上海市嘉定、长宁区2023-2024学年高二数学第一学期期末调研试题含解析

上海市嘉定、长宁区2023-2024学年高二数学第一学期期末调研试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“a＞l,则Iga＞。”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（）

A.OB.2

C.3D.4

2.将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别记为a,b,贝！|直线ax+力+2君=0到原点的距离不超过1的

概率是（）

3.数列｛4｝满足4+2=2。“+1-4，且%014，％016是函数/（力=13一4_?+6尸1的极值点，则

log2（＜^2000+02012+02018+02030）的值是（）

A.2B.3

C.4D.5

4.已知直线%+阳+6=。和（加一2）x+3y+2机=0互相平行，则实数小的取值为（）

A-1或3B.-1

C.-3D.1或—3

5.某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A,C之间的曲线）绕

其虚轴所在直线/旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：

A4=13cm,BBl=12cm,CQ=20cm,A4=15cm,51G=48cm,其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲、

乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示

学生甲乙丙丁

估算结果（cm3）25200万17409万148897r13809万

其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（）（参考公式：/柱=»炉〃，/锥=:万氏2丸,

%台=卜（产+"+女））

图1图2

A.甲B.乙

C.丙D.T

6.设/'（#是函数“X）的导函数，y=/（x）的图象如图所示，则十/'（力>0的解集是（）

B.（-1,0）（1,3）

C.~0）_（0,2）D.（0,1）U（3,4W）

7.在等差数列｛&｝中，若q—g—。8—弓2+弓5=1，则sin（g+q）的值为（）

C.-lD.0

r22

8.过椭圆C：=+yl（a〉6>0）右焦点作x轴的垂线，并交C于A,B两点,直线/过C的左焦点和上顶点.若以

aF

线段A5为直径的圆与/有2个公共点，则。的离心率e的取值范围是（）

dD.肉，

9.已知xeR,则条件"|x—[<1”是条件“x<2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件.

10.记S“为等差数列｛%｝的前〃项和，有下列四个等式，甲：％=1；乙：S3=9；丙：$6=36；T：%=6.如

果只有一个等式不成立，则该等式为（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

11.已知函数/0）=-/+。，g（无）=//,若对于任意的々e[—LU,存在唯一的占e[-g,2],使得/（不）=8（々），

则实数”的取值范围是（）

A（e,4）B.（eH—,4]

4

C.（eH—,4）D.（—,4]

44

12.已知直线4:at+（a+2）y+l=0,l2:x+ay+2^Q,若，1上a，则实数。的值是（）

A.OB.2或-1

C.0或-3D.-3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

12c,

13.已知正数X,y满足一+—=2.若2x+y-12〃/-2加恒成立，则实数%的取值范围是____.

xy

14.已知直线（m+2）x+y—1=0与直线+3y—1=0平行，则实数机的值为

15.若a,b,c都为正数，a+b+c=l,且2a,b,2c成等比数列，则碇的最大值为.

16.写出一个同时具有性质①②的函数/（1）=.（〃可不是常值函数），①/'（九）为偶函数；②

f（x+7i）=f'（x）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知数列㈤｝的前n项和为Sn，且S.=+〃，“wN*,数列也｝满足册=41og2bn+3,n^N\

⑴求4和4的通项公式;

（2）求数列｛七•〃｝的前n项和T”.

18.(12分)已知抛物线C:y2=8x

(1)若抛物线C上一点尸到厂的距离是4,求P的坐标；

(2)若不过原点。的直线/与抛物线C交于A、8两点,且求证：直线/过定点

19.(12分)已知直线/：y—8机一3=0和圆C：x2+j2—6x+12j+20=0.

(1),"GR时，证明/与C总相交；

(2)取何值时，，被C截得的弦长最短？求此弦长

20.(12分)已知点4。,-2)在抛物线；/=27?%(p>0)±,过点A且斜率为1直线与抛物线的另一个交点为5

(1)求P的值和抛物线的焦点坐标；

(2)求弦长

21.(12分)已知抛物线C：y2=2px(p>0,p^4),过点A(2,0)且斜率为左的直线与抛物线C相交于p,。两点.

(1)设点3在x轴上，分别记直线P3,08的斜率为匕，左2.若K+左2=0,求点5的坐标；

\MN\

(2)过抛物线C的焦点尸作直线尸。的平行线与抛物线C相交于M,N两点,求।人"的值•

22.(10分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PAJ_平面ABCD,E为PD的中点.

