第二章 直线和圆的方程 章末重难点归纳总结（解析版）

第二章直线和圆的方程章末重难点归纳总结考点一倾斜角与斜率【例1-1】（2022秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为，直线经过点，，且与l垂直，直线与直线平行，则等于（

）A． B． C．0 D．2【答案】B【解析】由题意知：，而与l垂直，即，又直线与直线平行，则，故，又经过点，，则，解得，所以.故选：B.【例1-2】（2023·北京）已知两点A（1，﹣2），B（2，1），直线l过点P（0，﹣1）与线段AB有交点，则直线l斜率取值范围为．【答案】【解析】如图所示，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率．故答案为：.

【例1-3】（2023·全国·高三对口高考）直线和，当时，；当时，；当时，与相交．【答案】/0.5且【解析】由题知，，，解得；，，解得；与相交，，解得且.故答案为：；；且【一隅三反】1．（2023秋·山东济南）已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为直线与垂直，且，所以，解得，设的倾斜角为，，所以.故选：A.2．（2023·江苏·高二假期作业）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（

）A．垂直 B．斜交C．平行 D．重合【答案】A【解析】设两直线的斜率分别为，，因为，是方程的两根，所以利用根与系数的关系得，所以两直线的位置关系是垂直．故选：A．3．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）已知直线，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由直线，，可得，解得．故选：D.考点二直线方程【例2-1】（2023江苏）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是，且经过点A(5,3)；(2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；(3)在x轴，y轴上的截距分别为，；(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．(5)求过点，斜率是3的直线方程.(6)求经过点，且在轴上截距为2的直线方程.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)；(6).【解析】（1）由点斜式，得直线方程为，即.（2）由两点式，得直线方程为，即.（3）由截距式，得直线方程为，即.（4）平行于x轴，所以，直线的斜率为0，又因为直线过点B(4,2)，所以，直线方程为：（5）因为直线过点，且斜率是3，所以该直线方程为；（6）因为直线在轴上截距为2，所以该直线方程为，又因为该直线过点，所以有，【一隅三反】1．（2023·广东韶关）求过直线和的交点，且满足下列条件的直线方程．(1)过点；(2)和直线平行；(3)和直线垂直．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）联立方程解得两直线的交点为(0，2),∵直线过点(0，2)，，∴直线的方程为，即.（2）∵直线的斜率，∴直线l的斜率为，且过点(0，2)，∴直线l的方程为即.（3）∵直线斜率，则直线l的斜率为，且过点(0，2)∴直线l的方程为，即.2．（2023·江苏）根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：(1)斜率是且经过点；(2)经过两点；(3)在轴上的截距分别为，.(4)过点，且平行于：的直线；(5)与：垂直，且过点的直线．（6）直线过点和点，求该直线的方程；（7）直线过点，且倾斜角的正弦值是，求该直线的方程.【答案】(1)(2)(3).(4)(5)（6）；（7）或.【解析】（1）由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，化为一般式方程为；（2）由直线的两点式方程可知，所求直线方程为，化为一般式方程为；（3）由直线的截距式方程可知，所求直线方程，化为一般式方程为.（4）解：所求直线行于，：的斜率为∴所求直线的斜率为，又过点为，∴由点斜式可得直线方程为，即；∴所求直线方程为（5）解：因为所求直线与垂直，：的斜率为，所以，所求直线的斜率为，因为所求直线过点所以，所求直线方程为，即所以，所求直线方程为．（6）过点（2，0）和点的斜率为，故直线的方程为，即.（7）设直线的倾斜角为，则，所以.所以.所以直线的方程为，即或.考点三圆的方程【例3-1】（2023安徽）已知圆的圆心在轴上，半径长为，且过点的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设圆心，则半径，解得：，所以圆的标准方程为，故选：D.【例3-2】（2022秋·高二课时练习）已知圆的标准方程为，则此圆的圆心及半径长分别为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由标准方程可得：圆的圆心为，半径为，故选：B.【一隅三反】1．（2023·重庆·高二统考学业考试）已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是和，所以圆心为，直径为，所以圆的标准方程是.故选：C.2．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是.【答案】【解析】、,的中点坐标为，即为圆心坐标，又圆的半径为则所求圆的方程为.故答案为：.3．（2023春·上海宝山·高二统考期末）若表示圆，则实数的值为.【答案】【解析】因为表示圆，所以，解得或，当时方程，即，不表示任何图形，故舍去；当时方程，即，表示以为圆心，为半径的圆，符合题意；故答案为：4．（2022秋·高二课时练习）已知圆经过点，且圆心在直线上运动，求当半径最小时的圆的标准方程为【答案】【解析】设圆心，则半径为，故当时，取得最小值为，此时圆心为，故当半径最小时的圆的方程为.故答案为：考点四点、线、圆的位置关系【例4-1】（2023春·福建福州·高二校联考期末）（多选）已知圆O：和圆M：相交于A，B两点，点C是圆M上的动点，定点P的坐标为，则下列说法正确的是（

