点、直线和平面-直线投影（工程制图课件）

直线的投影（一）一、直线的投影两点确定一条直线。画出直线上任意两点的投影，连接其同面投影，即为直线的投影。直线的投影一般仍为直线，特殊情况下，当直线垂直于投影面时，其投影积聚为一个点。一、直线的投影直线和它在某一投影面上的投影间的夹角，称为直线对该投影面的倾角。对H面的倾角用α表示；对V面的倾角用β表示；对W面的倾角用γ表示，如图所示。一、直线的投影根据直线与投影面的相对位置，直线可分为：一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线三种，后两种统称为特殊位置直线。二、一般位置直线对三个投影面均不平行不垂直的直线称为一般位置直线（简称一般线）。如图为一般位置直线的立体图和投影图。二、一般位置直线从图可看出，ab=ABcosα，a′b′=ABcosβ，a″b″=ABcosγ，而α、β和γ均介于0°与90°之间，cosα、cosβ和cosγ均小于1，所以一般位置直线的三个投影都小于实长。1.一般位置直线的投影特性//////01二、一般位置直线直线上各点对某一投影面的距离都不相等，所以其三面投影都倾斜于各投影轴，各投影与相应的投影轴所成的夹角，都不反映直线对各投影面的真实倾角，如图。1.一般位置直线的投影特性//////02只平行某个投影面，而倾斜于另外两个投影面的直线，称为某投影面的平行线。三、投影面平行线三、投影面平行线与V面平行的直线称为正面平行线，简称正平线，如图中的AB；三、投影面平行线与H面平行的直线称为水平面平行线，简称水平线，如图中的CD；三、投影面平行线与W面平行的直线称为侧面平行线，简称侧平线，如图中的EF。//////01三、投影面平行线现以正平线为例讨论其投影特性：因为AB//V面，正平线的正面投影反映实长，即a'b'=AB，而且a'b'与投影轴的夹角反映了直线与H、W面的真实倾角α、γ。//////02三、投影面平行线

因为AB上各点到V面的距离都相等，所以正平线的水平投影平行于OX轴，即ab//OX轴；同理，正平线的侧面投影平行于OZ轴，即a"b"//OZ轴。现以正平线为例讨论其投影特性：三、投影面平行线2.正平线的投影图投影特性1ab∥OX轴；a″b″∥OZ轴；2a′b′=AB3a′b′与投影轴的夹角，反映直线与H、W面的真实倾角α、γ。三、投影面平行线3.水平线的投影图投影特性1c′d′∥OX轴；c″d″∥OYW轴；2cd=CD3cd与投影轴的夹角，反映直线与V、W面的真实倾角β、γ。三、投影面平行线4.侧平线的投影图投影特性1e′f′∥OZ轴；ef∥OYH轴；2e″f″=EF3e″f″与投影轴的夹角，反映直线与H、V面的真实倾角α、β。三、投影面平行线直线在所平行的投影面上的投影反映实长，且该投影与相应投影轴所成之夹角，反映直线对其他两投影面的倾角；//////01

直线其他两投影均小于实长，且平行于相应的投影轴。//////025.投影面平行线的共性四、投影面垂直线与某一个投影面垂直的直线统称为投影面垂直线，垂直于一个投影面，必平行于另两个投影面。投影面垂直线有三种情况。四、投影面垂直线与V面垂直的称为正面垂直线，简称正垂线，如图中的CE；c″e″四、投影面垂直线与H面垂直的称为水平面垂直线，简称铅垂线，如图中的AB；四、投影面垂直线与W面垂直的称为侧面垂直线，简称侧垂线，如图中的CD。四、投影面垂直线现以正垂线为例，讨论其投影特性：1正垂线CE⊥V面，所以其V面投影c'e'积聚为一点；2正垂线CE平行于H、W面，其H、W面投影反映实长，即ce=c"e"=CE；3ce⊥OX；c"e"⊥OZ。c″e″四、投影面垂直线直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点（积聚性）；//////01

直线的其他两投影与相应的投影轴垂直，并都反映实长（显实性）。//////021.投影面垂直线的投影特性直线的投影（二）直线的实长及其与投影面的倾角一般位置直线的三面投影图既不反映其实长，也不反映倾角，要想求得一般线的实长和倾角，可以采用直角三角形法。如图所示，在BEeb所构成的投射平面内，延长BE和be交于点M，则∠BMb就是BE直线对H面的倾角α。

过E点作EB1∥eb，则∠BEB1=α，且EB1=eb。所以只要在投影图上作出直角三角形BEB1的实形，即可求出BE直线的实长和倾角α。

其中直角边EB1=eb，即BE为已知的H面投影；另一直角边BB1，是直线两端点的Z坐标差，即BB1=ZB－ZE，可从V面投影图中量得，也是已知的，其斜边BE即为实长。作图步骤为（1）过H面投影eb的任一端点b作直线垂直于eb；（2）在所作垂线上截取bk=ZB－ZE，得k点；（3）连直角三角形的斜边ek，即为所求的实长，∠bek即为倾角α。

如图求作BE直线对V面的倾角β的立体图和投影图。以直线的V面投影，直线上两端点的Y坐标差为两条直角边，组成一个直角三角形，就可求出直线的实长和直线对V面的倾角β。

