知二次函数y=α√+⅛r-i(α,。是常数，。工0)的图象经过A(2,l),8(4,3),C(4,-l)≡

个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-l上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐

标的（）

A.最大值为-1B.最小值为-1C.最大值为-∙1D.最小值为

22

8.（2023•成武县校级一模）如图，在AASC中，Z4=30o,AB=6,AC=8.动点尸在线段AB上从顶点A出发

以每秒1个单位的速度向终点B点运动,动点M在线段AC上从顶点C出发以每秒2个单位的速度向终点A运动，

两点同时出发，有一点到达终点后两点都停止运动•设运动的时间为X秒，A4/沏的面积为y,则y关于X的函数

图象大致是（）

C

AB

9.（2023•荷泽一模）如图，在RtΔABC中,Iczn,点P,Q同时从A点出发，分

别沿Af3→C∖A→C运动，速度都是Is?/S,直到两点都到达点C即停止运动.设点P,。运动的时间为f（s）,

ΔAPQ的面积为S（Cm2）,则S与f的函数图象大致是（）

10.（2023•东平县一模）如图，在矩形纸片ABC£＞中，AB=2,4）=3,点E是ΛB的中点，点厂是4）边上的一

个动点，将ΔΛEF沿EF所在直线翻折，得到AAfF,则AC的长的最小值是（）

C.√13-1D.√10-l

11.（2023•泰山区校级一模）如图，已知等边ΔABC的边长为4,P、。、R分别为边43、BC、AC上的动点,

则PR+QR的最小值是（）

C

A.2√2B.2C.2y∕3D.3√2

12.（2023•东明县一模）如图，正方形ABC。的边长为2cm,动点P,。同时从点A出发，在正方形的边上，分别

按A→D→C,A→3→C的方向，都以lc"z∕s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ,设运动时间为xs,

ΔAPQ的面积为ycm?,则下列图象中能大致表示y与X的函数关系的是（）

13∙（2023∙河口区校级一模）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ΔθPC是等边三角形，连接DP并延长交CB

的延长线于点H,连接如交PC于点。，下列结论：

①ZBPD=I35。；②ΔBr>~W∕D8;③DQ:BQ=I:2；（S）SAIIDP=-——.

其中正确的有（）

A.①②@B.②③④C.①③④D.①②④

14.（2023•东平县校级一模）如图，等边AABC的边长为4,点。是边AC上的一动点，连接瓦），以8。为斜边向

上作等腰RtABDE,连接AE,则AE的最小值为（）

1E

A.1B.√2C.2D.2√2-l

15.（2023•金乡县一模）如图，已知点A（4,0）,8（0,3）,直线/经过A、3两点，点C（X,y）为直线/在第一象限的

动点，作AAOC的外接圆:_M,延长CM交于点Q,则XOCQ的面积最小值为（）

注

A.4B.4.5C.D

5∙≡

16.（2023∙历下区一模）若二次函数y=2x+5的图象在直线x=2的右侧与X轴有且只有一个交点，则〃的取

值范围是（）

A.a<--B.a=—

45

-C.a<——1或#。=一1D.--<a<Q^La=-

4545

17∙（2023∙泰山区校级一模）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=K（A>O）的图象交于A,B两点，点P在以

X

C（-2,0）为圆心，1为半径的C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为I,则攵的值为（）

9

49C32

一25--

A.B.D.8-

32I825

18.（2023•泰山区校级一模）如图，在矩形ANCO中，E、尸分别在BC、C。上运动（不与端点重合），连接3A

的交于点P,且满足器=维连接6若丘4,*6,则8的最小值为（）

A.2√10-3B.2√Iδ-2C.5D.3

19.（2023•东营区校级一模）如图，PA.PB是;。的,切点分别为A、B,8C是Oo的直径，Po交O于

E点,连接AB交Po于F,连接CE交AB于。点.1导论：®PA=PB-,®OPVAB-,③CE平分ZAC8；④

OF=-ACx⑤E是的内心；@ACDA=AEDF.）个•

2

D.2

20.（2023•泰山区校级一模）如图，矩形ABCz）中，AB=2,3C=3,以A为圆心，1为半径画A,E是圆A上

一动点，P是3C上一动点，则PE+P。最小值是（）

D.3

二.填空题（共26小题）

21.（2023•利津县一模）如图，抛物线y=J∕-4与X轴交于A、8两点，P是以点C（0,3）为圆心，1为半径的圆

4

上的动点，Q是线段RI的中点，连接OQ,则线段。。的最大值是—.

