体积与表面积（练习）（含解析）2023年高考数学二轮复习

考点7-3体积与表面积

卜维练基础J//

1.（2023•全国•高三专题练习）已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是一个圆心角为120°

的扇形，则该圆锥的表面积为（）

A.2πB.3乃C.4πD.5兀

【答案】C

【分析】

先求出母线长，再由圆锥的表面积公式求解即可.

【详解】

2万

设圆锥的母线长为/,则人号=2乃，解得/=3,则该圆锥的表面积为%χ3χl+乃χl?=4万.

故选：C.

2.（2022.全国•高考真题）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3百和4√L其

顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.100πB.128πC.144πD.192π

【答案】A

【分析】

根据题意可求出正三楼台上下底面所在圆面的半径小々，再根据球心距，圆面半径，以及球

的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】

设正三棱台上下底面所在圆面的半径小为，所以2∕1=H-,2G=业£,即4=3,w=4,

sin60sin60

设球心到上下底面的距离分别为4,4,球的半径为/?,所以d=Jj一9,⅛=√Λ2-16,

故14-蜀=1或4+%=1,即I依-9-√Λ2-16∣=1或√F≡9+√F≡16=1，解得代=25符

合题意，所以球的表面积为S=4TTR2=ιooπ.

故选：A.

3.（2022•全国•高三专题练习）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具

小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为L若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的

最大棱长为“，则C=（）

A.ɪB.1C.2-√2D.∣（√2-1）

【答案】D

【分析】

画出截面图，设储物盒所在球的半径为R,从而利用R表达出小球最大半径『和正方体棱长。,

进而求出比值.

【详解]

设储物盒所在球的半径为R，如图,

小球最大半径『满足（应+l）r=R,所以r=]g=（应T）R,

正方体的最大棱长〃满足（、&Y+（^j=R"解得：α=∣R,

∙∙.∑=2⅞^=1（^~1）,故选：D.

3

4.（2022•江西•模拟预测（文））如图,在棱长为2的正方体A8CZ）-A1BCQ中，E是侧面BBGC

内的一个动点，则三棱锥。-AER的体积为.

4

【答案】y

【分析】'

根据三棱锥的体积公式可求出结果.

【详解】

点E到平面A。R的距离为2,

1114

所以勿Am=^FΛ∩n.=—SAAM-2=-×-×2×2×2=-.

,,1/Lf~Λt,lJyC,一ΛZ√Zz∣3323

4

故答案为：—.

5.（2022•辽宁,二模）市面上出现某种如图所示的冰激凌，它的下方可以看作一个圆台，上

方可以看作一个圆锥，对该组合体进行测量，圆台下底面半径为4cm,上底面半径为2cm,

高为6cm,上方的圆锥高为8cm,则此冰激凌的体积为cm3.

【答案】

【分析】

先计算圆台的体积，再计算圆锥的体积，二者相加即可.

【详解】圆台的体积工=,%X6X（42+2X4+2B=56Λ∙,圆锥的体积Α=；X2?XIX8=^Λ∙,

总体积为7=4+4=竽，故答案为：竽.

练能力物

6.（2022•天津♦高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底

面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120。，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为

十字长山M

A.23C.26D.27

【答案】D

【分析】

作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.

【详解】

该几何体由直三棱柱A包C及直三棱柱DGC-AEB组成，作HMLCB于M,如图,

因为CH=BH=3,NCHB=I20,所以CM=BM=辿=3，

22

因为重叠后的底面为正方形，所以AB=BC=3石，

在宜棱柱AFBHC中，AβBHC,则Aβ,HM,

由ABCBC=B可得HM_1_平面ADCB,

设重叠后的EG与FH交点为I,

E

Q127

则该几何体的体积为V=2匕叩®C-LZ（SI=2×--y=27.

故选：D.

7.（2022•全国•高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和

为2兀，侧面积分别为跖,和名,体积分别为%和%.若萨=2,则萨=（）

》乙V乙

A.√5B.2√2C.√10D.

4

【答案】C

【分析】

设母线长为/，甲圆锥底面半径为小乙圆锥底面圆半径为4,根据圆锥的侧面积公式可得

6=24，再结合圆心角之和可将小为分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，

再根据圆锥的体积公式即可得解.

【详解】

解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为小乙圆锥底面圆半径为4，

1⅛34„r,-,uC,2πr.2πr,Cr,,lz;+n,rι,.x.2,1,

WJ—=―;=—=2,所以4=2々，又一；-!■+—r-=2乃，则=所以4,

5Δπr2lr2[//33

所以甲圆锥的高九=JY/2=与I,乙圆锥的高为=J/f=半/,

22

v-πrlhj-l×^l

所以*=——=T―*=加•故选：C

393

8.（2022・全国•高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的

体积为36乃，且3≤∕≤3√L则该正四棱锥体积的取值范围是（）

【答案】C

【分析】

设正四棱锥的高为力，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确

定正四棱锥体积的取值范围.

