基于静力测量数据的梁式结构统计模型修正

摘要随着工程结构变得更加大型，更加复杂，结构的安全性也受到更加广泛的关注，因此利用有限元模拟技术对实体结构进行各种分析变得十分普遍。在建模分析过程中，由于建模误差、施工过程中造成的尺寸误差及实际结构在使用过程中导致的刚度的改变等因素的影响，有限元模型的理论计算结果与结构实测结果间总存在偏差。因此在实际应用中，需要对有限元模型进行统计修正，使得修正后有限元模型的理论计算响应值与结构实测响应值能够一致。到目前为止，已有很多研究有限元模型修正的方法。本文结合其他研究者的工作，利用静力位移测量数据，对结构的统计模型修正方法进行了研究，并探讨了测量噪声对计算结果的影响。研究的主要工作包括以下几个方面：1、对国内外有限元模型修正的方法进行了简单归纳和综述，评价了各种方法的利弊，得出在概率的范畴内对有限元模型进行统计修正不可避免。同时应用静力位移进行模型修正时要考虑不同概率分布的测量误差的影响。2、应用随机有限元方法及静力凝聚法推导了在不考虑测量噪声影响时，基于静力挠度测量值的统计模型修正方法。利用该方法可以得到结构各单元的修正系数。数值算例表明，该方法的模型修正结果良好，且经过修正后的理论计算模型的竖向位移值与结构的实测位移值相一致。3、考虑到在静力位移的测量过程中，不可避免地存在测量噪声的影响，且测量噪声的概率分布类型受到多种因素的影响，很难确定其具体的类型。本文将测量误差的概率分布分为正态分布和非正态分布两种不同情形分别研究。当测量误差为贝塔分布时，将修正系数按非正交多项式展开，并将位移的测量误差考虑为多个因素的影响。在数值算例的模拟中，考虑了变异系数的不同对计算结果的影响。数值算例表明，本文计算方法的结果与蒙特卡洛方法的结果吻合，表明本文方法的有效性。关键词：模型修正；静力位移；静力凝聚；修正系数；测量误差；概率分布AbstractAsengineeringstructurebecomesmorelarge-scaleandcomplex,thesafetyofthestructurehasalsodrawnmoreattention,soitbecomesverycommontousethefiniteelementsimulationtechnologytoconductvariousanalysisfortherealstructure.Intheprocessofmodelinganalysis,thereisalwaysadeviationbetweenthetheoreticalcalculationresultsofthefiniteelementmodelandthemeasuredresultsduetothemodelingerrors,sizeerrorscausedbytheconstructionprocessandthechangeofthestiffnessinthepracticalprocessofuse.Soitisnecessarytoconductstatisticalupdatingforthefiniteelementmodelinpracticalapplications,sothatthetheoreticalcalculationresultsofthefiniteelementmodelafterupdatingaresameasmeasuredresults.Sofar,therehavebeenmanymethodsaboutfiniteelementmodelupdating.Combiningwiththeworkofotherresearchers,usingthestaticdisplacementmeasurementdata,thispaperstudiedstatisticalmodelupdatingmethod,andtheeffectofmeasurementnoiseonthecalculationresultisdiscussed.Themainworkstudiedasfollows:1.Hasdonesomeworkonthesimplereviewandsummarytothefiniteelementmodelupdatingmethodathomeandabroad,evaluatedtheadvantagesanddisadvantagesofvariousmethods,concludingthatitisinevitabletoconductstatisticalupdatingforthefiniteelementmodelinthecategoryofprobability.Whenconductmodelupdatingusingstaticdisplacement,measurementerrorsshouldbeconsideredwhichobeydifferentprobabilitydistributionatthesametime.2.Bymeansofstochasticfiniteelementmethodandthestaticcondensationmethod,statisticalmodelupdatingmethodbasedonthestaticdeflectionmeasurementdatawasdeducedwithoutconsideringmeasurementnoise.Gettheupdatingcoefficientofeachunitbythismethod.Thenumericalexamplesshowthatthemodelupdatingresultofthemethodisgood,andtheverticaldisplacementvalueoftheoreticalcalculationmodelisconsistentwiththemeasurementdisplacementvalue.3.Consideringthatthestaticdisplacementmeasurementprocessisaffectedbymeasurementnoiseinevitably,andthetypeofprobabilitydistributionofthemeasurementnoiseisinfluencedbymanyfactors,soitisdifficulttodetermineitsspecifictype.Theprobabilitydistributionofmeasurementerrorwillbedividedintotwodifferentsituationsofnormaldistributionandnon-normaldistributionrespectivelyinthispaper.Whenmeasurementerrorisaβdistribution,expandtheupdatingcoefficientaccordingtotheorthogonalpolynomial,andconsidermultiplefactorsinfluencingthemeasurementerrorofdisplacement.Inthesimulationofanumericalexample,considertheeffectthatthevariationofcoefficienthasontheresults.Thenumericalexamplesshowthatcalculationresultofthepaperisconsistentwiththemonte-carlomethodandproposedmethodinthepaperiseffective.Keywords：Modelupdating；Staticdisplacement；Staticcondensation；Updatingcoefficient；Measurementerror；Probabilitydistribution

目录第一章绪论 11.1有限元模型修正概念 11.2国内外研究背景及现状 21.3有限元模型修正的主要方法 51.3.1矩阵型修正法 51.3.2参数型修正法 51.3.3基于静力测试的模型修正法 71.3.4基于静动力结合的模型修正法 71.3.5基于响应面法的模型修正 81.3.6统计的方法 91.4本文的主要工作 10第二章基于静力测量数据的梁式结构统计模型修正 112.1绪言 112.2静力凝聚法原理 132.3基于静力测试数据的梁式结构统计模型修正方法 142.3.1平衡方程 142.3.2结构修正系数及其控制方程 142.4数值算例 162.5本章小结 20第三章考虑正态分布测量误差的梁式结构统计模型修正 213.1绪言 213.1.1测量误差的概念 213.1.2测量误差的来源及分类 213.1.3测量误差的概率分布 243.2考虑正态分布测量误差的梁式结构统计模型修正方法 243.2.1平衡方程 243.2.2结构修正系数及其控制方程 253.3数值算例 273.4本章小结 32第四章考虑非正态分布测量误差的梁式结构统计模型修正 334.1绪言 334.2考虑非正态分布测量误差的梁式结构统计模型修正方法 354.2.1平衡方程 354.2.2结构修正系数及其控制方程 364.3数值算例 414.4本章小结 48第五章结论与展望 495.1本文研究的主要结论 495.2展望 50参考文献 51攻读硕士学位期间参与研究的课题 54致谢 55PAGE55第一章绪论1.1有限元模型修正概念随着更加大型化和复杂化的现代航空航天器的出现，以及大型的海上作业平台、大跨度桥梁、超高层建筑、高耸建筑等新型复杂结构的应用，通过有限元建模技术对实际结构进行各种分析变得十分普遍。建模的精度对分析结果有直接的影响，因此建立一个与实际结构相符的有限元模型是十分必要的。但由于材料特性假设、近似处理边界条件、物理条件的不确定性引起的建模误差、施工过程中造成的尺寸误差及实际结构在使用过程中导致的刚度的变化等因素的影响，有限元模型的理论计算结果与结构实测结果间总存在偏差。因此在实际应用中，需要对有限元模型进行统计修正，使得修正后有限元模型的理论计算响应值与结构实测响应值能够一致[1]。模型修正问题在原理上是对系统建模的探讨[2]。系统建模中经常涉及到的是基于初始数据的理论建模和基于测试技术的试验建模。当前理论建模大多采用有限元建模，可根据设计资料及实践经验来实现，方便快捷，但是它也存在不足之处，无论操作人员的建模工作多么精细，由于模型的简化方式及建模人员的经验水平等不可抗拒的客观因素的影响，理论上的有限元模型与实际结构不可能达到完全一致。随着新技术的不断涌现，测试技术及计算机处理能力的不断提高，通过动态测试系统就能够获得比较完善的模型特性信息，如频响函数、振型、模态等特性，因此，根据实验数据建立的数学模型比依照初始数据建立的理论上的有限元模型更能体现真实结构的特性，同时试验建模能有效避开理论方式建模的带来的不足。但在实际的测量过程中，所获得的实测数据往往是不完备的，通常只能获得结构的低级模态而无法反映实际结构的高阶模态信息，因此试验建模通常也无法达到要求。综上所述，试验建模和有限元建模各有优越性，同时又各有缺点，因此，如果能结合使用有限元建模与试验建模，那么这种建模方式将是较理想的。在系统建模中还有一种比较特殊的建模方式即系统辨识建模，它就是充分结合了理论的有限元建模和依据测试数据的试验建模的优势，首先依据初始信息（设计资料，工程经验等）建立具有理论意义的模型（简称FEM)，然后通过实际测量得到的模态参数来修正(FEM)，通常选取的模态参数能够真实反映结构的动态特性，那么在试验的频域内，能够使计算的理论模态参数能很好地吻合试验结果，这就是通常所说的结构物理参数辨识技术，或者称为模型修正技术。有限元模型经过修正后可以应用到如下几方面的工程中[3]：（1）结构动力特性及其安全性分析；（2）制定有关振动控制技术的操作方案；（3）桥梁结构的健康监测和损伤识别评估；（4）结构的安全性分析及其优化设计等。1.2国内外研究背景及现状关于确定性的模型修正方法，已有许多文献研究。如朱安文[4]和朱宏平[5]等对动力模型修正的技术或方法的发展与比较做了较全面的综述。郭力，李兆霞等提出了拟静力模型修正方法以解决基于动力特性的模型修正过程中复杂的计算问题，并将其应用到润扬大桥桥塔的模型修正[6]。张坤,段忠东等利用动力特性对连续刚构桥有限元模型进行了修正[7]。刘洋、段忠东等为了提高识别效率，研究了模态综合技术在模型修正中的应用[8]。侯吉林与欧进萍[9]研究了局部模态在模型修正中的应用。任伟新和陈华斌提出了基于响应面的桥梁有限元模型修正，提高了修正的效率[10]。何浩祥，闫维明等提出了子结构修正法和基于递推理论的遗传神经网络模型修正方法[11]。吴玖荣和李秋胜等利用高耸结构的振动测量数据对其进行了模型修正[12]。模型修正方法最早用于航空航天领域，因为在这个领域对结构模型的精细程度要求很高。而对于大型土木工程结构来讲，由于结构系统和运营环境的复杂，在用于模型修正的测量数据中，信息量不足以及伴有测量噪声或误差的问题比较突出。绝对地讲，无论如何，十分精确的测量数据是难以得到的。这样，就产生了一个现象，不论用哪个实测数据去修正初始模型都会有误差，只是不准确的程度不同而已。如果用多次测量的平均值，实际上忽略了每个样本的噪声影响，因为一般而言数值上的平均不能剔除噪声。我们可以期待修正的模型参数对噪声不敏感，但事情正好相反，几乎所有的模型修正方法都选择对测量的力学指标敏感的参数作为修正参数。这导致一个结论，在测量噪声或误差的影响不可忽视的情况下，在概率的范畴内初始基准模型的统计修正不可避免。