22.（2023∙利津县一模）如图，在单位为1的方格纸上，△&&&,ΔA3A4∕⅛5,A5A6A1,都是斜边在X轴

上，斜边长分别为2,4,6,…的等腰直角三角形，若AA4A的顶点坐标分别为A(2,0),A(1,1).A(0,0).则

依图中所示规律，AXm的坐标为—.

23.(2023•宁阳县校级一模)如图，在边长为4的正方形ABa)中，E为AB边上一点,且AE=^,尸是BC边上

3

的动点，将ΔE3尸沿EF所在直线折叠得到aEBT,连接37).则当牙D取得最小值时，跖的长度为.

24.(2023∙东阿县一模)如图，正方形ABCg中，AB=BAB与直线/所夹锐角为60。，延长Cg交直线/于点从，

作正方形A4G员,延长C1B2交直线/于点A,,作正方形A2B2C2B.,延长C2B3交直线I于点A,,作正方形A3B3C3B4,

…，依此规律，则线段Azg怎23=.

25.(2023∙博山区一模)如图，三角形纸片ABC中，ZBAC=90o,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠,

使点B落在边Be上的点。处；再折叠纸片，使点C与点。重合，若折痕与AC的交点为E,则AE的长是

B

26.（2023•天桥区一模）如图，四边形4?C£＞是边长为1的正方形，曲线OAqGRA；…是由多段90。的圆心角所

对的弧组成的，其中，弧D41的圆心为A,半径为Ar＞；弧A乌的圆心为3,半径为8A；弧&G的圆心为C,半

径为eq；弧G0的圆心为。，半径为OG…，弧弧A片、弧qG、弧Gq…的圆心依次按点A、B、c、

力循环，则弧。2问。》23的长是（结果保留万）.

27.（2023•梁山县一模）如图，在RtΔABC中，ZACB=90o,AC=5,BC=12,Z）是以点A为圆心，3为半径的

圆上一点，连接比＞,〃是9的中点，则线段CM长度的最小值为一.

28.（2023•新泰市一模）如图，在平面直角坐标系中，点4、&、&…4在X轴上，用、B?、为…纥在直线y=^∙x

上，若A（1,0），且△A2与4…4AM,A,I都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分

29.（2023•惠民县一模）如图，四边形Q4BC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点3在反比例函数

Qk

y=2（x＞0）的图象上，点A在反比例函数y=*（x＞0）的图象上，若平行四边形。的面积是7,则左=.

XX

30.（2023•郸城县一模）如图放置的AQA耳，∆B,Λ1B2>ΔB2A1B3,……都是边长为2的等边三角形，边AO在y

轴上点4，B2,B,,..…都在直线y=苧X上，则点4。”的坐标」

:"，IA2-.

乎X

31.（2023•长清区一模）如图，矩形ABCf）中，E为边AB上一点、将ΔADE沿小折叠，使点A的对应点F恰好

落在边BC上，连接AF交DE于点N,连接BN.若8尸.4）=15,tanZBNF=-,则矩形A88的面积为.

2------

A

t__ɔ

E

BFC

32.（2023•成武县校级一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起,点O是其中一个正方形的中心，则图中阴

影部分的面积为一.

G

4

33.（2023•荷泽一模）如图，在X轴的正半轴上依次截取OA=A4—44=ʌʌ=AA，过点A,A2，,A4,

人分别作X轴的垂线与反比例函数y=±（xW0）的图象相交于点6，鸟，鸟，乙，得直角三角形OnA，A24,

X

Λ2p3AyfA鸟儿，AEA，并设其面积分别为s∣,s2,S39s4fs5，则$2022=-------

34.（2023∙滕州市一模）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别

向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图分别是第一代

勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数

为.

第一代勾股树第二代勾股树第三代勾股树

35.（2022•和县一模）如图，点Q是ΔABC内一点，且满足NQAB=NQBC=NQc4=Nct.

（1）如图1,当ΔA8C是等边三角形时，Za=.

（2）如图2,当ΔABC是等腰直角三角形（其中ZACB=90。）时，∖QAC.AQBA.AQCB的面积之比是.