【详解】

V球的体积为367，所以球的半径R=3,

设正四棱锥的底面边长为20,高为〃，则F=2/+*,3?=2/+(3-0)2,所以6/7=/2,

2a2=l2-h2

426

Izz19∕I∖(I\

所以正四棱锥的体积V=qS=4x4α2χ∕zqx(∕2-W)x2=χ尸―三，所以

3333669136J

丫，=44尸W=)1生g,

916)9[6)

当3≤∕≤2#时，V,>0,⅛2√6<∕≤3√3,V,<0,

所以当/=2指时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为"，乂/=3时，V=3，∕=3√3

34

时，V=y,

4

所以正四棱锥的体积V的最小值为?，所以该正四棱锥体积的取值范围是多，”.故选：

4L43_

C.

9.(2022・全国•高三专题练习)在三棱锥P-ABC中，以垂直底面ABC,AP=6,SMIC=后，

若三棱锥的内切球半径为∣∙,则此三棱锥的侧面积为.

【答案】3√5

【分析】

设三棱锥内切球圆心为。，以。为顶点将三棱锥P-ABC分为四个小三棱锥，通过三棱锥体

积不变即可求出三棱锥的表面积进而可求得三棱锥的侧面积.

【详解】

设三棱锥内切球圆心为。，以。为顶点将三棱锥P-ABC分为四个小三棱锥，则三棱锥

一13I3131313

尸_ABC的体积V=]X]XSPAC+~×~X5PAB+~x-xsPBc+~jx~xsABC=5X5XS总，

EA垂直底面ABC,

・•・三棱锥P-ABC的体积V=gxSA"X帖=2石，则通过三棱锥体积不变可知S总=46,

.∙.S侧=S总一Sabc=4>∕5-√5=3Λ∕5.

故答案为：3后.

10.(2022・全国•高三专题练习)中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公

共部分，计算其体积所用的'‘基势即同，则积不容异'’是中国古代数学的研究成果，根据此原

理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四

棱锥之后剩余部分的体积(如图1所示).现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三

个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2所示的几何体，该几

何体中间截面三角形边长为当叵，则该几何体的体积为___________.

【分析】

由题设求出中间截面三角形的面积，再类比体积公式求解即可

【详解】

根据题意，图2立体图形的一半，其体积等于与其同底等高的正三棱柱中，去掉一个与其同

底等高正三棱锥之后的体积，

因为该几何体中间截面三角形边长为迪，

3

所以该底面积S=更sin60=处，

2333

因为圆柱的直径为4,所以该几何体一半的高为2,

所以对应正三棱柱及三棱锥的高均为2,

所以对应正三棱柱的体积V=2=里ɪ,

33

正三棱锥的体积K=IX"叵χ2=%无，

1339

所以该几何体的体积为2(V-K)=岑ɪ.

故答案为：出叵

9

卜维练素养JH

11.(2022・浙江•三模)在四棱锥P-AAAA1中，P耳=jςB∖,χ,∈(0,l),i=l,2,3,4.记三棱锥

P-AA2A5P-B1B2B3的体积分别为九匕，四棱锥P-A4AA,P-4约纭乩的体积分别为

Vi,V4,λ=xix1xi,μ≈/Ix4,则()

A.λVt<V2B.AV1>V2C.〃匕<匕D.〃匕>匕

【答案】C

【分析】

VWJPg.n2

：

由K=%j-w⅛，匕=匕卜用与得于———=4即可判断A,B选项；设三棱锥

匕S∙h

3。叫&F

VWSPB、BJh

P-AaA4,P-8/也的体积分别为匕M,同理得音———=x[xixi>μ,则

%ARMI4

匕=K+匕,匕=匕+匕>〃匕+〃％=〃匕即可判断C,D选项.

【详解】

由题意知：黑=和警=%，警=七，警^=z,设4，鸟到平面PA4的距离分别为九，4，

I,^1∣Il∖ryI.<1,⅛/1^

¼PB.

