第二章 直线和圆的方程 章末测试（提升）（解析版）

直线和圆的方程章末测试（提升）单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)1．（2023山东）过点，且与两坐标轴同时相切的圆的方程是（

）A．或B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得，圆心到两坐标轴的距离相等，且为半径，所以圆心一定在直线或上；当圆心在上时，不妨设圆心坐标为，半径为，则，且圆心到的距离为，即解得或，所以圆心为时，半径，圆的方程为；圆心为时，半径为，圆的方程为；当圆心在上时，不妨设圆心坐标为，半径为，且，即，此时方程无解；所以圆的方程为或.如下图所示：

故选：A2．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等，由圆的圆心为：，圆心到的距离为：，圆心到的距离为：，所以，由题意，所以，故选：A.3．（2022·高二课时练习）已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】设点的坐标为，圆的圆心坐标为，设是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆的圆周，所以反射光线经过点，由反射的性质可知：，于是，所以反射光线所在的直线方程为：，故选：A.4．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】设，因为，所以，因为，所以相当于圆上的点到点距离，所以的最大值为圆心到点距离与圆的半径的和，即.故选：C.

5．（2023春·河南漯河·高二统考期末）设点为直线上任意一点，过点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，连接，，

根据题意，设为直线上的一点，则，由于为圆的切线，则有，，则点、在以为直径的圆上，以为直径的圆的圆心为,，半径，则其方程为，变形可得，联立可得直线AB：，又由，则有AB：，变形可得，则有，解可得，故直线恒过定点.故选：B.6．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（

）A． B．C．或 D．【答案】B【解析】是斜率为的直线，曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，画出它们的图象如图，当直线与圆相切时，（舍去），当直线过时，,由图可以看出：当时，直线与半圆有两个公共点，故选：

7．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）若M、N为圆上任意两点，P为直线上一个动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，设PA、PB是过点P圆的两切线，且A、B为切点，如图，显然，当PM，PN为两切线时取等号；因为PA、PB是过点P圆的两切线，所以，，由圆的对称性易得，显然是锐角，在中，，又，所以，所以，∴．故选：B．.8．（2023·全国·高三专题练习）已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，令，则，则M.如图，当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，为，即直线到点M距离，为.故选：D二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2022·高二课时练习）设有一组圆：，下列命题正确的是（

）A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上B．所有圆均不经过点C．经过点的圆有且只有一个D．所有圆的面积均为【答案】ABD【解析】A选项，圆心为，一定在直线上，A正确；B选项，将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，B正确；C选项，将代入得：，其中，故经过点的圆有两个，故C错误；D选项，所有圆的半径为2，面积为，故D正确.故选：ABD.10．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线，则下列结论正确的是（

）A．若直线经过原点，则B．若直线在两坐标轴上的截距之和为0，且，则C．若直线与圆相切，则D．若直线是圆与圆的公共弦所在直线，则【答案】BC【解析】直线，对于A，直线经过原点，则，即，故A错误；对于B，设直线在轴上的截距分别为，即直线过，且，则且，又，则且，则，则，故B正确；圆的圆心，半径为，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，即，则，则，故C正确；圆与圆的公共弦所在直线为，即，直线，由题意，两线重合，则，得，又，即，解得，故D错误.故选：BC.11．（2023春·广西河池·高二统考期末）已知圆，点为圆上一动点，为坐标原点，则下列说法中正确的是（

）A．的最大值为B．的最小值为C．直线的斜率范围为D．以线段为直径的圆与圆的公共弦方程为【答案】AC【解析】圆的圆心，半径，又，所以，即点在圆外，所以，故A正确；，当且仅当在线段与圆的交点时取等号，故B错误；设直线，根据题意可得点到直线的距离，解得，故C正确；设的中点为，则，又，所以以为直径圆的方程，显然圆与圆相交，所以公共弦方程为，故D错误．

故选：AC．12．（2023春·甘肃庆阳·高二校考期末）点P在圆上，点Q在圆上，则（

）A．的最小值为2B．的最大值为7C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆相交弦所在直线的方程为【答案】BC【解析】由已知，半径为，圆的标准方程为，故，半径，∴圆心距，又在圆上，在圆上，则的最小值为，最大值为，故A错误、B正确；两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.故选：BC.