图1图2

36.（2023•东平县一模）如图，把平行四边形ABCf）折叠，使点C与点A重合，这时点。落在折痕为防，若

NBAE=55°,则N。"=

pɪ

37.（2023•泰山区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线/:y=x-l与X轴交于点A，如图所示依次作正方

形A4G。、正方形Λ2B2GG…、正方形A,纥GG使得点A、%、4、…在直线/上，点c∣、C2,C3、…在

y轴正半轴上，则点BMo的坐标是一•

38∙（2。23•南谯区校级一模）如图，函数的图象，若直线y=x+”与该图象只有一个交点，则

39.（2023♦东明县一模）如图，用棋子摆成的“T”形图，按这样的规律摆下去，第2023个需要一枚棋子.

①②③

40.（2023•河口区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=-x的图象分别为直线《、6，点（LO）

作X轴的垂线交∕∣于点A，过点A作y轴的垂线交4于点A?,过点A2作X轴的垂线交4于点儿,过点A3作y轴的

垂线交4于点4，…依次进行下去.则点4023的横坐标为—.

AJʃɪ

41.（2023•东平县校级一模）如图，在ΔABC中，AB=AC=2√3,NftAC=120。，点。、E都在边3C上,

42.（2023•历下区一模）如图，三角形纸片AfiC中，ZBAC=9Qo,AB=3,AC=5.沿过点4的直线将纸片折叠,

使点B落在边Be上的点。处；再折叠纸片，使点C与点。重合，若折痕与AC的交点为E,则tarɪm场=.

43.（2023•泰山区校级一模）如图，将ΔA8C沿着过BC的中点。的直线折叠，使点B落在AC边上的4处，称为

第一次操作，折痕DE到AC的距离为九；还原纸片后，再将ΔfiDE沿着过的中点A的直线折叠，使点、B落在DE

边上的B2处，称为第二次操作，折痕"回到AC的距离记为外；按上述方法不断操作下去…，经过第〃次操作后

得到折痕%E,ι,到AC的距离记为h,l.若九=1,则hn的值为—.

44.（2023•泰山区校级一模）如图，已知等边ΔAδC,。是边3C的中点，过。作Z）E∕∕AB于£,连接BE交4）于

D1;过R作Rg//AB于骂，连接8E∣交4）于。2；过2作。2马//AB于3，…，如此继续，若记SMg为S「

记SZ为S,,记So”为邑…，若&BC面积为Sc∕√,则S,=cm2（用含"与S的代数式表示）

U∖l-∖ZljfLI-TyL,2UJ^AΓ1D‰-IH，

45.（2023•东营区校级一模）如图，等腰RtΔABC中，NACB=90。，AC=BC=I,且AC边在直线”上，将AABC

绕点A顺时针旋转到位置①可得到点此时Al=血；将位置①的三角形绕点［顺时针旋转到位置②，可得到点

鸟，此时4e=1+0；将位置②的三角形绕点A顺时针旋转到位置③，可得到点心，此时AA=2+按

此规律继续旋转，直至得到点？期为止，则ARM=

46.（2023•泰山区校级一模）如图，矩形ABCD与菱形EFG〃的对角线均交于点O,且EG/iBC,将矩形折叠,

使点C与点O重合，折痕MV恰好过点G,若AB=屈,EF=2,47=120。，则Z）N的长为.

D'

专题15选填压轴

一.选择题（共20小题）

1.（2023∙利津县一模）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A,B,P,。四点均在正方形网格的格点上,

线段Λβ,P。相交于点/，则图中NQMB的正切值是（）

2

【答案】D

【分析】根据题意平移43使A点与P点重合，进而得出，AQPS是直角三角形，再利用tanNQMB=tanNP=写,

进而求出答案.

【详解】解：如图所示：平移TW使A点与P点重合，连接90,

可得NQMB=NP,

PB,=2√2,PQ=2√10,B,β=4√2,

.∙.PB'2+QB'2=PQ2,

.∙.AQPB'是直角三角形，

.,.tanZ.QMB=tanZ.P==—i=2.

PB'2√2

故选：D.

