（聚焦典型）高三数学一轮复习《合情推理与演绎推理》理 新人教B版

[第67讲合情推理与演绎推理](时间：45分钟分值：100分)eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．[2013·太原检测]下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C．由平面正三角形的性质，推测空间正四面体的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1),))(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式2．[2013·洛阳检测]“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝eq\f(1,3)x是指数函数(小前提)，所以y＝eq\f(1,3)x是增函数(结论)”，上面推理的错误是()A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错3．把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为()124357681012911131517141618202224A．105B．106C．107D．1084．[2013·山西五校联考]我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3，4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n＝(－1，－2，1)的平面的方程为()A．x＋2y－z－2＝0B．x－2y－z－2＝0C．x＋2y＋z－2＝0D．x＋2y＋z＋2＝0eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．[2013·哈尔滨模拟]观察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011的末四位数字为()A．3125B．5625C．0625D．81256．在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7<b5＋b87．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，n∈N，则f2013(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx8．[2013·江西卷]观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．1999．[2013·太原模拟]四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1、2、3、4号位置上(如图K67－1)，第一次前后排动物互换位置，第二次左右列互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔的位置对应的是()图K67－1A．编号1B．编号2C．编号3D．编号410．[2013·郑州模拟]设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________．图K67－211．[2013·大连检测]现有一个关于平面图形的命题：如图K67－2所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为eq\f(a2,4).类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．12．观察下列等式：Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(5,5)＝23－2，Ceq\o\al(1,9)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(9,9)＝27＋23，Ceq\o\al(1,13)＋Ceq\o\al(5,13)＋Ceq\o\al(9,13)＋Ceq\o\al(13,13)＝211－25，Ceq\o\al(1,17)＋Ceq\o\al(5,17)＋Ceq\o\al(9,17)＋Ceq\o\al(13,17)＋Ceq\o\al(17,17)＝215＋27，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，Ceq\o\al(1,4n＋1)＋Ceq\o\al(5,4n＋1)＋Ceq\o\al(9,4n＋1)＋…＋Ceq\o\al(4n＋1,4n＋1)＝________．13．[2013·郑州模拟](1)已知等差数列的定义为：在一个数列中，从第二项起，如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义为________________________________________________________________________．(2)已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18的值为________．这个数列的前n项和Sn的计算公式为________．14．(10分)[2013·洛阳模拟]若不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)>eq\f(a,24)对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论．15．(13分)(1)已知：a，b，x均是正数，且a>b，求证：1<eq\f(a＋x,b＋x)<eq\f(a,b)；(2)当a，b，x均是正数，且a<b时，对真分数eq\f(a,b)，给出类似上小题的结论，并予以证明；(3)证明：△ABC中，eq\f(sinA,sinB＋sinC)＋eq\f(sinB,sinC＋sinA)＋eq\f(sinC,sinA＋sinB)<2；(可直接应用第(1)、(2)小题结论)(4)自己设计一道可直接应用第(1)、(2)小题结论的不等式证明题，不要求写出证明过程．eq\a\vs4\al\co1(难点突破)16．(12分)点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．