）A．圆M的圆心为，半径为1B．直线AB的方程为C．线段AB的长为D．的最大值为6【答案】BCD【解析】选项A，因为圆M的标准方程为，所以圆心为圆心为，半径为1，故选项A错误；选项B，因为圆O：和圆M：相交于A，B两点，两圆相减得到，即，故选B正确；选项C，由选项B知，圆心到直线的距离为，所以，故选项C正确；选项D，因为,，所以，又圆的半径为1，故的最大值为，故选项D正确.故选项：BCD.【例4-2】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题知：，，，，.因为和有公共点，所以，解得.故选：C【一隅三反】1．（2024秋·湖北）过点且倾斜角为的直线交圆于两点，则弦的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】过点且倾斜角为的直线的方程为即又圆即，所以圆心，半径则圆心到直线的距离直线被圆截得的弦故选：2．（2023广西）若圆与圆外切，则＝（

）A．21 B．19 C．9 D．【答案】C【解析】依题意可得圆与圆的圆心分别为，，则，又，且两圆外切，则，得到，解得．故选：C.3．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）（多选）已知圆M：，圆N：，直线l：，则下列说法正确的是（

）A．圆N的圆心为B．圆M与圆N相交C．当圆M与直线l相切时，则D．当时，圆M与直线l相交所得的弦长为【答案】BD【解析】由题设，，则且半径，，则且半径，A错；所以，即两圆相交，B对；到直线l的距离，若圆M与直线l相切，则，所以或，C错；当时，即圆M与直线l相交，相交弦长为，D对.故选：BD4．（2023安徽）（多选）已知圆与圆，下列说法正确的是（

）A．与的公切线恰有4条B．与相交弦的方程为C．与相交弦的弦长为D．若分别是圆上的动点，则【答案】BD【解析】由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，，故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误；做差可得与相交弦的方程为到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C错误；若分别是圆上的动点，则，故D正确.故选：BD考点五距离问题【例5-1】（2023秋·高二课时练习）两条平行直线与间的距离为（

）A． B．2 C．14 D．【答案】D【解析】由距离公式可知，所求距离为.故选：D【例5-2】（2023春·山东潍坊·高二校联考期末）圆上的点到直线的距离的最大值为（

）．A．3 B．5 C． D．【答案】B【解析】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离的最大值为，故选：B【例5-3】（2023秋·高一单元测试）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】圆：与圆：的圆心分别为：，由题意得的最小值为的最小值，设关于直线的对称点为，则，解得，则，如图所示：

当三点共线时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为，故选：B【一隅三反】1．（2023·安徽黄山）若直线与之间的距离为，则a的值为（

）A．4 B． C．4或 D．8或【答案】C【解析】将直线化为，则直线与直线之间的距离，根据题意可得：，即，解得或，所以a的值为或.故选：C2．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）若直线与之间的距离为，则a的值为（

）A．4 B． C．4或 D．8或【答案】C【解析】将直线化为，则直线与直线之间的距离，根据题意可得：，即，解得或，所以a的值为或.故选：C3（2023春·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中）已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】由题意知，直线：恒过定点，直线：恒过定点，如图所示，过作的垂线段，垂足为，那么必有，当且仅当与重合时取等号，从而的最大值为，即点到直线：距离的最大值是.故选：D.

4．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】

由于，故点在圆内，化为标准方程：.如图，设，垂足为，设直线和圆的交点是，根据垂径定理，，为使得最小，必须最大，显然，重合的时候取得等号，此时，由于，所以直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：C5．（2023·江苏·高二假期作业）直线和直线分别过定点和，则|．【答案】【解析】将直线的方程变形为，由，可得，即点，将直线的方程变形为，由，可得，即点，所以，.故答案为：.考点六对称问题【例6-1】（2023秋·高二课时练习）若点关于直线对称，则；．【答案】42【解析】依题意，直线的斜率为，线段的中点，于是，整理得，解得，所以.故答案为：4；2【例6-2】（2022秋·高二校考课时练习）直线关于直线对称的直线方程是.【答案】【解析】设所求直线上任一点的坐标为，该点关于的对称点的坐标为，则,得对称点的坐标为，又点在直线上，所以，即.所以所求直线方程为.故答案为：.【例6-3】（2023·山东泰安）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，解得.故选：A.【一隅三反】1．（2023春·上海杨浦·高二校考期中）直线关于点对称的直线的一般式方程为．【答案】【解析】设对称直线为，根据点到两条直线的距离相等，则有，即，解得（舍）或.所以对称直线的方程为.故答案为：.2．（2023秋·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程为．【答案】【解析】在对称直线上任取一点,设关于点对称的点为，由于在直线上，所以，即，故答案为：3．（2022·全国·高一专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为．【答案】.【解析】由题意知，设直线，在直线上取点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，将代入的方程得，所以直线的方程为.故答案为：4