2.（2023•宁阳县校级一模）如图，在ΔA8C中，NAeB=90。，AC=BC=4,尸是ΔA8C的高8上一个动点，以

3点为旋转中心把线段3P逆时针旋转45。得到3户，连接。产，则。产的最小值是（）

A.2√2-2B.4-2√2C.2-√2D.√2-l

【答案】A

【分析】在BC上截取3E=%＞,由等腰直角三角形的性质可得BA=40,ZABC=ZBAC=ABCD=ZDCA=45°,

BD=CD=AD=2.^2=BE,由旋转的性质可得5P=Wy,NPwy=45。，可证ABDPr=ABEP,可得PE=PD,

当时，PE有最小值，即DP'有最小值，由直角三角形的性质可求£＞产的最小值.

【详解】解：如图，在BC上截取3£=%＞，连接EP,

B

ZAeB=90。，AC=JBC=4,CDA.AB,

BA=4√2,ZABC=ABAC=ZJSCD=ADCA=45o,BD=CD=AD=2-/1=BE

旋转

:.BP=BP,NPBP=ZABC=45。,

:.ZDBP,=ZPBE,

又BE=BD,

.∙.MDP=ABEP(SAS)

..PE=PD

.∙.当PEj_8时，PE有最小值，即。P'有最小值，

PEA.CD,NBCD=45。,

：.CE=近PE=BC-BE=4-2近

.-.PE=Isll-I

故选：A.

3.(2023•东阿县一模)如图1,在正方形ABCD中，点尸在边BC上，且BF=LCF,点E沿BD从点B运动到点

2

D.设点E到边BC的距离为X,EF+EC=y.y随X变化的函数图象2所示，则图2中函数图象的最低点的坐标

为（）

y)

A.(∣,2√iθ)B.(3,3√2+√10)C.(2,2+2√10)D.(ɪ,2√W)

【答案】A

【分析】先根据图2得出正方形边长，再根据点A是点C关于直线切的对称点，连接AF交应)于点E,则此时y

取得最小值，根据勾股定理求出y,再根据ΔEWFSA5F,得出EW=3〃9，BF=AHF,由班'=2,得HE=」,

Δ2

即可得最低点的坐标.

【详解】解：由图2知，当点E和点5重合时，EF+EC=BF+CB=-CB+CB=8,

3

BC=6,

即正方形的边长为6,

如图，点A是点C关于直线BD的对称点，连接AF交加＞于点E,

根据点的对称性，EA=EC,

则^=所+£^=印+£4=4产为最小,

AB=6,BF=2,

/.ΛF=√22+62=2√10,

过点石作E”LBC,垂足为H,

四边形ABCO是正方形，

.-.ZEBH=45°,

BH=EH,

EH11AB,

:.ΛEHF^ΛABF,

EHAB6c

/.=——=—=3,

HFBF2

.∙.EH=3HF,

.∙.BF=4HF,

BF=2,

:.HE=-，

2

.∙.图象上最低点的坐标是（∣,2√Γθ）,

故选：A.

4.（2023•博山区一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点上，以ΛB为直径的

圆经过点C,D,贝IJCOSNA。C的值为（）

【答案】B

【分析】由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案.

【详解】解：43为直径，

..ZACfi=90°.

又点A,B,C都在格点上，

.-.ZAIXJ=ZABC,

在RtAABC中,

BC33√13八M

cos/ABC==,-=----=cosNAJDC,

AB疗万13

故选：B.

5.（2023•天桥区一模）已知二次函数y=/nr?-4«?X-3（加为常数，i"≠0）,点P（x,,,%,）是该函数图象上一点，

当喷K4时，力,-3,则加的取值范围是（）

A.机.1或m<0B.m,.∖C.阳，-1或相>0D.m,,-1

【答案】A

【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：加>0或m<0,根据二次函数的性质

求得"，的不同取值范围便可.

【详解】解：∙.∙二次函数y=混-4∕∏2χ-3,

对称轴为X=2m,抛物线与y轴的交点为（0,-3）,

・点P（xt,,匕,）是该函数图象上一点，当蟋尤4时，yp,,-3,

，①当〃?>0时，对称轴x=2"z>0,

此时，当x=4时，％-3,即m42-4>∙4-，，一3,

解得机.1;

②当机<0时，对称轴X=2ΛΠ<0,

当噫Ik4时，y随X增大而减小，

则当喷％4时，yp,,-3恒成立；

综上，m的取值范围是：加.1或〃z<0.

故选：A.