另一方面，从结构建模上来讲，无论仿真模型建得多精细，它和真实结构之间还是存在模型误差的。对于土木工程结构，考虑到建模的简化、材料的离散性、边界条件的不确定以及环境的影响，这个问题更突出。也就是说仿真模型是不确定的。从概率的观念来看，初始模型就是随机的、统计的，只是随机涨落大小不一。当随机涨落不大时，可以将其看作确定性的模型。即使初始模型是不确定的，如果用来修正模型的测量数据足够多且足够精确的话，那么它可转化为确定性的，否则仍是统计性的。假如不做统计修正而采用设计和经验值来确定模型参数的统计特性，也可用来进行统计模型的识别[13]，这样初始统计参数的选择和确认就十分重要，因为其对识别结果会有较大影响[14]。关于统计模型修正问题，国内外不少学者已经从不同侧面采用不同方法对其展开了研究和探索，最主要的有贝叶斯方法和随机有限元方法。1998年，美国加州理工的J.L.Beck教授及其合作者考虑到前述确定性模型修正中存在的问题，开始将贝叶斯方法应用到线弹性土木结构的统计模型修正中来，而且指出该方法不仅适用于动力问题，也可应用到静力问题[15]。后来又逐渐发展出了用以计算后验概率的马尔科夫链Monte-Carlo法、瞬态马尔科夫链Monte-Carlo法以及混合Monte-Carlo法，将之应用到统计模型修正中来。经完善后的方法不仅能处理误差的高斯白噪声还能解决过滤白噪声，修正参数的数量也由少变多了[16~18]。进一步，E.L.Zhang等在给出了模型误差和测量噪声统计描述的基础上，将马尔科夫链Monte-Carlo法和正交多项式展开法相结合来获取修正参数的后验概率密度。这类方法在统计模型修正中的应用还在进一步发展中[19]。同时，和确定性有限元衔接最好的随机有限元法受到了众多研究者的关注。早在1974年，J.D.Collins基于结构参数统计特性的先验估计及模态测量，应用泰勒展开和最佳线性无偏估计对结构初始统计参数进行了辨识和修正，而且用它对美国土星V火箭做了模态修正[20]。1988年，M.A.M.TorkamaniandA.K.Ahmadi比较了多个和文献[20]相似的统计辨识迭代方法，给出了新的修正建议，研究发现初始先验参数对辨识结果的收敛性有重要影响[14]。2001年，M.Papadopoulos和E.E.Carcia利用随机变量理论研究了概率有限元的修正方法[21]。2008年，H.H.Khodaparast,JohnE.Mottershead,M.I.Friswell依据多组测量的模态数据，利用一阶摄动法对待修正参数的一、二阶矩进行了估计，并指出如果忽略测量和修正参数的相关性，即使不求取二阶灵敏度，也不会为参数估计带来太多误差[22]。2008年，X.G.Hua,Y.Q.Ni等采用一阶摄动法和灵敏度修正技术，结合处理模态灵敏度矩阵病态的措施，对统计模型参数做了修正[23]。2010年，Y.Govers和M.Link利用多次测量的模态数据和优化方法修正了统计模型参数的均值和协方差[24]。2012年，Jacquelinetal.将修正参数假定为正态分布，将测量的模态参数看作不确定的，基于克罗内克乘积分解技术，利用最大似然估计计算了参数的协方差矩阵，并和摄动法做了比较[25]。关于有限元模型修正的研究已经有30多年，但是以下几个方面的研究还有很大的上升空间，有待进一步的完善：（1）缺少完善的试验信息。在现有的试验水平和技术条件下，获得低阶的模态信息很容易，如何得到可靠的高阶的模态信息却不易实现。同时，由于无法测量转动自由度，且测点的布置会受到限制，测试振型的自由度一般均少于有限元模型的自由度，无法获得完备的试验模态。（2）测量结果存在误差。在模态特性及静力位移的试验过程中，由于仪器设备及试验环境的影响，使测量噪声客观存在，那么由此导致的测试结果的误差在所难免；（3）利用动力方法进行的有限元模型修正通常需要使用质量、刚度和阻尼等动力特性，而质量和阻尼难以测量；（4）与动力方法相比，静力方法更加具有普遍性、方便性和准确性，但有限的加载方式限制了静力方法的广泛应用，而且静力测试需要封闭交通，这对于运营繁忙的桥梁结构来说并不是一件容易的事。（5）参数选择和参数范围的确定。大型、复杂结构有限元模型的参数很多，包括物理参数，几何参数和力学参数等，若对所有的设计参数都作修正，不但工作量巨大，耗费大量的人力财力物力，而且也是不现实的。因此在实际的模型修正工作中，通常只选取其中的部分参数来修正，这就导致了新的问题——如何选取修正参数。同时在确定修正参数以后，如何给出待修正参数的合理范围。如果工作人员参与了试验或实际工程的过程或者对其过程有所了解，那么就能很好地估计出参数的范围。但是，如果没有实际工程的经验或是对其过程不了解，那么对参数的变化范围做出估计，则显得不是那么容易；（6）缺少快速有效的算法。在模型修正的各种算法中，迭代是一种最基本的运算，其在运算过程中的反复性，不仅导致大量的时间的耗费，提高了对计算软件和设备的要求，而且也不利于结构的实时监测和安全评估；（7）程序如何实现的问题。在结构的有限元模型修正过程中结构的灵敏度分析必不可少，有限元计算也需不断进行，大量的运算需在满足工程化特性要求的有限元软件上运行。由于有限元模型修正的主要意义在于服务于实际的工程结构，因此，在解决修正程序的同时，不得不考虑其在现实中的实现问题，即能否有适合的工程软件来完成全方位的对接，保证理论上的修正算法实现工程化的应用。1.3有限元模型修正的主要方法1.3.1矩阵型修正法最优矩阵法以质量矩阵作为最基本的参考系，先对测量得到的动力特性参数进行修正，使其满足一定的约束条件，再用修正的动力特性参数去修正刚度矩阵，使其满足动力学的基本运动方程和矩阵的基本特性。通过以直接的方式去修正装配质量和刚度矩阵，以使实测动力特性参数和解析动力特性参数相关，使模型的理论计算数据和实测数据完全吻合。参考基准法是常见的最具有代表性的矩阵型模型修正方法。其中Bennan[26]利用此方法通过测量的频率和模态，对初始的矩阵信息进行模态扩展，通过矩阵的特性及约束条件构建目标函数并成功地进行求解。该方法的好处是对原广义质量矩阵不需要复杂的运算，只需要进行简单的求逆处理，其他因素只需要进行比较容易的矩阵运算，迭代计算和反复分析特征值的过程是不需要的，这种方法适合具有多个自由度的结构体系。缺点是这类方法有时会改变矩阵的固有特性，如经常涉及到的稀疏性和半正定性以及元素的物理意义。矩阵中的每一个元素都有其特定的物理意义，体现着系统中力与位移的特定关系。如果经过修正后，矩阵中的元素性质发生了改变，如零元变成了非零元，那么在本不存在节点间相互作用的位置处就会引入外力，然而这个外力实际上并不存在。此外，矩阵最基本的特性是具有正定性（在一些特殊条件下可能是半正定的），如果经过修正的矩阵与这个明显特性发生了偏离，那么系统可能出现一些违背物理常识的现象（如负动能）。