课时作业(六十七)【基础热身】1．A[解析]两条直线平行，同旁内角互补——大前提，∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提，∠A＋∠B＝180°——结论．故A是演绎推理，而B，D是归纳推理，C是类比推理．故选A.2．A[解析]y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．3．C[解析]由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923，2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.4．A[解析]类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，即x＋2y－z－2＝0.【能力提升】5．D[解析]∵55＝3125，56＝15625，57＝78125，58＝390625，59＝1953125，510＝9765625，…，∴5n(n∈Z且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z且n≥5)的末四位数为f(n)，则f(2011)＝f(501×4＋7)＝f(7)，∴52011与57的末四位数相同，均为8125.故选D.6．A[解析]在等差数列{an}中，由于4＋6＝3＋7时有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{bn}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7或b4＋b8<b5＋b7.∵b4＝b1q3，b5＝b1q4，b7＝b1q6，b8＝b1q7，∴(b4＋b8)－(b5＋b7)＝(b1q3＋b1q7)－(b1q4＋b1q6)＝b1q6·(q－1)－b1q3(q－1)＝(b1q6－b1q3)(q－1)＝b1q3(q3－1)(q－1)．∵q>1，bn>0，∴b4＋b8>b5＋b7.故选A.7．C[解析]f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx＝f1(x)，f6(x)＝(cosx)′＝－sinx＝f2(x)，fn＋4(x)＝…＝…＝fn(x)，故可猜测fn(x)以4为周期，有f4n＋1(x)＝f1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝f2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝f3(x)＝－cosx，f4n＋4(x)＝f4(x)＝sinx，所以f2013(x)＝f503×4＋1(x)＝f1(x)＝cosx，故选C.8．C[解析]考查归纳推理，以及观察能力；解题的突破口是通过观察得到后一项与前两项结果之间的关系．由于a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，故选C.9．C[解析]交换4次是一个周期，第2014次小兔的位置和第2次小兔的位置一样．10.eq\f(x,（2n－1）x＋2n)[解析]观察1，3，7，15，…与对应项的关系，显然满足2n－1，观察2，4，8，16，…与对应项的关系，显然满足2n，故fn(x)＝eq\f(x,（2n－1）x＋2n).11.eq\f(a3,8)[解析]平面内eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)类比到空间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(a3,8).12．24n－1＋(－1)n22n－1[解析]给出的一系列等式中，右边为两项2s形式加减轮换的规律，其中第一个2s的指数由3，7，11，…，4n－1构成，第二个2s的指数由1，3，5，7，…，2n－1构成．由此可归纳为：第二个2s前有(－1)n，二项指数分别为24n－1，22n－1，所以，对于n∈N*，Ceq\o\al(1,4n＋1)＋Ceq\o\al(5,4n＋1)＋Ceq\o\al(9,4n＋1)＋…＋Ceq\o\al(4n＋1,4n＋1)＝24n－1＋(－1)n22n－1.13．(1)在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．(2)3Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5n－1,2)，n为奇数，,\f(5n,2)，n为偶数))[解析](1)在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．(2)由题意知数列{an}为2，3，2，3，2，3，…，故a18＝3；当n为偶数时，Sn＝5·eq\f(n,2)＝eq\f(5n,2)；当n为奇数时，Sn＝eq\f(5（n－1）,2)＋2＝eq\f(5n－1,2).14．解：当n＝1时，eq\f(1,1＋1)＋eq\f(1,1＋2)＋eq\f(1,3＋1)>eq\f(a,24)，即eq\f(26,24)>eq\f(a,24)，所以a<26.而a是正整数，所以取a＝25，下面用数学归纳法证明：eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)>eq\f(25,24).(1)当n＝1时，已证；(2)假设当n＝k时，不等式成立，即eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k＋1)>eq\f(25,24).则当n＝k＋1时，有eq\f(1,（k＋1）＋1)＋eq\f(1,（k＋1）＋2)＋…＋eq\f(1,3（k＋1）＋1)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＋eq\f(1,3k＋4)－eq\f(1,k＋1)>eq\f(25,24)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋4)－eq\f(2,3（k＋1）).因为eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋4)＝eq\f(6（k＋1）,9k2＋18k＋8)>eq\f(2,3（k＋1）)，所以eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋4)－eq\f(2,3（k＋1）)>0.所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)(2)知，对一切正整数n，都有eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)>eq\f(25,24)，所以a的最大值等于25.15．解：(1)∵a＋x>b＋x>0，∴1<eq\f(a＋x,b＋x)，又eq\f(a＋x,b＋x)－eq\f(a,b)＝eq\f(x（b－a）,b（b＋x）)<0，∴1<eq\f(a＋x,b＋x)<eq\f(a,b).(2)∵a<b，∴eq\f(b,a)>1，应用第(1)小题结论，得1<eq\f(b＋x,a＋x)<eq\f(b,a)，取倒数，得eq\f(a,b)<eq\f(a＋x,b＋x)<1.(3)由正弦定理，原题△ABC中，求证：eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)<2.证明：由(2)的结论得a，b，c>0，且eq\f(a,b＋c)，eq\f(b,c＋a)，eq\f(c,a＋b)均小于1，∴eq\f(a,b＋c)<eq\f(2a,a＋b＋c)，eq\f(b,c＋a)<eq\f(2b,a＋b＋c)，eq\f(c,a＋b)<eq\f(2c,a＋b＋c)，eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)<eq\f(2a,a＋b＋c)＋eq\f(2b,a＋b＋c)＋eq\f(2c,a＋b＋c)