6.(2023•新泰市一模)如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标为(0,0),点用的坐标为(3,0),N为y轴上一动

点，连接MN,将线段MN绕点M逆时针旋转60。得到线段MK,连接NK,OK,求线段OK长度的最小值(

【分析】由旋转的性质可得A⅛VK是等边三角形，可得MK=MN=NK,ZNMK=ΛNKM=ZKNM=ωo,如图

③，将AMOK绕点M顺时针旋转60。，得到ΔMQV,连接OQ,可得NOMQ=60。，OK=NQ,MO=MQ,则当

NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当QN_Ly轴时，NQ有最小值，由直角三角形的性质可求解.

【详解】解：将线段MN绕点M逆时针旋转60。得到线段MK,

:.MN=MK,ZNMK=60°,

.∙.ΔM/VK是等边三角形，

.-.MK=MN=NK,ZNMK=ZNKM=ZKNM=巡,

如图将AMOK绕点M顺时针旋转60。，得到ΔMQN,连接O。,

:.0K=NQ,MO=MQ,

.∙.ΔMOQ是等边三角形，

.∙.NQOM=60。，

:"NOQ=30。,

OK=NQ,

・•.当NQ为最小值时，OK有最小值，

由垂线段最短可得：当QN_Ly轴时，NQ有最小值，

此时，QNJ_y轴，NNOQ=30。，

13

:.NQ=-OQ=-,

••・线段OK长度的最小值为3∙

2

故选：A.

7.(2023∙长清区一模)己知二次函数y=0√+6x-l(α,6是常数，"0)的图象经过A(2,l),B(4,3),C(4,-1)Ξ

个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-l上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐

标的()

A.最大值为-1B.最小值为-1C.最大值为-LD.最小值为-L

22

【答案】C

【分析】先判断抛物线经过点A、C,然后利用待定系数法求得解析式，根据题意设出平移后的抛物线的解析式,

令X=0,得到解得是纵坐标与平移距离之间的函数关系，根据此函数关系即可求得结论.

【详解】解：A(2,l),8(4,3)在直线尸彳-1上，

∙∙∙A或3是抛物线的顶点，

8(4,3),C(4,-l)的横坐标相同，

.∙.抛物线不会同时经过8、C点，

抛物线过点A和C两点，

把A(2,l),C(4,-l)代入y=a?+bx-l得I"+2：-1=1，

[16«+4⅛-I=-I

解得,'=一5，

b=2

二二次函数为了=-9+2》-1=一*-2)2+1,

顶点始终在直线y=x-l上，

二抛物线向左、向下平移的距离相同，

设平移后的抛物线为y=—；(x—2+〃z)2+↑-m>

令X=O,则y=-∙i(-2+w)2+l-/nɪ-ɪ(wj-l)2-ɪ,

抛物线与y轴交点纵坐标最大值为-；，

故选：C.

8.(2023•成武县校级一模)如图，在ΔABC中，NA=30。，AB=6,AC=S.动点P在线段AB上从顶点A出发

以每秒1个单位的速度向终点8点运动,动点M在线段AC上从顶点C出发以每秒2个单位的速度向终点A运动，

两点同时出发，有一点到达终点后两点都停止运动.设运动的时间为X秒，AAfiW的面积为y,则)，关于X的函数

图象大致是()

【分析】当点〃运动到A点时，点尸还没有到达B点，即喷k4,过点尸作尸QJ.AC于Q,用X表示出A4RW的

底边AM和高PQ,即可确定图象.

【详解】解：过点P作PQLAC于点Q,则ΔAPM在AV边上的高为PQ,

由题意知AM=8-2x,AP=x,

源。-2X8,

.∙.O^x!k4,

ZA=30o,

.∙.PQ=^AP=^x,

2

'''SAAMr=ɪ-(8-2X)∙-.X=--X+2x(C^!k4)>

满足条件的图象为。选项，

故选：D.

9.(2023•荷泽一模)如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AB=2cm,BC=IcmiPQ同时从A点出发，分

另IJ沿A→3→C∖A→C运动，速度都是lαw∕s,直到两点都到达点C即停止运动.设点尸，Q运动的时间为"s).

ΔAPQ的面积为S(α"2),则S与f的函数图象大致是()

【分析】分0<f,,百、√3<∕,,2,2<f,,3三种情况，分别求出函数表达式，即可求解.