(1)证明：PB〃平面AEC

(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=、Q,求三棱锥E-ACD的体积

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】首先判断原命题的真假，写出其逆命题，即可判断其真假，再根据互为逆否命题的两个命题同真假，即可判

断；

【详解】解：因为命题则坨。>。”为真命题，所以其逆否命题也为真命题；

其逆命题为：/。>0则。>1,显然也为真命题，故其否命题也为真命题；

故命题“°>1,则Iga>0”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题有4个；

故选：D

2、C

【解析】先由条件得出“，〃满足片+^220,得出满足储+廿220的基本事件数，再求出总的基本事件数，从而

可得答案.

「12为

【详解】直线ax+勿+2石=0到原点的距离不超过1,则J।<1

V«2+b2

所以/+/220

当a=l时，6可以为5,6

当a=2时，6可以为4,5,6

当a=3时，〃可以为4,5,6

当a=4时，〃可以为2,3,4,5,6

当a=5时，6可以为1,2,3,4,5,6

当a=6时，〃可以为1,2,3,4,5,6

满足a2+b2>20的共有25种结果.

将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别记为a,b,共有6x6=36种结果

25

所以满足条件的概率为二

36

故选：C

3、C

【解析】利用导数即可求出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算性质求解即可

【详解】由/(x)=；d—4/+6x—1,得/'(X)=X2—8X+6,

因为“2014942016是函数=4f+6x—1的极值点，

所以为014，%016是方程V—8x+6=o两个实根,

所以。2014+“2016二8,

因为数列｛%｝满足〃〃+2-2%+1-4,

所以q+。n+2=2%,

所以数列｛4｝为等差数列,

所以。2000+“2030="2012+“2018=。2014+a2016=8，

+4

所以log2(fljooo+02012+«2018«2030)=log216=10g22=4,

故选：C

4、B

【解析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.

【详解】•.•两条直线x+my+6=0和(m-2)x+3y+2m=0互相平行,

1x3-mm-2=0

2m-6(m-2)w0

解得m=-1,

故选B

【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论:

已知/]：4x+4y+G=0,

12:A2x+B2y+C2=0,

4与-44=0

则/]//乙O<

Ac,—A,aH0

4_L4=A4+B｛B2=0

5、D

【解析】根据几何体可分割为圆柱和曲边圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式对几何体的体积进行估计即可.

【详解】可将几何体看作一个以3片=12cm为半径，高为用G+A耳=48+15=63cm的圆柱，

再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为20-12=8cm,13-12=1cm,高分别为48cm,15cm,

%柱=7rxl22x63=9072兀(cn?),

%锥=!兀x(82x48+12xl5)=1029(cm3),

所以花瓶的容积90727rcm3<V<10101^cm\

故最接近的是丁同学的估算,

故选：D

6、C

【解析】先由图像分析出了'（%）的正负，直接解不等式即可得到答案.

【详解】由函数y=/（x）的图象可知，”尤）在区间（-8,0）,（2,”）上单调递减,在区间（0,2）上单调递增，即当

XW(-00,0)52,+8)时，/'(尤)<0;当xd(0,2)时，>0.

/、x>0fx<0

因为“/‘（力>°可化为］〃x）>0或［r（x）<0,解得:0<x<2或x<0,

所以不等式x•/'（x）>0的解集为（F,0儿（0,2）.

故选:C

7、C

【解析】利用等差数列性质可求得小=-?，由sin（a3+43）=sin（2网）可求得结果.

JI

【详解】由等差数列性质知：q+%5=。4+。12，••一。4一。8一。12+〃15=一。8=1，

；JI

解得：。8=一"7；

4

sin(%+13)=sin(2%)=sin

又为+«13=2a&，-1.

故选：C.

8、A

【解析】求得以A3为直径的圆的圆心和半径，求得直线/的方程，利用圆心到直线/的距离小于半径列不等式，化简

后求得椭圆离心率的取值范围.

【详解】椭圆的左焦点耳（-。,0）,右焦点6（。,0）,上顶点（03），

aba

所以⑷5为直径的圆的圆心为B（GO），半径为

a

直线I的方程为—+—=1,—-+——1=0

-cb-cb

由于以线段A5为直径的圆与/相交，

2a72

t<b

,4/<4+/

c

2

/-c2144

227a-Ic^c+c22ac22229

4a<-----1-Cl—C+。一c——~-2a+c+。一c

c2c2c

ua。cc11cy/5

5<—,0<—<-,0<—<——，

c2a25a5

所以椭圆的离心率的取值范围是0,

故选：A

9、A

【解析】若命题〃=4，则0是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件

【详解】因为归―l|vl,所以0vxv2,所以0<xv2nxv2.