如果求直线对W面的倾角γ，则以直线的W面投影，直线两端点的X坐标差为两直角边，组成一个直角三角形。这种利用直角三角形求一般位置直线的实长及倾角的方法称为直角三角形法。

其要点是以线段的一个投影为直角边，以线段两端点相对于该投影面的坐标差为另一直角边，所构成的直角三角形的斜边即为线段实长，斜边与线段投影之间的夹角即为直线对该投影面的倾角。直线上的点由正投影的特性可知：（1）点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上，即点的从属性。（2）点分割线段成定比，其投影也把线段的投影分成相同的比例，即点的

定比分割特性。

且AM：MB=am：mb=a'm'：m'b'=a"m"：m"b"。点M在直线AB上，则其投影m、m′、m″必在AB的相应投影ab、a′b′、a″b″上。直线的迹点

直线与投影面的交点，称为直线的迹点。与水平投影面的交点称为水平迹点，用M表示；与正立投影面的交点称为正面迹点，用N表示；与侧立投影面的交点称为侧面迹点，用S表示。m′Oa′b′n′MnamHXVbANB

迹点是直线与投影面的交点，所以迹点既在直线上又在投影面内，因此，迹点的投影必须同时具有直线上的点和投影面上的点的投影特点，这是求作迹点的依据。m′Oa′b′n′MnamHXVbANB

如图所示，由于水平迹点M是H面上的点，所以m′必在OX轴上；同时M也是直线AB上的点，所以m′一定在a′b′上，m在ab上。m′Oa′b′n′MnamHXVbANBbamm′a′b′n′nOX求水平迹点M的方法是（1）延长AB的正面投影a′b′与OX轴相交得m′。（2）自m′引OX轴的垂线与直线的水平投影ab的延长线相交，即得m。m′Oa′b′n′MnamHXVbANB同理，求正面迹点N的方法是（1）延长AB的水平投影ab与OX轴相交得n。（2）自n引OX轴的垂线与直线的正面投影a'b'的延长线相交，即得n'。bamm′a′b′n′nOXm′Oa′b′n′MnamHXVbANB两直线相对位置两直线相对位置一、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为三种情况：平行、交叉和相交三种情况，其中交叉位置的两直线称为异面直线。二、两直线平行若空间两直线互相平行，则其同面投影互相平行，反之，若两直线的同面投影互相平行，则此空间两直线一定互相平行。如图所示，如果AB//CD，则ab∥cd，a'b'∥c'd'，a"b"∥c"d"。

在一般情况下，判定两直线是否平行，只要直线的任意两同面投影互相平行，就可判定两直线是平行的，但对与投影面平行的两直线来说，有时不能肯定。ZXYWYHdefcOd′f′f″d″e″c″e′c′

如图所示两条侧平线CD和EF，它们的V、H面投影平行，但是还不能确定它们是否平行，必须求出它们的侧面投影或通过判断比值是否相等才能最后确定。例

如图所示，作出其侧面投影，c"d"和e"f"不平行，则CD和EF两直线不平行。ZXYWYHdefcOd′f′f″d″e″c″e′c′三、两直线相交如图所示，两直线AB和CD相交，其交点K为两直线的共有点，它既是AB上的一点，又是CD上的一点。由于线上一点的投影必在该直线的同面投影上，因此K点的H面投影k既在ab上，又应在cd上。这样k必然是ab和cd的交点；同理k'必然是a'b'和c'd'的交点；k"必然是a"b"和c"d"的交点。由此可得出结论：两直线相交，其同面投影必相交，交点符合点的投影规律。反之，如果两直线的各同面投影相交，且交点符合点的投影规律，则此两直线在空间必定相交。

判定两直线是否相交，对一般位置直线，根据任意两组同面投影即可判断，但当两直线之一为投影面平行线时，则要看该直线在所平行的那个投影面上的投影情况。如图所示，两直线AB和CD，因为a"b"和c"d"的交点与a'b'和c'd'的交点不符合点的投影规律，所以可以判定AB和CD不相交。三、两直线交叉

两直线交叉，则两直线既不平行也不相交。其各面投影既不符合平行两直线的投影特性，也不符合相交两直线的投影特性。若两直线的同面投影不同时平行，或同面投影虽相交但交点连线不垂直于投影轴，则该两直线必交叉。它们的投影可能有一对或两对同面投影互相平行，但决不可能三对同面投影都互相平行。交叉两直线也可表现为一对、两对或三对同面投影相交，但其交点的连系线不可能符合点的投影规律。

如图所示，AB和CD是两条交叉直线，其三面投影都相交，但其交点不符合点的投影规律，即ab和cd的交点不是一个点的投影，而是AB上的M点和CD上的N点在H面上的重影点，M点在上，m可见，N点在下，n为不可见。

同样a′b′和c′d′的交点是CD上的E点和AB上的F点在V面上的重影点，E点在前，e′为可见，F点在后，f′为不可见。W面投影a″b″和c″d″的交点也是重影点。四、直角投影

两直线相交（或交叉）成直角，如果其中有一条直线与某一投影面平行，则在该投影面上的投影仍反映直角。

反之，相交或交叉两直线的某一投影成直角，且有一条直线平行于该投影面，则此两直线的交角必是直角。1.垂直相交已知：如图所示，直线AB垂直于BC，BC∥H面，求证：∠abc=90°。证明：因为BC⊥