【详解】解：在RtAABC中，SinA=OW=I,故NA=30。，则AC=√5,

AB2

当0<*有时，S=IAP∙QAsinA=1fXfxI=L";

2224

当百<4,2时，此时，点。与点C重合，点尸在4?上,

C(Q)

过点P作LAC于点“，则P"='AP=L/,

22

则S=LAC.尸〃=LX百X,r=3r；

2224

当2<*3时，此时，点。与点C重合，点P在BC上，

同理可得：S=^-（3-t）,

故选：D.

10.（2023•东平县一模）如图，在矩形纸片ABC。中，AB=2,A£>=3,点E是ΛB的中点，点厂是AD边上的一

个动点，将AA所沿斯所在直线翻折，得到AAEF,则AC的长的最小值是（）

【答案】D

【分析】以点E为圆心，他长度为半径作圆，连接CE,当点4在线段CE上时，AP的长取最小值，根据折叠

的性质可知AE=1,在RtABCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE-AE即可求出结论.

【详解】解：以点E为圆心，短长度为半径作圆，连接CE,当点/V在线段CE上时，AC的长取最小值，如图

所示.

根据折叠可知：ArE=AE=-AB=I.

2

在RtΔBCE中，BE=LAB=I,BC=3,ZB=90O.

2

.-.CE=-JBE2+BC2=√U）,

..AC的最小值=CE-WE=TiTi-I.

11.（2023•泰山区校级一模）如图，已知等边ΔABC的边长为4,尸、Q、R分别为边他、BC、AC上的动点,

则PR+QR的最小值是（）

A.2√2B.2C.2√3D.3√2

【答案】C

【分析】作ΔASC关于AC对称的ΔA8,点E与点。关于AC对称，连接根据点£,R,P在同一直线上,

且PEJ时，PR+QR的最小值是PE的长，即可得到PR+QR的最小值.

【详解】解：如图，作AABC关于AC对称的AAa）,点E与点。关于AC对称，连接£7?,则QR=£7?,

当点E,R,P在同一直线上，且∕jEJ"Λβ时，PR+QR的最小值是PE的长,

等边Δ48C的边长为4,

二.[BjPE为2超,

PR+QR的最小值是26,

12.（2023∙东明县一模）如图，正方形ABS的边长为2cm,动点P,。同时从点A出发，在正方形的边上，分别

按A→JD→C,A→jβ→C的方向，都以lc∙,“∕s的速度运动，到达点C运动终止，连接P。，设运动时间为xs,

.y(c∏P)

2f.

02i

cx(s)

【答案】A

【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：

①崂/2时，根据SΔAW=[AQ∙AP,列出函数关系式，从而得到函数图象；

②2强/4时，根据Swo=S正方形ABe-SS。-又侬，-S”0列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项

即可得解.

【详解】解：①当啖*2时，

.•正方形的边长为2cτn,

2

∙'∙7=5ΛΛPG=∣Aβ∙AP=^x;

②当2<},4时，

y=SΔZW,Q

S正方形ABCD-SCPQ'^Δ∕∖BQ'~~S八产D

=2x2—-(4-x)~—-×2×(X-2)—-×2×(x_2)

=--x2+2x

2

所以，y与X之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合.

故选：A.

13.(2023•河口区校级一模)如图，四边形A58是边长为1的正方形，WC是等边三角形，连接OP并延长交CB

的延长线于点〃，连接3。交尸。于点Q,下列结论：

①ZBPD=I35。；②ΔβDPs∆WD8;③Z)Q:BQ=I:2；④SMDP=士—•

其中正确的有()

A.①®@B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】D

【分析】由等边三角形及正方形的性质求出NCPz)=Na)P=75。、NPCB=NCPB=60。，从而判断①；证

ZD8〃=ZDP8=135。可判断②；作QE_LC£>,设QE=OE=x,则QD=&x,CQ=2QE=2x,CE=√3x,由

CE+OE=CD求出X,从而求得。Q、BQ的长，据此可判断③，证DP=DQ=#个,根据

SSBDP=^BD-PDsinNBDP求解可判断④.

【详解】解：ΔP3C是等边三角形，四边形ABCZ)是正方形，

.-.ZPCB=ΛCPB=ωo,APCD=30o,BC=PC=CD,

:.NCPD=NCDP=75°,

则ZBPD=ZBPC+ZCPD=135°,故①正确；

NCBD=NCDB=45°,

.∙.ZDBH=ZDPB=135°.