矩阵通常具有带状和稀疏性，但由此法得到的质量和刚度矩阵不仅改变了这一重要特性，而且物理意义也变得不那么明确，在修正的过程中会产生一些不符合特性的虚假模态，可能会使质量矩阵和刚度矩阵在修正后丧失正定性。这些缺点限制了这类修正方法的应用。1.3.2参数型修正法在工程结构的损伤识别和健康监测中，工程师都是基于初始的设计资料来建立理论的模型，通常涉及的参数包括弹模E、截面面积A、抗弯刚度EI等等。参数型修正法就是以上述的结构参数作为目标，通过实测数据对参数进行优化，使修正后理论模型的计算结果与结构的实测响应更加接近。参数型修正法的实质就是建立了一个在不同情况下的位移差值的函数，然后通过调整某些因素来获得该函数的最小值来达到修正有限元模型的目的，可以说有限元模型修正就是使理论模型逐渐真实化的过程。关于参数型修正方法，Berman和Flannelly[27]做出了这样的解释：（1）若通过试验途径获取矩阵，柔度矩阵相对更易得到，因为矩阵与模态相关，相对容易获得的低阶模态决定了与其有直接关联的柔度矩阵的容易性；（2）影响有限元模型的理论因素与实际结构的几何尺寸、边界条件和材料特性有很大的关系。虽然可以把实际结构看作是理论模型的真实化和放大化，二者有相似的材料属性、力学关系和约束条件，但二者的自由度却大不相同，实际结构的自由度关系比理论模型要复杂得多，这也导致了他们不可能有相同的频率域，如果我们关心的只是比较低阶的频率，那么理论模型与实际结构在此的差异就不那么明显了。Berman和Flannelly[27]因此提出可以考虑修正理论模型中的模态参数，使经过修正的低阶部分的结果能与实测数据吻合。灵敏度分析[29-30]是参数型修正法的重要步骤。其修正步骤为先求出各个待修正因子的灵敏度，按灵敏度系数的高低进行排列，然后选择其中较为敏感的一些参数和单元进行修正，忽略不敏感因素的影响。目前应用广泛的灵敏度分析方法是模态法，修正参数一般选取物理、几何参数，边界条件等。已有的参数型修正方法都是基于这一思想。参数型修正方法能够实现的关键在于通过试验获取的模态信息和测量频率，而有多少参数需要修正则要看实测结果中可利用信息的多少，如果频率域内所有的模态都已经测量了，那么修正参数的数量也应该是确定的，因为频率区间一定时，测量模态中包含了确定量的有用信息，因此要选择对整个结构最灵敏，影响最大的因素作为修正的对象。如何挑选出最适合的修正参数，Lallement和Piranda[28]给出了应用较为广泛的选择灵敏参数的建议方案，一是引入摄动法；二是最佳子空间方法。参数型修正方法的优势在于修正后的模型具有明确的物理意义，能够很好地保证结构的连通性，并且易于和实际结构进行比较，容易为工程技术人员接受。缺点在于灵敏度矩阵中的某些元素需要通过求导来获得，求导是一项复杂的运算，包含大量的信息，费时费力，而且有时候获得的数据可能是病态的。1.3.3基于静力测试的模型修正法由于通过静力方法获得的数据具有准确性高、抗干扰性强、操作方便、适宜性强等优点，当下许多研究人员在基于静力测试数据修正有限元模型方面做了大量的工作，也取得了一些成绩。根据静力方法的结构有限元模型修正技术，就是通过结构的现场实测数据与理论模型计算出的理论结果进行对比修正，使得修正过后的有限元模型理论计算数据与现场测试结果相一致。竖向位移和应变是结构静力测试数据的主要参数。结构的固有属性主要是材料的弹性模量E、截面的面积A以及抗弯刚度EI等。结构在使用过程中导致的刚度的老化，在施工过程中导致的尺寸误差以及建模过程中的简化，参数的确定，边界条件的选取都会使得现场测试的位移值、应变值与分析值有一定的偏差。基于静力方法的有限元模型修正技术实质就是建立了一个在不同情况下的位移差值的函数，然后通过调整某些因素来获得该函数的最小值来达到修正有限元模型的目的。崔飞等[31]介绍了基于静力测试数据修正有限元模型的发展状况，通过静力反应来构造待识别参数的位移差值函数，并通过不同的途径对控制方程进行优化求解。李书等[32]基于特征值的逆问题理论提出了一种利用静力测试数据修正模型的方法。BananMR和HjelmstadKo[33]通过静力方法获得的实测数据对结构的刚度进行了修正，并将修正后的模型应用到实际结构的安全评估和损伤识别等问题，结果表明该方法很有效。向天宇等[34]以结构的挠度为立足点，先对结构的多个参数进行灵敏性的判断和排列，然后利用Matlab编制程序对结构参数进行优化求解，然后利用优化解对模型结构进行安全分析和系统修正，并将此方法应用到实际的桥梁结构上，取得了很好的模型修正效果。基于静力方法的有限元模型修正技术有其特有的优势，但也还存在一些缺陷。例如，对结构进行静载试验时加载困难，加载方式单一，而且在进行测量时需要中断交通，静力修正的实测数据一般很有限等等。理论上基于静力特性的修正方法似乎更容易实现，但在实际的工程应用中却恰好相反，反而是基于动力特性的修正方法应用的更加广泛。1.3.4基于静动力结合的模型修正法无论是基于动力方法还是基于静力测试数据的模型修正法，都有其自身不可避免的缺陷，为了克服单独运用静力或动力测试数据进行有限元模型修正方面的不足，使得有限元模型修正过程和结构损伤识别的有效信息能够有所增加，有些工程师开始尝试将静动力测试数据结合起来进行模型修正研究。联合运用静动力测试数据进行模型修正可以提出推广的子矩阵方法，将其运用于悬臂梁、简支梁等梁式结构进行模型修正和损伤识别，能够增加修正后有限元模型的可靠性。对于联合应用静动力测量数据的修正技术，崔飞[31]提出的方法结合了静力特性参数与动力响应来对理论模型进行修正处理，并将修正后的模型应用于损伤识别，有效地识别出了损伤的位置和范围，并对其他可能出现损伤的位置做出了判断。田军[35]把频率作为修正的主要对象，提出了有限元静力—模态协同修正技术，在修正过程中充分利用了自由度的约束性，并在飞机简化的有限元模型修正中运用了该方法。从理论上讲，联合静动力的模型修正法不但充分利用了每种方法各自的优点，而且可以很大程度上克服其缺点，因此土木工程界的很多学者开始关注联合静动力进行有限元模型修正方面的研究，但是依然没能够实现如何增加模型修正时的可利用信息，使得修正后的模型更加贴近实际结构，大多数方法的研究依然局限在理论上的模拟和分析，只有很少的方法能够在实际的工程结构上进行测试。1.3.5基于响应面法的模型修正响应面法(ResponseSurafeeMehtod)，简称RSM，起源于上个世纪50年代，最初主要是在化学工业中使用，用于对操作过程的优化分析[36]。如果试验数据与己知参数间为隐含的属性关系，利用响应面法能够确定试验数据与变量间的函数式，并求出相应的系数，最终能够得到结构特性与参数变量间的表达式。这种方式，可以看成是把复杂的表达式用用易于实现的超曲面来表达。当无限靠近这个点的范围时，那么实际函数就可以用这个曲面来表达并进行各种复杂的计算与分析。如果一个问题中含有大量的随机因素，那么应用响应面法去计算是非常耗时的，因为要十分精确地建立一个近似表达式是非常复杂和庞大的。