高二数学下学期第一次月考模拟试卷（空间向量与立体几何+计数原理）（解析版）

绝密★考试结束前2022-2023学年高二数学下学期第一次月考模拟试卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________班级_________考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）已知空间向量，，若则（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，.又，所以，所以，.故选：D.2．（2023春·山西吕梁·高二校考开学考试）已知点，则点到直线的距离是（）A． B． C． D．5【答案】B【解析】设，可求得，所以．故选：B3．（2022春·江苏·高二校联考阶段练习）中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排6名航天员开展实验，其中每个舱安排2人.若甲､乙两人不被安排在同一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A．20种 B．36种 C．72种 D．84种【答案】C【解析】将6名航天员每个舱安排2人开展实验的所有安排方法数为，其中甲､乙两人被安排在同一个舱内做实验的安排方法数为，所以满足条件的不同的安排方案数为.故选：C.4．（2022秋·湖南怀化·高二校联考期末）如图，各棱长都为的四面体中，，则向量（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得夹角，夹角，夹角均为，，，，故选：A.5．（2022秋·江苏苏州·高二校考阶段练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（）A．2004 B．2005 C．2025 D．2026【答案】D【解析】若，由二项式定理得，则，因为能被5整除，所以a除以5余，又因为，选项中2026除以5余1．故选：D．6．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，，是的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.若，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，设，则有，，由得.，∴.故异面直线与所成角的余弦值为.故选：A7．（2023春·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【解析】根据题意可知，对于选项A，假设存在一组实数对满足，可知无解，即向量，，不共面；对于选项B，假设存在一组实数对满足，可知无解，即向量，，不共面；对于选项C，假设存在一组实数对满足，可知无解，即向量，，不共面；只有D选项存在一组实数对满足，即，，是共面向量.故选：D8．（2022春·江苏·高二校联考阶段练习）设，若，则实数m可能是（）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【解析】因为，令得①，令得②，①②得，所以，其中因为，所以，即能被整除，又又被除余，所以能被整除，即，所以，当时；故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2022春·江苏·高二校联考阶段练习）（多选题）下面四个结论正确的是（

）A．空间向量，若，则B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D．任意向量满足【答案】ABC【解析】对于：空间向量，若，则，故正确；对于B：若对空间中任意一点，有，由于，则四点共面，故B正确；对于C：已知是空间的一组基底，若，则两向量之间不共线，故也是空间的一组基底，故C正确；对于D：任意向量满足，由于是一个数值，也是一个数值，则说明和存在倍数关系，由于是任意向量，不一定存在倍数关系，故D错误．故选：ABC．10．（2022秋·广东江门·高二江门市棠下中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面，则（）A． B．与平面所成角为C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面的夹角的余弦值为【答案】AD【解析】连接，因为，设，由余弦定理得，所以，则，则，即，又底面，底面，所以，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则对于A，所以，，则，所以，故A正确；对于B，又，因为底面，所以是平面的一个法向量，所以，则与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角为，故B错误；对于C，，则，则异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；对于D，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以，则平面与平面的夹角的余弦值为，故D正确.故选：AD.11．（2022秋·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（）A．可组成300个不重复的四位数B．可组成156个不重复的四位偶数C．可组成96个能被3整除的不重复四位数D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为2310【答案】ABC【解析】A选项，从、、、、中选一个排在首位有种选法，再从剩下的五个数中选三个数排在百位、十位、个位有种排法，由分步乘法原理可得：个，所以A正确；B选项，分为两类：在个位，则有种；不在个位，从、中选一个排在个位，首位从、、和、中剩下的一个数共四个数中选一个，十位和百位再从剩下的四个数中选排，则共有种，∴共有种，所以B正确；C选项，先把四个相加能被整除的四个数从小到大列举出来，即先选：，、、、，它们排列出来的数一定可以被整除，∴共有：种，所以C正确；D选项，首位为的有个，前两位为的有个，前两位为的有个，因而第个数字是前两位为的最小数，即为，所以D不正确；.故选：ABC．12．