故选:A

10、D

【解析】分别假设甲、乙、丙、丁不成立，验证得到答案

【详解】设数列｛g｝的公差为d,

3%+3d=9①3

ax

若甲不成立，贝！|6%+15d=36②，由①，③可得<此时64+152=9

%+3d=6(3)d=

2

与②矛盾；A错,

ax-1①%=1

若乙不成立，贝！|6%+15d=36②，由①，③可得<5,此时6q+15J=31；

d=—

a1+3d=6③3

与②矛盾；B错,

%=1①%=1

若丙不成立,贝!|3%+3d=9②，由①，③可得,5此时3q+3d=8；

q+3d=6③3

与②矛盾；C错,

Q]=1

=1

若丁不成立，贝人3%+3d=9,由①，③可得,,此时3q+3d=9；

d=2

6〃i+15d=36

,D对，

故选：D.

11,B

【解析】结合导数和二次函数的性质可求出f(x)和g(X)的值域，结合已知条件可得［0，可口5-4,a-j),从而可求

出实数。的取值范围.

【详解】解：g(x)=//的导函数为((x)=2xex+x2ex=x(x+2)e,当x=0时，g'(x)=O,

由1,0)时，g'(x)<0,xe(O,l］时，g'(x)>0,可得g(x)在［一1,0］上单调递减,

在(0,1］上单调递增，故g(x)在［-1,1］上的最小值为g(0)=0,最大值为g(1)=e,

所以对于任意的％LU,g(x2)e［0,e］.因为y=-V+a开口向下，对称轴为V轴，

又—g-0<|2-0］,所以当x=0时，/(x)max=a,当x=2时，/(x)min=tz-4,

则函数/(x)=—£+a在［-g,2］上的值域为［a-4,且函数/(x)在

图象关于丁轴对称，在(；，2］上，函数/'(X)单调递减.由题意，得［0,e］a［a-4,a—,

可得a-4<0<e<a——，解得e+—<a<4

44

故选:B

【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是/(为)=8(々)这一

条件的转化.

12、C

【解析】由4，4，结合两直线一般式有AA+BIB2=o列方程求解即可.

【详解】由知：。+。(。+2)=0,解得：。=0或Q=—3

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.[-1,3]

【解析】利用基本不等式性质可得2x+y的最小值，由2x+y-12n?-2〃"恒成立可得m2-2m<3即可求出实数加

的取值范围.

12

【详解】解：因为正数％,y满足一+—=2,

%y

所以2工+y=工(2%+同(工+2]=2+工(2+把]之2+U*—=4,

2'I%yjy)Nxy

y4x

当且仅当上=—时，即y=2x=2时取等号

Xy

因为2%+y—\>m1—2加恒成立，

所以加2—2根K3，解得-lVm<3.

故实数用的取值范围是[-1,3].

故答案填：[-1,3].

【点睛】熟练掌握基本不等式的性质和正确转化恒成立问题是解题的关键.

14、-3

【解析】由两直线平行的判定可得3(m+2)一m=0求解即可，注意验证是否出现直线重合的情况.

【详解】由题设，3(m+2)-m=0,解得/〃=—3,经检验满足题设.

故答案为：-3

1

15、—

16

【解析】由等比数列性质知6=2而，即可得1-(a+c)=2疝，再利用基本不等式求解即可.

【详解】由2a,b,2c成等比数列，得〃=4ac，即》=2疝

y.a+b+c=l,则人=l—(a+c),

所以l-(a+c)=2^/^,即1-2^/^=a+c22A/^,即

111

所以acV：,当且仅当。=c=—时，等号成立，故区的最大值为一

16416

故答案为：一

16

16、-sin2%(答案不唯一)

2

【解析】利用导函数周期和奇偶性构造导函数，再由导函数构造原函数列举即可.

【详解】由/'(x+»)=/'(%)知函数/'(力的周期为乃，则/'(x)=cos2x,

同时满足/'(力为偶函数，所以/(力=｝出2%满足条件.

故答案为：-sin2%(答案不唯一).

2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)an=4n—l”N*；b=2^；(2)(,=(4〃—5)2"+5

【解析】(1)求数列｛4｝的通项公式主要利用an求解，分情况求解后要验证以=1是否满足〃之2

2)

的通项公式，将求得的｛q｝代入q=4log?2+3,整理即可得到与的通项公式；(2)整理数列｛q•2｝的通项公式得

a„bn=(4〃-1)2"T，依据特点采用错位相减法求和

试题解析：(1)；Sn=21+〃,〃eN",.,.当〃=1时，q=S]=3.