响应面法对问题的估计是否准确与很多因素有关，其中最重要的就是功能函数近似多项式的准确性，因此，即使一个问题只具有少量的随机变量，构造一个准确的近似多项式也不是一件容易的事。假如一个控制函数是隐式的，而且其强大的非线性关系不能忽略，那么对这种函数的逼近只能是近似的，最终得到的问题的解答也是近似的。基于响应面法的模型修正即利用响应面效应来得到结构的实测响应(如挠度、应变等)与各种输入参数如材料属性、边界条件、荷载工况等的相关表达式，然后利用这种关系进行相关的修正研究。在实际的研究工作中，由于工程结构都处于特定的环境中，受到多种因素的影响，对其进行模型修正及分析计算时，往往遇到的情况是不能轻易建立功能函数的明确表达式而只能求出功能函数在具体自变量下的函数值。例如在进行结构可靠指标特性分析时，对于高层、超高层建筑结构，如果不考虑承载力极限状态，仅考虑高层建筑正常使用极限状态，其顶层最大位移与结构截面尺寸、抗弯刚度等几何属性及配筋情况的影响关系如果只用一个简单明了的关系式就说明那是很不切合实际的。倘若出现这样的状况，只能考虑用蒙特卡罗法来解决，但利用蒙特卡罗法需要进行数以万次的反复迭代，如此巨大的工作量是不可忽视的，不但耗时而且很不经济。求解此类问题还有另外一种方法——随机有限元法，但随机有限元法需要加以改造的是确定性的有限元程序，对于结构中各种因素引起随机性，如果只用一个通用的程序来表达所有相关参数的随机性，目前还是非常困难的。响应面法在这里可以发挥巨大的优势，其基本原理是函数之间的替换，即通过程序的模拟数据来逼近一个响应面以替换实体结构的极限状态曲面，而该拟合的响应面具有明确的表达式，从而对于含有隐式功能函数问题的分析也可以使用各种针对显式功能函数的分析方法。1.3.6统计的方法从概率的观念来看，初始模型大多是随机的、统计的，只是随机涨落大小不一。即使将初始模型看作是确定性的模型，但用来修正模型的静动力测量数据带有很大的不确定性，用随机的数据去修正确定性的模型，得到的结果仍然是统计的，因此应用统计分析的方法进行模型修正引起了越来越多人的关注，而且在实际的工程应用中它也将成为一种有广阔前景的有限元模型修正方法。有限元模拟技术在理论上能对静力和动力方面的各种分析给出计算数据，也会带来一些不可避免的误差，这些误差源于建模时的简化及各种参数的选择。有限元模型修正的实质就是利用试验测试值修正有限元模型，使有限元模型的分析结果与真实结构的响应相一致。但值得关注的是实测数据往往是不完善的，而且由于噪声的干扰会产生测量误差。统计分析的方法以统计学的观点为参考基，考虑待修正参数和测量数据的随机性和统计特性，利用相关的摄动法，泰勒展开等随机方法来解决修正问题，或者通过谱密度函数获取相关的统计参数，进而得到修正后模态参数的概率分布特征。常用的统计分析技术主要以贝叶斯方法为主，有时结合灵敏度分析法等。HuaHnogxing[37]，J.R.wu[38]和Ka-vengYune[39]研究了贝叶斯方法修正质量矩阵和刚度矩阵的元素或结构的设计参数对有限元模型进行了统计修正，验证了此方法的有效性和实用性，说明了基于统计分析的有限元模型修正方法还是非常有理论和实践价值的。1.4本文的主要工作本文基于静力测量数据，对随机结构的有限元模型修正方法进行了研究和探讨，解决存在测量噪声影响的统计模型修正问题，考虑了测量误差为正态分布的情形，同时对非正态分布的测量误差进行了探索，完成的主要工作包括：比较全面地总结了近年来研究较多，比较成熟的有限元模型修正方法，论述了其主要特点，实现过程和主要存在的问题。提出基于静力挠度测量值的梁式结构统计模型修正方法，并通过数值算例对该方法进行验证。研究基于静力挠度测量值的梁式结构统计模型修正方法，同时考虑测量误差的影响，将测量误差考虑为正态分布的情形，并通过典型梁结构的数值算例验证这一方法的有效性。结果表明，修正后的有限元结构的响应与实际结构的测量响应相一致，有限元模型修正的效果很好。考虑到实际结构的测量位移的误差多为非正态分布的情形，本文从实际出发，将非正态分布的测量误差引入到统计模型修正的方法中，采用非正交多项式展开修正系数，并结合蒙特卡洛法求解修正系数，通过数值算例对该方法进行验证，并将修正后的有限元结构的响应与实际结构的测量响应相比较，结果表明，二者十分接近，达到了有限元模型修正的目的。

第二章基于静力测量数据的梁式结构统计模型修正2.1绪言目前大型复杂结构的计算分析大多采用有限元方法或解析法，由于解析法需要多次的迭代，耗费大量的人力物力，因此有限元分析法使用的更加广泛。要建立什么样的有限元模型取决于计算分析的目的,根据不同的建模方式及简化方法可确定各种各样的理论计算模型,而且各种模型之间的差异可能千差万别。如果为设计而建模,只需建立满足基本特性但又比较易于实现的理论模型,选取参数的方式是固定的,要保证计算结果是安全可靠的，即偏于保守的；以施工过程控制为研究对象,为了能够反映施工的实际情况，在选择用于计算的参数时一般要采用尽可能真实的参数，以期能达到与真实结构比较吻合的计算效应；若以安全诊断和损伤识别为研究对象,那么要构造的有限元模型不仅要非常精准,而且应该是正确的模型，经过实际验证能达到理想的效果,否则将无法实现安全诊断和损伤识别的目标。通常,最初的理论模型带有很大的不确定因素，是依据初始的设计资料或设计人员的实际工程经验构造的,在建模方式及参数的选择上，在边界条件的处理上常常会引入许多理想化的因素,那么,理论上的分析结果与现场的实测数据就不可能完全一致。为了使模拟结果与现实结构的实测响应相一致，用比较真实的有限元模型去进行后续的分析研究,有必要利用现场实测数据对有限元模型进行修正。有限元模型修正的实质是力学反问题中的参数识别问题，即利用实测数据来确定已知模型的某些参数。本文就是利用静力荷载作用下结构的位移来修正有限元模型中的抗弯刚度。有限元模型修正方法同时也是一种优化迭代的方法，通过选取能够对理论计算结果和结构实测响应之间的偏差进行量化的目标函数，然后选取合适参数使目标函数取得最小值。有限元模型修正能否成功的关键因素在于有限元模型的建模是否精确、静力测试数据的优劣、优化问题的确定以及优化算法的选择。有限元模型修正的目标不仅是要使理论计算结果和试验数据之间能够很好地吻合，而且要确保所选参数有明确的物理意义，并且在优化计算求解时能够收敛。目标函数，参数选择，优化算法是进行有限元模型修正的重要步骤，要想得到最优的修正效果，就需要在这三个方面进行逐步的改善。实际工程的试验技术有动力方法和静力方法两种方式。针对动力方法,不但能够获得十分精准的频率，而且频率的特性能表达结构的整体性能,但相应的振型的精准程度就不那么理想了；对于静力试验方法,结构的竖向挠度能够获得精准程度较高的测量数据，并且位移的响应能够反映结构整体上的效应,而应变的测试结果则只能反映结构的局部效应。在对结构进行安全诊断的最初时期,通过模拟分析结构的最初基准模型,大量的工作目标都是获得结构静动力的响应,反映结构的总体性能，只是在损伤诊断等细部研究时才会将目光集中在结构的局部响应。