（2022春·江苏·高二校联考阶段练习）设，则下列选项正确的是（）A．B．C．中最大的是D．【答案】AB【解析】设，则，所以选项正确；令，得选项正确；为负数，显然选项错误；令，得，令，得，所以选项错误.故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知向量，，，共线且方向相反，则__________.【答案】【解析】因为，共线且方向相反，所以设，即可得解得或（舍），所以,故答案为:.14．（2023春·辽宁朝阳·高二统考阶段练习）的展开式中的常数项为__________.（用数字作答）【答案】180【解析】，展开式中的常数项为，的展开式中的项为，则的系数为，所以展开式中的常数项为.故答案为：180.15．（2022秋·福建福州·高二福建省福州格致中学校考阶段练习）共有6名志愿者要到三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去A社区，则不同的安排方法共有______种.（用数字作答）【答案】210【解析】先选出2名志愿者去A社区，有种方法，再把剩下的4名志愿者分成两组，可以按照1、3和2、2来分，并分配到其他两个社区，有种方法，所以共有种方法，故答案为：210.16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点，且二面角的平面角大小为，则动点的轨迹的长度为______.【答案】【解析】因为平面，平面，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又因为，所以PA，AB，AD两两垂直，所以以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，因为是四边形内部一点，设，其中，平面PDA的法向量为，设平面QPD的法向量为，则，令，则，所以，，由于，所以，故，因为的平面角大小为，设为，则，解得：，设直线与轴交点分别为，故动点的轨迹的长度为的长，令得：，故令得：，故由勾股定理得：，所以动点的轨迹的长度为.故答案为：.四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022秋·广东梅州·高二校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，面，在四边形中，，点在上，.求证：（1）CM面；（2）面面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设为平面的一个法向量，由得令，得，，则，又平面，平面.（2）如图，取的中点，连接，则..又，，又平面,平面，又平面，平面平面18．（2022秋·广东·高二统考阶段练习）如图，在四棱锥中，满足底面．（1）求证：平面平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求B到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接交于E点，由于在平面内，，所以,则,由于，故,,又，故,所以,则，故,又平面，平面，故，平面，故平面,平面，故平面平面.（2）因为平面，平面，故，又，故以A为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，故,设平面的法向量为，则,即，令，则，即，平面的法向量可取为，因为平面与平面的夹角的余弦值为，故，解得，则,，所以，由于，故，故,设B到平面的距离，故由得：，解得.19．（2023春·广东·高二统考阶段练习）如图，把边长为的正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，F是BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，动点E在线段AD（包含端点A，D）上．（1）若E为AD的中点，求直线AB到平面EOF的距离；（2）在线段AD上是否存在点E，使得平面EOF与平面ABC的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，的值为.【解析】（1）连接，因为所以又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又因为，.所以建立如图所示空间直角坐标系，所以,,设平面的法向量为，则有令则，所以点到平面的距离为，又因为平面，平面，所以平面，所以直线AB到平面EOF的距离为.（2）设存在点,且,，因为,设平面的法向量为，则有令则，又因为平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为为，所以，即解得或（舍），所以存在，且.20．（2022春·山东·高二校联考阶段练习）从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，组成没有重复数字的七位数，试问：（1）能组成多少个这样的七位数？（2）3个偶数排在一起的七位数有多少个？（3）任意2个偶数都不相邻的七位数有多少个？【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）分步完成：第一步，从4个偶数中取3个，有种情况；第二步，从5个奇数中取4个，有种情况；第三步，将取出的3个偶数和4个奇数进行全排列，有种情况.所以符合题意的七位数的个数为.（2）由题意，3个偶数排在一起的七位数的个数为（3）由题意，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空隙中，则符合题意的七位数的个数为.21．（2022春·河北·高二校联考期中）已知．（1）求；（2）求；（3）求．【答案】（1）0；（2）-1；（3）200【解析】（1）令，则，令，则，所以．（2）令，则，所以．（3）对两边同时求导，可得，令，可得．22．（2022春·江苏连云港·高二统考期中）一组学生共有7人．（1）若有3名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数；（2）全体排成一排，甲既不站排头也不站接尾，求不同的排列方法总数；（3）如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人