易得片瓦7，

=,

则K=^p-AlA2Ai^A3-PAiA2=§SPA4，4M=½-βjβ2β,=B3-PBxB1=§SPg.为，

iPB∙PβsinZΛPA

ς12l2

7----------------------------=中2>

SΓpaaΛ

Λ2-PAi-PA2-sinZA,PA2

∖7GSPg'h2

则于=^--------=X1X9X3=λ,即匕=4VM则A,B错误；

K3SEM2∙Λl

设三棱锥尸-4434，尸-3区34的体积分别为匕,痣，设4,4到平面PAA4的距离分别为4也，

h.PBl

易得广凌"，

E4

则X=L-MA4二匕IRAI=3SΛAJ,%=Vp_%/BA=VB「pB0=gSpB∖Bj%，

j

S幅BIPB3ZB4SinZA3PA4

=%3%4，

SɪPAPA∙sinZA,PA

PAiAii44

-SAV、二S池再也

IjlivjJl=3_PBm

——=XXX>XXXX=μ,即匕>μV,又M故…•九=xxx=λ>μ

/p>

PAAΛ

33Λ

即%>"K,

又匕=匕+匕，匕=匕+匕>〃乂+〃匕=〃匕，则C正确，D错误.

故选：C.

12.（2023•全国•高三专题练习）已知球。的体积为学，高为1的圆锥内接于球O,经

6

过圆锥顶点的平面。截球。和圆锥所得的截面面积分别为S∣,S?,若Sl=穹25π，则S?=（）

O

A.2B.√5C.√6D.2√2

【答案】C

【分析】

根据给定条件，求出球O半径，平面α截球。所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求

出平面α截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答.

【详解】

球。半径为上由萼R3=与Ξ得R=;

平面α截球。所得截面小圆半径4,由

362

225π,_5

EC=叼=T得θ4=Ξ7Γ

因此，球心O到平面α的距离d=jR2-rj=充=*而球心。在圆锥的轴上，则圆锥的

轴与平面α所成的角为45，

3

因圆锥的高为I,则球心。到圆锥底面圆的距离为4=；,于是得圆锥底面圆半径

Ny=J（I）2-（|）2=2,

令平面α截圆徘所得截面为等腰△/>/包,线段48为圆锥底面圆。的弦,点C为弦A8中点,

依题意，NCPa=45,COl=PoI=I,PC=曰弦AB=2个户一0©?=26,

所以S,=,A8∙PC=6.

2

故选：C

13.（2022•全国•高三专题练习（理））已知某正四棱锥的体积是亚，该几何体的表面积

3

最小值是耳，我们在绘画该表面积最小的几何体的直观图时所画的底面积大小是邑，则Sl和

邑的值分别是（）

A.3：巨B.4；ɪC.4；巫D.3；ɪ

4242

【答案】C

【分析】

设该正四棱锥底面边长为f,高为人由体积得到,产〃=正，再算出侧面积和底面.积，进而

33

得到该四棱锥的表面积，然后通过基本不等式求得答案.

【详解】

如图，O为底面ABCO的中心，E为BC的中点，连接PO,OE,

P

易有，PE7PO?+OE2=>+j，则S.=!”力

22

所以，Sl=2tJh+^+t,将/?=4代入并化简得：S1=2.∕∙⅜+-+?.

1V4t21V/4

THCC∏111IiSi~~7

丁小¥=24审+犷+正+彳+命+彳+彳+彳+1+2，

-

_2_2_2/ʒ~&~3

=t3+f3+t3+t2≥4∖∣t3t3√3√2=4'

_1__?

当且仅当，4。4n∕=ι时，取"=，，

/3=t2

易知，此时底面ABCD直观图的面积S2=lx（；xsin45。）=#.

故选：C.

14.（2022•江西•新余市第一中学模拟预测（理））以ABC为底的两个正三棱锥P-MC和

Q-ABC内接于同一个球，并且正三棱锥P-ABC的侧面与底面45C所成的角为45。，记正

V1

三棱锥P-ABC和正三棱锥。-ABC的体积分别为K和V2,贝IJ才=

V2

【答案】7##0.25

4

【分析】

作图后由二面角的定义与勾股定理，列方程求出正三棱锥高与球的半径之比，再得两个三棱

锥的高之比

【详解】

如图，

Q

正三棱锥P-ABC和正三棱锥Q-ABC内接于同一个球,

设P到底面ABC的距离为4,Q到底面ABC的距离为为，

则孑=2,取AB的中点连接PM,CM,PQ,记PQ与平面ABC的交点为R,

由两个正三棱锥尸-ABC和。-ABC内接于同一个球，故PQ一定为球。的直径，

记其中点为。，且由题意可知，R为正三角形ABC的中心，

因此，PR,QR分别为正三棱锥产一ΛBC和正三棱锥。—ABC的高九，h2,

由R4=PB，QA=QB,。4=。8,且^为48的中点，可得9，相，QM±AB,CMLAB,

则ZPMR为正三棱锥P-ABC的侧面与底