因而,在对理论模型进行修正的过程中,选择那些能够反映结构整体特性和性能的试验数据是很有必要的,如静动测试中的频率、位移等。利用静力方法或动力方法进行有限元模型修正都获得了很大的成就，但是各自也都有必可避免的缺点，为了在修正过程中获得更多更有效的数据资源,避免单一方法带来的局限,将静力和动力方法结合起来应用到模型修正中将会获得更有效的信息,这样获得的模型与实际结构更加相近，但对这种结合方法的研究还只是在探索中，没有特别有效的方法能够应用到实际的工程中。在现实工程中，有很多具有不确定性的因素，如材料属性、截面面积和约束关系等，这些因素又必然会导致结构各种静动态反应的不确定性，同时，由于静力位移测量过程中会受到测量噪声的干扰，得到的位移通常是具有统计特性是数据。所以，利用具有统计特性的模型去做各种模拟分析，弥补了单一的确定性分析方法的缺陷，对实际工程的健康诊断和安全评估具有实践意义。本文将重点研究应用统计方法对结构进行模型修正问题。静力位移包括平动位移和转动位移，而以往的测试手段一般只能得到量测位置的平动位移，即通常所说的挠度，无法量测相应的转角。要想得到相应的转角信息，可以通过使用新型高端的测量设备来实现，文献[40]采用激光多普勒效应在具有众多数量测点的构筑物上得到了平动位移，在此基础上通过数值分析方法获得平面外转角，而常用的数值分析方法为最小二乘法。对静力平衡方程进行变换同样可以得到需要的转动自由度，如静力凝聚法[41]，广义逆法[42]。赵听，李杰[43]提出了一种可以准确地获得梁式构件的转角反应的方法—基于反应曲线拟合的参数识别力法。在结构动力学中，对位移方程求导可以得到转角方程。该方法正是利用这一原理拟合了梁式结构在各个特定时间段的平动位移曲线，然后通过函数对自变量的导数得到相应的转动位移曲线。在应用静态挠度进行统计模型修正过程中，结构系统的垂直挠度和转角都需要包含在内，但是因为转动反应在测量上有很大的难度而常常将其忽略，只关注实体构筑物各个单元节点处的垂直位移。本文使用静力凝聚方法对模型自由度进行压缩，使经过压缩处理后的理论计算模型的自由度与现场测试数量吻合，进而能够对结构做统计模型修正。本章以梁式结构为参考基，结合竖向位移测试数据进行统计模型修正，假定理论模型是确定性的（即不考虑理论模型自身的尺寸偏差），静力挠度测量值是统计的，但不考虑测量噪声的影响，提出一种基于静力挠度测量值的统计模型修正方法。推导了修正系数的控制方程和求解方程，并用数值算例对该方法的有效性及实用性进行探讨。2.2静力凝聚法原理在结构体系上有作用效应的时候，静力方程表达式为：(2-1)假定刚度矩阵中的平动分量和转动因子已经相互分离，写成分块形式：(2-2)此处，代表平动分量，代表转动分量，下标代表相应元素的子矩阵。假如产生作用效应的荷载中忽略了转动因素的影响，即，把这个式子带入到上面的方程，那么可以得到转动自由度的表达式：(2-3)将此式子回代到（2-2）式中的首个子矩阵表达式，可以得到(2-4)上式可以写成(2-5)其中，(2-6)称为平移弹性刚度矩阵。通过式（2-5）能够求出竖向挠度值。2.3基于静力测试数据的梁式结构统计模型修正方法在基于竖向挠度测试数据的统计模型修正过程中，假定结构刚度的改变是致使结构位移改变的唯一因素。由于考虑了对转动分量的缩聚，在修正过程中仅仅需要得到竖向位移数据，在不考虑测量误差的情况下进行统计模型修正。2.3.1平衡方程当外荷载作用时，初始状况下静力方程表达式为 (2-7a)这里，是体系的维刚度矩阵，为维的外荷载影响下的位移效应。应用静力凝聚法，那么上式变为：(2-7b)其中，，为经过缩阶处理后的理论计算模型的初始刚度矩阵，为理论计算模型的垂直挠度，为作用效应，、、和是的相关的子矩阵。假设式(2-7)代表理论计算模型的力学关系，那么实测结构的力学关系可表示为：(2-8a)此处，是实测结构的阶刚度矩阵，是实测系统在外力影响下的竖向挠度值。同样方法，消去转动自由度后可得： (2-8b)此处，，是经过自由度压缩后的实测系统的刚度；是实测结构垂直挠度，是外力作用，、、和是实测刚度矩阵的相关的子矩阵。2.3.2结构修正系数及其控制方程在结构模型修正分析中，理论上的修正变量具有很大的随机性，因为到底选哪一个参数去作为修正的对象是不确定的，受到很多因素的影响。在选择时必须要考虑的影响关系为各变量之间的关联性,在确定待修正对象时必须将这种相关性考虑进去。常见的相关关系主要有以下两个方面：(1)相互耦合关联的,比如抗弯刚度中的弹性模量与截面惯性矩，只需要选择其一作为修正参数即可,因为将它们分开计算得到的模拟数据是无穷的,(2)单元的几何尺寸与截面惯性矩有包含的关系，我们可以选择其中的一个作为主要的修正对象，而把另外一个看成是从属对象，通过相应的途径使工作强度达到最小化；在特殊情况下（如截面损伤得厉害）则必须把这两个因素当成单独的修正对象。在本文的研究里，假设结构的质量是恒定的，结构刚度的改变是导致挠度变化的唯一原因，其改变程度用表达。由于结构刚度改变而导致的竖向挠度的变化可用表达。那么，能够获得下面的关系式：(2-9)(2-10)根据有限单元法原则，结构参数总体的改变程度是其在各个局部改变量之和。那么系统刚度总的改变量可写成如下方式：(2-11)此处，为系统中单元数的总量，是系统中第个部分的修正系数，修正系数值表示第个部分刚度的变化程度，是系统中第个部分刚度的空间矩阵。把式子(2-11)引入到式子(2-9)则有(2-12)假如理论计算结构与实测结构施加同一外力作用，通过静力关系式(2-7)和(2-8)则有：(2-13)其中：(2-14) (2-15)将式(2-12)代入上式(2-15)得：(2-16)对求偏导：(2-17)将利用一阶泰勒展开可得： (2-18)代入式子(2-13):(2-19) 其中：，令，，上式可以写为(2-20)或写为：(2-21)其中，利用式(2-21)可以求得修正系数及相应的统计特性。2.4数值算例图2.1简支梁结构模型图如图2.1所示矩形截面简支梁，给定材料各参数为：梁长，弹性模量为，截面面积，转动惯性矩。把简支梁离散为10个等间距平面梁单元，每个单元节点有竖向平动和转角两个自由度，共有22个自由度。假设简支梁刚度的随机性是由弹性模量的随机性引起的，数值算例中以梁单元弹性模量的改变代表单元刚度的变化。静力测量时，在节点6施加竖向集中试验荷载，由于在修正过程中用静力凝聚法消去了转动自由度，故只量测各节点的竖向挠度值。1.