22

当“22时，all=Sll-Sn_l=2n+n-[2(n-I)+(n-l)]=4n-l.

=1时，6=3满足上式，a“=4〃一1,”wN*.

又•••q=41og22+3,〃eN*,.•.4〃—l=41og26“+3,解得：bn=T-\

故a,=4〃—1,,bn=2"7,neN*.

(2)•/«„=4/7-1,,a=2"T,neN*

n21

：.Tu=aibx+a2b2++。也=3义2°+7x21++(4H-5)X2-+(4H-1)X2"_@

27；,=3X21+7X22++(4”-5)X2"T+(4"-1)x2"②

由①-②得：-0=3+4x21+4x22++4x2^'-(4n-l)x2"

=34x-^-----------(4H-l)x2n=(5-4H)X2"-5

+1-2

，1=(4“-5)x2〃+5,neN*.

考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和

【方法点睛】求数列｛q｝的通项公式主要利用4=百，%=S“-S“T(〃之2)分情况求解后，验证可的值是否满足

%=S“-S-1522)关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列

设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解(即分组求和)或错位相减来完成，其二，不能转化为

等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中％A=(4〃-1)?2"T,根据特点采用错位相减法求

和

18、(1)(2,±4)

(2)见解析

【解析】(1)由抛物线的定义，可得P点的坐标；

(2)可设直线的方程为％=7找'+0),AQ,%),2(%,为)，与抛物线联立，消了，利用韦达定理求得％+%，

%内，再根据可得04.03=0，从而可求得参数的关系，即可得出结论.

【小问1详解】

解：设P®,%),由抛物线的定义可知/+微=4,即x0+g=4,

解得%=2,

将%=2代入方程/二以，

得％=±4，

即尸的坐标为(2,±4)；

【小问2详解】

证明：由题意知直线/不能与*轴平行，

可设直线的方程为了=冲+"("w0),

与抛物线联立得12o，消去x得y2_My-8九=0,

工=8%

设A(X1,y^,B(x2,y2),

贝！1%+%=8机，乂%=-8〃，

由。可得+%%=°，

即必当+^^=0,即K%(1+普)=0，

64o4

—8〃

即一8〃(1+--)=0,又〃W0,

64

解得〃=8,

所以直线方程为X=7盯+8,当y=。时，X=8,

所以直线/过定点(8,0)

19、(1)证明见解析；(2)当机=-,时，/被C截得的弦长最短，最短弦长为

6

【解析】(1)求出直线/的定点，进而判断定点和圆C的位置关系，最后得到答案；

(2)当圆心C到直线/的距离最大时，弦长最短，进而求出机，然后根据勾股定理求出弦长.

【详解】(1)直线/的方程可化为y+3=2机(x—4),则/过定点P(4,-3),

由于42+(-3)2-6x4+12x(—3)+20=—15<0,

所以点尸在圆内，故直线/与圆C总相交

(2)圆的C方程可化为：(*—3>+(J+6)2=25,

如图所示，当圆心C(3,—6)到直线/的距离最大时，弦A3的长度最短，

在直角△APC中，\PC\=V10，|AC|=5,所以|A3|=2j|=2而.

故当机=一，时，/被C截得的弦长最短，最短弦长为2厉.

20、(1)p=2,焦点坐标(1,0)

⑵80

【解析】(1)将点A的坐标代入抛物线的方程，可求得0的值，进而可得抛物线的焦点坐标；

(2)写出直线A3的方程，联立直线与抛物线方程求得交点坐标，利用两点之间的距离公式即可求解.

【小问1详解】

因为点A(L—2)在抛物线y2=2px(p〉0)上，所以4=2，，即p=2

所以抛物线的方程为V=4x,焦点坐标为(1,0)；

【小问2详解】

由已知得直线A3方程为y+2=x—1,即y=x-3

fy=x-3

由<24得%2—1。1+9=。，解得x=l或x=9

［旷=4x

所以5(9,6),贝(J|Afi|=J(9-If+(6+2)2=&发

21、(1)(-2,0)

⑵工

2

【解析】(1)直线PQ的方程为y=2),其中左wo,联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合已知条件可求得

点3的坐标；

(2)直线4W的方程为丁=左［》一点;利用倾斜角定义知sin6=心〒，|AP|=—联立直线

J1+42sm6>1sm6»

与抛物线方程，利用弦长公式求得|肱v|,进而得解.

小问1详解】

由题意，直线P。的方程为了=左(％-2),其中左w0.

设8(私

y=k{x-2)2p

联立。:,消去X得丁9―/)-4p=0.

y=2pxk

A4P?2p

••△=F-+16p>Oj+%=