（统考版）高考数学二轮专题复习 课时作业14 圆锥曲线中的证明、定点及定值问题 文（含解析）-人教版高三全册数学试题

课时作业14圆锥曲线中的证明、定点及定值问题[A·基础达标]1．设椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若椭圆E的离心率为eq\f(\r(2),2)，△ABF2的周长为4eq\r(6).(1)求椭圆E的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．2．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,3)，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝eq\f(8,3).(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值．

[B·素养提升]1．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，直线2x＋y－6eq\r(3)＝0与直线MN垂直，垂足为点B，且点N是线段MB的中点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于E，F两点，点G在椭圆C上，且四边形OEGF(O为坐标原点)为平行四边形，求证：四边形OEGF的面积S为定值．2．[2020·长沙市统一模拟考试]已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为eq\f(1,2)，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为4eq\r(2).(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程．(2)过点A(－4,0)的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．课时作业14圆锥曲线中的证明、定点及定值问题[A·基础达标]1．解析：(1)由题意知，4a＝4eq\r(6)，a＝eq\r(6).又e＝eq\f(\r(2),2)，∴c＝eq\r(3)，b＝eq\r(3)，∴椭圆E的方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上O，M，N三点共线；当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),6)＋\f(y\o\al(2,1),3)＝1,\f(x\o\al(2,2),6)＋\f(y\o\al(2,2),3)＝1))，两式相减，得eq\f(x\o\al(2,1),6)＋eq\f(y\o\al(2,1),3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,2),6)＋\f(y\o\al(2,2),3)))＝0，∴eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),6)＝－eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),3)，eq\f(x1－x2x1＋x2,6)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,3)，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝－eq\f(3,6)，eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y0,x0)＝－eq\f(3,6)，即k·kOM＝－eq\f(1,2).∴kOM＝－eq\f(1,2k).同理可得kON＝－eq\f(1,2k)，∴kOM＝kON，∴O，M，N三点共线．2．解析：(1)由AF2⊥F1F2，|AF2|＝eq\f(8,3)，得eq\f(b2,a)＝eq\f(8,3).又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8.故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.(2)由题意可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，所以eq\o(F1M,\s\up11(→))＝(－2，－3k＋m)，eq\o(F1N,\s\up11(→))＝(4,3k＋m)，所以eq\o(F1M,\s\up11(→))·eq\o(F1N,\s\up11(→))＝－8＋m2－9k2.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋\f(y2,8)＝1,y＝kx＋m))，得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0，因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)·(9化简得m2＝9k2＋8.所以eq\o(F1M,\s\up11(→))·eq\o(F1N,\s\up11(→))＝－8＋m2－9k2＝0，所以eq\o(F1M,\s\up11(→))⊥eq\o(F1N,\s\up11(→))，故∠MF1N为定值eq\f(π,2).[B·素养提升]1．解析：(1)由题意知M(－a,0)，N(0，b)，直线MN的斜率k＝eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝2b.①因为点N是线段MB的中点，所以点B的坐标为(a,2b)．又点B在直线2x＋y－6eq\r(3)＝0上，所以2a＋2b＝6eq\r(3)，②联立①②，解得a＝2eq\r(3)，b＝eq\r(3).所以椭圆C的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,12)＋\f(y2,3)＝1))消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.易知Δ>0，则x1＋x2＝－eq\f(8km,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4m2－12,1＋4k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝eq\f(2m,1＋4k2).因为四边形OEGF为平行四边形，所以eq\o(OG,\s\up11(→))＝eq\o(OE,\s\up11(→))＋eq\o(OF,\s\up11(→))＝(x1＋x2，y1＋y2)，可得Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8km,1＋4k2)，\f(2m,1＋4k2))).将点G的坐标代入椭圆C的方程，得m2＝eq\f(3,4)(1＋4k2)．又点O到直线EF的距离d＝eq\f(|m|,\r(1＋k2))，|EF|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，所以平行四边形OEGF的面积S＝d×|EF|＝|m||x1－x2|＝|m|×eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝4×eq\f(|m|\r(3－m2＋12k2),1＋4k2)＝4×eq\f(|m|\r(3m2),1＋4k2)＝eq\f(4\r(3)m2,1＋4k2)＝3eq\r(3).于是四边形OEGF的面积S为定值，且定值为3eq\r(3).2．解析：(1)设椭圆C1的半焦距为c.依题意，可得a＝eq\f(p,2)，则C2：y2＝4ax，代入x＝c，得y2＝4ac，即y＝±2eq\r(ac)，所以4eq\r(ac)＝4eq\r(2)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac＝2,\f(c,a)＝\f(1,2),a2＝b2＋c2))，所以a＝2，b＝eq\r(3)，所以椭圆C1的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，抛物线C2的方程为y2＝8x.(2)依题意，当直线l的斜率不为0时，设其方程为x＝ty－4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty－4,3x2＋4y2＝12))，得(3t2＋4)y2－24ty＋36＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则E(x1，－y1)．由Δ>0，得t<－2或t>2，且y1＋y2＝eq\f(24t,3t2＋4)，y1y2＝eq\f(36,3t2＋4).根据椭圆的对称性可知，若直线EN过定点，此定点必在x轴上，设此定点为Q(m,0)．因为kNQ＝kEQ，所以eq\f(y2,x2－m)＝eq\f(－y1,x1－m)，(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0，即(ty1－4－m)y2＋(ty2－4－m)y1＝0,2