三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2023福建）已知圆：，过点的直线与圆交于点，，线段的中点为，则点的轨迹方程为.【答案】【解析】由圆：方程变形为标准式，进而得出，所以点在圆内部，又因为为线段的中点，连接，由垂径定理得，设点的坐标，得，，所以，得，整理得，所以点的轨迹方程为，故答案为：

14．（2023春·重庆沙坪坝）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为．【答案】【解析】如图所示，圆的圆心为，半径为3，圆的圆心为，半径为1，可知，所以，若求的最大值，转化为求的最大值，设关于直线的对称点为B，设B坐标为，则，解得，故B，因为，可得，当P，B，A三点共线，即P点为时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：.15．（2023春·广东阳江·高二统考期末）已知圆，过点的直线被该圆所截的弦长的最小值为.【答案】【解析】将圆的一般方程化为设圆心为，直线过点，与圆交于，两点，则，半径，

设圆心到直线的距离为，则弦长，当直线与所在的直线垂直时最大，此时最小，这时，所以最小的弦长，故答案为：.16．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）经过点的直线l与圆交与P，Q两点，如果，则直线l的方程为．【答案】或【解析】圆的圆心，半径，因为圆截直线所得弦长为，则圆到直线的距离，因为直线过点，则当直线斜率不存在时，直线，显然圆心到直线距离为1，因此直线：符合题意；当直线斜率存在时，设其方程为，即，于是，解得，方程为，所以直线l的方程为或.故答案为：或

四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆，直线.(1)证明：直线和圆恒有两个交点；(2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程.【答案】(1)证明见解析(2)最小值为，此时直线方程为【解析】（1）直线，即，联立解得所以不论取何值，直线必过定点.圆，圆心坐标为，半径，因为，所以点在圆内部，则直线与圆恒有两个交点.（2）直线经过圆内定点，圆心，记圆心到直线的距离为d.因为，所以当d最大时，取得最小值，所以当直线时，被圆截得的弦最短，此时，因为，所以直线的斜率为，又直线过点，所以当取得最小值时，直线的方程为，即，综上：最小值为，此时直线方程为.

18．（2023春·江苏扬州·高二江苏省江都中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，．(1)当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；(2)对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围．【答案】(1)或(2)【解析】（1）当时，圆C的方程为，圆心，半径，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足条件；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由直线l与圆C相切，则，解得，所以l的方程为，即，综上得，直线l的方程为或；（2）圆心，，则线段的中垂线的方程为，即，要使得，则M在线段的中垂线上，所以存在点M既要在上，又要在圆C上，所以直线与圆C有公共点，所以，解得，所以．

19．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知圆过两点，，且圆心P在直线上．(1)求圆P的方程；(2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【解析】（1）依题意圆心P在直线上，可设圆P的方程为，因为圆P过两点，，所以，解得，所以圆P的方程为.（2）由（1）可知，圆心，半径，当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为1，此时满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，当时，圆心到直线的距离，即有，解得，此时直线的方程为，即为.综上，直线的方程为或.20．（2022秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且．(1)求直线和的交点坐标；(2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程．【答案】(1)(2)或【解析】（1）由直线的方程为，，可得直线的斜率为2，又在轴上的截距为，即过点，所以直线方程：，即，联立方程，得：，故交点为；（2）依据题意直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍，且直线经过与的交点当直线过原点时，方程为：，当直线不过原点时，设方程为，则，解得，故方程为：，即综上所述：的方程为或.21．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知圆(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；(2)从圆C外一点向该圆引一条切线，切点为M，且有为坐标原点，点P的轨迹方程.【答案】(1)或或；(2)【解析】（1）圆的圆心为，半径为2，①设圆C的切线在x轴、y轴上的截距