假定单元4的弹性模量降低10%，理论计算模型修正后的位移响应和实际结构的位移响应如表2-1和表2-2，修正系数的计算结果如表2-3所示，并画出直方图如图2.2所示：表2-1理论计算模型修正后的位移值节点号123456挠度（*10e-7m）0.0000-0.1756-0.3372-0.4709-0.5602-0.5908节点号7891011挠度（*10e-7m）-0.5564-0.4661-0.3340-0.17400.0000表2-2实测结构的位移值节点号123456挠度（*10e-7m）0.0000-0.1756-0.3372-0.4709-0.5602-0.5908节点号7891011挠度（*10e-7m）-0.5564-0.4661-0.3340-0.17400.0000表2-3各个单元的修正系数单元号12345修正量（%）0.88-0.450.3110.120.24单元号678910修正量（%）-0.240.28-0.350.49-0.99图2.2简支梁各单元修正系数直方图2.假定单元3、8的弹性模量都降低15%，理论计算模型修正后的位移响应和实际结构的位移响应如表2-4和表2-5，修正系数的计算结果如表2-6所示，并画出直方图如图2.3所示：表2-4理论计算模型修正后的位移值节点号123456挠度（*10e-7m）0.0000-0.1782-0.3425-0.4760-0.5643-0.5969节点号7891011挠度（*10e-7m）-0.5643-0.4760-0.3425-0.17820.0000表2-5实测结构的位移值节点号123456挠度（*10e-7m）0.0000-0.1782-0.3425-0.4760-0.5643-0.5969节点号7891011挠度（*10e-7m）-0.5643-0.4760-0.3425-0.17820.0000表2-6各个单元的修正系数单元号12345修正量（%）0.26-0.1215.910.000.00单元号678910修正量（%）0.000.0015.91-0.120.26图2.3简支梁各单元修正系数直方图3.假定单元2、5、7的弹性模量都降低15%，理论计算模型修正后的位移响应和实际结构的位移响应如表2-7和表2-8，修正系数的计算结果如表2-9所示，并画出直方图如图2.4所示：表2-7理论计算模型修正后的位移值节点号123456挠度（*10e-7m）0.0000-0.1843-0.3530-0.4917-0.5602-0.6244节点号7891011挠度（*10e-7m）-0.5893-0.4939-0.3525-0.18320.0000表2-8实测结构的位移值节点号123456挠度（*10e-7m）0.0000-0.1843-0.3530-0.4917-0.5602-0.6244节点号7891011挠度（*10e-7m）-0.5893-0.4939-0.3525-0.18320.0000表2-9各个单元的修正系数单元号12345修正量（%）-0.2215.90-0.090.0715.82单元号678910修正量（%）0.2815.900.04-0.060.11图2.4简支梁各单元修正系数直方图2.5本章小结本章主要探讨了确定性模型的基于静力测量数据的模型修正方法。该方法建立了修正系数的平衡方程和控制方程，并通过静力方法进行求解。由于在建立方程时采用了压缩自由度的处理方法，故只要得到各测点处的垂直位移就可以求解各个单元的修正系数，修正系数的大小代表各单元刚度的改变量。数值算例表明，该方法能有效识别各单元刚度的改变，与实际情况能很好的吻合；经过修正后的有限元模型与实际结构在相同的静力荷载作用下有相同的挠度值，实现了模型修正的目标。第三章考虑正态分布测量误差的梁式结构统计模型修正3.1绪言静力数据的测量过程中，很大程度上会受到测量噪声的影响，在众多基于静力测量数据的有限元模型修正方法中，大多数方法能够实现的前提都是基准模型是准确无误的，且忽略测量过程中的噪音的干扰，但是这样的理想状态与现实状况并不相符。当忽略测量噪声影响时，大多数有限元模型修正方法都得到很好的修正效果，但是考虑测量噪声影响时，许多修正方法的修正效果就不会那么理想了。因此在模型修正过程中考虑测量误差是十分必要的。本章的主要工作是基于静力挠度测量值，提出一种考虑测量误差的统计模型修正方法，同时将测量误差的分布假定为正态分布。3.1.1测量误差的概念在测试工作中，实际测试数据会受到测试仪器、测试手段及气候条件等因素的影响而与其真实数值产生或多或少的偏差，由此产生的偏差俗称测量误差。在实际的工作中，通过多次测量求平均值可以使测量值与被测真值无限的接近，但让它们完全一致却是不太现实的，因此只有通过有效的手段来加以控制，使误差在我们可以接受的范围之内。3.1.2测量误差的来源及分类在实际测量工作中，无论采用多么完备的测量方法和先进的测量仪器，无论在测量过程中多么细心和注意，测量误差都不可能完全避免。我们的目标并不是要使得测量误差趋近于零，或者达到无穷小，因为这往往是无法实现的，而且为了进一步减少误差，要花费大量的时间和资源，这在某些情况下是不经济的，有时也是没必要的。我们的宗旨是在承认有误差的前提下，设法将误差控制在我们理想的范围以内，并且通过数学处理对误差的大小进行评定和修正。随着科学技木的迅猛发展，人们积累了丰富的生产劳动经验，在加深对客现事物的认识的同时，也不断揭示其内在的客观联系，因此测量误差也在不断地减小。精密测量技术的发展，为获得越来越可靠的测量结果开辟了广阔的前景。但测量精密度的提高(误差的减小)不可能是无限制的。理论上讲，提高测量精密度(减小误差)的极限是至未知参量丧失本身的定义时为止的。例如测量电量时，误差不可能小于一个电子所带的电量。测量量块的长度时，测量误差不可能小于量块分子的尺寸，因为此时由于失去了表面上(外观上)的连续性，从而消失了边界面，于是也就丧失了量块的长度的明确概念。其他一些参量的测量精密度的理论极限也可以认为是分子波动现象，而这种现象是无法消除的。善于深刻认识误差的多样性和其产生的根源，消除或估计其对测量结果的影响，是从事测量，特别是精密测量的工作人员应该锻炼的基本功之一。在测量误差理论中，根据测量过程中所产生的误差的性质，将测量误差分为三类：偶然误差、系统误差和疏失误差。这种分类是从便于计算误差对测量结果的影响和研究其消除方法出发的。偶然误差。凡每一个单独的误差的出现没有一定的规律性，其数值大小和性质不固定者，称为偶然误差。测量结果中含有偶然误差这一事实是由下述现象得出的：以同样的仔细程度，在我们认为相同的条件下，对同一个未知参量重复地进行多次测量，每次所得数值总不是完全一致的，各数值的最后几位数彼此总是稍有些不一致。这种不一致是由于许许多多互不相关的独立因素引起的微量变化的综合作用的结果。例如在测量过程中，热状况的微量变化，空气的扰动，测量人员感觉器官的生理性变化，电磁场的微变，等等。偶然误差就个体而言是没有规律的，是不可预言、不可控制的，但其总体(大量个体的总和)服从于统计规律。偶然误差不能用实验的方法消除，但因其总体服从于统计规律，因此可以从理论上计算它对测量结果的影响。到目前为止，误差理论(立足于概率论和数理统计方法的基础上)在很大程度上就是研究偶然误差的各种问题的。偶然误差决定了测量的精密度。因为测量结果在一定程度上未被偶然误差所歪曲，所以测量结果在相等的程度上来说是精密的。