又ZPDB=ABDH,

.∙.ΔBDP^ΛHDB,故②正确；

如图，过点。作QELCO于£,

IStlQE=DE=X,则。O=√∑x,CQ=IQE=Ix,

:.CE=s∣2>x,

由CE+OE=CO知x+√5x=l,

解得X=YI二1,

2

...S=&X=在产，

BD=√2,

:.BQ=BD-DQ=五一^!^=3上;屈,

则£>0:他="丁：3夜；回1：2,故③错误；

ACDP=15Q,ZCDg=45°,

.♦.APDQ=30°,

又/CPD=75。,

,∖ZDPQ=ZDQP=15°9

DP=DQ=瓜个2,

:.S=-BD-PDsinNBDP=^×√2××i=ɔʃɜɪɪ,故④正确；

A皿BDP22“2"-424

故选：D.

14.（2023•东平县校级一模）如图，等边A4BC的边长为4,点。是边AC上的一动点，连接四，以8。为斜边向

上作等腰RtΔBDE,连接ΛE,则AE的最小值为（）

A.1B.√2C.2D.2√2-l

【答案】B

（分析］过点B作BHLAC于，点,作射线HE,可证点B,点、D,点、H,点、E四点共圆，可得ZBHE=ZBDE=45°,

则点E在438的角平分线上运动，即当M_L即时，ΛE的长度有最小值，由直角三角形的性质可求解.

【详解】解：如图，过点5作而，AC于H点，作射线HE,

/SABC是等边二角形，BH1.AC,

s.AH=2=CH,

ZBED=ZBHD=90°,

二.点3,点。，点H,点七四点共圆,

.∙.NBHE=NBDE=45。，

.∙.点E在/4/7B的角平分线上运动，

.∙.当时，他的长度有最小值,

ZAHE=45°,

AH=0AE=2,

.∙.AE的最小值为0,

故选：B.

15.(2023•金乡县一模)如图，已知点A(4,0),8(0,3),直线/经过A、3两点，点C(X,y)为直线/在第一象限的

动点，作AAOC的外接圆：_M,延长CM交＜M于点Q,则AOCQ的面积最小值为()

【答案】D

【分析】根据已知可得OA=4,OB=3,从而在在RtΔAOB中，利用勾股定理求出AB的长，再根据直径所对的圆

周角是直角可得NCoQ=90。，然后利用同弧所对的圆周角相等可得NBAO=NCQO,从而可得鬻=霭，进

而可得OQ=gθC,最后根据垂线段最短可知，当OCLAB时，OC最小，从而可得AOCQ的面积最小，进行计算

即可解答.

【详解】解：点44,0)，8(3,0),

:.OA=4,OB=3,

在RtAAOB中，AB^>JθA2+OB2=√42+32=5,

,CQ是M的直径，

.∙.NCOQ=90。，

ZBAO=ZCQO,

.∙.tanNBAO=tanZ-CQO,

BOOC3

"OA~OQ~4'

4

.∙.OQ=-OC,

.∙.AOCQ的面积=gOC∙OQ

14

=-oc-oc

23

=-oc2,

3

.∙.当OC最小时，NOCQ的面积最小，

.∙.当OCJ_AB时，OC最小，

ΔAO8的面积=IABOC=IoBQ,

22

.-.AB-OC=OB-OA,

,oc=OB^A=n

AB5

.∙.AOCQ的面积的最小值=∣x(∕)2

96

=-----J

25

故选：

16∙(2023∙历下区一模)若二次函数y=0√-2x+5的图象在直线χ=2的右侧与X轴有且只有一个交点，则〃的取

值范围是()

A.Q<—B.Q=一

45

C.a<-■-或4=1D.-1<α<0或α=!

4545

【答案】D

【分析】由二次函数与X轴有两个交点可得α的取值范围，分类讨论抛物线开口向上与向下时抛物线与直线x=2的

交点位置求解.

【详解】解：令Or2-2X+5=0,

.∙.Δ=(-2)2-20a=4-200，

当4-20α=0时，

解得α=L

5

y=ax2-2x÷5,

抛物线对称轴为直线x=-=5,

a

.∙.4=J符合题意，

5

当4-20α>0时，αv∙!■且cι≠O,抛物线与X轴有