测量结果的精密度应以其未受偶然误差歪曲的程度为准。如果我们越有根据认为偶然误差小，则测量结果也就越是精密。测量结果的精密度也就是所得未知参量的数值的可靠程度，而偶然误差则说明所得未知参量的数值的最后几位不可靠的程度。系统误差。凡误差数值固定或数值按一定规律变化者，称为系统误差。例如，由于仪表的刻度盘刻画得不准确所引起的误差就具有系统误差的性质。对电压表而言，当加上100伏电压时，仪表指在某一固定位置。如画表盘的人员没有准确地在该位置画一线道，而是画得稍稍偏左了一点。这样，当使用仪表时，仪表指示在100伏的线道上就不意味着此时电压为100伏，而是稍小于此值(设刻度的零点在表盘的左方)。这个误差的数值是固定的，因为刻画的线道偏离正确位置的距离是固定的、可以求得的。系统误差决定了测量的正确度。因为测量结果在一定程度上来说是正确的，测量结果的正确度应以其未受系统误差歪曲的程度为准。系统误差越小，测量结果越是正确。系统误差说明测量结果偏离未知参量的真实值的程度。系统误差的发现和消除，对一切测量工作均具有头等重要的意义。疏失误差。由于读数错误、记录错误、不正确的操作仪器、测量过程中的失误、计算错误等，会使测量结果明显地被歪曲。由于这种歪曲而引起的误差称为疏失误差。疏失误差就数值而言，一般远超过同一客观条件下的系统误差或偶然误差。凡确实含有疏失误差的实验数据应舍去不用，因为它是不值得相信的。疏失误差决定了测量的可取性。测量误差的影响因素有很多，在实际的统计分析和对测量结果的修正过程中主要考虑以下几个方面的影响：（1）测试仪器偏差。测试仪器偏差主要体现在测试仪器自身的设计误差和制作过程中产生的偏差两个方面。设计偏差即测试仪器在理论设计时，由于对工作原理采用了理想化的假设和简化而带来的测试偏差，通常在测量器具的设计阶段都会采取相应的措施修正以减少这种原理误差。制作偏差则来源于测试仪器的制造和安装过程。在这个过程中客观存在与理论真实值之间的差异，这样的偏差即是所说的制造误差。（2）环境误差。在测量构件时，外界环境条件是否稳定适宜对测量结果的准确性有很大的影响。在不同的测试条件下，测量数据都存在变化，测试时不可忽视的影响因子包括不同的风力、温湿度、日照、气压、大气折光、振动等，由于环境因素的影响导致的测量数据的变化即为环境误差。在气候条件引起的误差中，温度起到决定性的作用。规定的基准测试温度是20摄氏度，当测量器具与被测工件存在温差时，或者是测量温度与标准温度偏离或温度有变化时，都会产生测量误差。温度的影响普遍存在，因此在实际测量时不能忽视温度的影响，应尽可能避免光线直射以及人与仪器之间的热传导带来的影响。（3）操作人员的影响。在现有的测量条件下，一般的测试工作都是在人的操作下来完成。操作人员的工作态度、实践经验、对试验原理的理解程度、操作水平和操作方法等都将会导致测试结果的偏差。人为的因素不可消除，只有通过提高操作人员的工作水平来有效减少因人而产生的测量误差。3.1.3测量误差的概率分布在确定测量结果和测量误差的评定指标及算法时应考虑以下的基本要求:（以下诸要求常互有矛盾，不可能同时均满足,需酌情均衡或折中）(1)正确反映本质特性(即中心位置、离散度、相关性等)；(2)保证估算精确度(如偏度、标准差、误差界限等)；(3)良好的估计特性(即无偏性、一致性或相容性、有效性等)；(4)含有充分信息量(反映出数据所含有效信息尽量多)；(5)具有稳健性(对偏离原假定条件不敏感,抗污染或干扰等)；(6)计算简捷(即计算方法简便，计算量少,计算速度快等)。正态分布是最常见的一种连续型分布。最早是高斯发现了正态分布的规律，对其进行了系统的分析和详细总结，并应用到测量误差和不确定度的分析计算中，拉普拉斯也曾提出类似的概率分布,迄今一直沿用高斯误差理论作为测量平差和评定精度的基础。一个随机变量如果是大量微弱原因的总效果,就近似地服从正态分布，在重复性和复现性条件下,对单一量值进行无穷多次测量的结果(包括测量误差)分布服从正态分布。具有正态分布特点的随机变量很多,如工厂生产的一批螺丝直径的分布,一块田中某种农作物长度的分布,射手射击时枪弹在靶上命中点距靶心距离的分布等等,都近似地服从正态分布。由于在实际的测量过程中，大部分的测量结果服从正态分布或近似正态分布，因此多用正态分布的概率特性对测量结果进行统计分析。本章中假定测量误差服从均值为零，方差为1的正态分布，提出一种考虑正态分布测量误差的统计模型修正方法。3.2考虑正态分布测量误差的梁式结构统计模型修正方法3.2.1平衡方程当外荷载作用时，初始状况下静力方程表达式为 (3-1)这里，是体系的阶刚度矩阵，为维的外荷载影响下的挠度效应。应用静力凝聚法，那么上式变为：(3-2)其中，为经过缩阶的理论计算模型的初始刚度，为理论计算模型的垂直挠度，为作用效应。假如式(3-2)代表理论计算模型的力学关系，那么实测结构的力学关系可表示为如下形式：(3-3)此处，是实测结构的阶刚度矩阵，是实测系统在外力影响下的竖向挠度值。同样方法，消去转动自由度后可得： (3-4)此处，是经过自由度压缩后的实测系统的刚度；是实测结构垂直挠度，是外力作用。3.2.2结构修正系数及其控制方程在本文的研究里，假设结构的质量为常数不变，结构刚度的改变是导致位移变化的唯一原因，刚度变化的大小用表示，因此，可以得到如下表达式：(3-5)依据有限元理论，结构刚度的变化可表示为结构各个有限元单元刚度的改变。结构整体刚度变化和结构各个单元刚度变化之间的关系可表示为：(3-6)其中，为结构单元的总数，为结构第个单元的修正系数，修正系数值代表第个单元刚度的修正量，为结构第个单元刚度的空间矩阵。将(3-6)代入(3-5)可得(3-7)将(3-7)代入(3-4)可得(3-8)当考虑测量噪声时，结构实测的挠度和修正系数可表示为其均值与均方差的线性关系：(3-9)此处，为测量得到的结构挠度值的均值部分，为与挠度均值相对应的均方差，为均值为零，方差为1，服从正态分布的偏离系数。对于修正系数同样有：(3-10)其中，为修正系数的均值部分，为与修正系数均值相对应的均方差，为均值为零，方差为1，服从正态分布的偏离系数。把式(3-9)~(3-10)代入式(3-8)，可得：(3-11)或写为：(3-12)其中，将式(3-12)展开，有:(3-13)由随机变量对应的系数相等可整理为：(3-14)(3-15)修正系数的均值和方差可表示为： (3-16)(3-17)修正系数的大小表示对每个单元刚度的改变量，将修正系数代入到计算结构的控制方程，可求解经过修正的结构的竖向自由度的统计特性，并与实测的结构的位移响应相比较，验证修正的效果。理论计算模型经过修正后的刚度可写成如下形式：(3-18)将理论计算模型经过修正后的挠度也表示为其均值与均方差的线性关系：(3-19)其中，为理论计算模型经过修正后得到的结构挠度值的均值部分，为与挠度均值相对应的均方差，为均值为零，方差为1，服从正态分布的偏离系数。由平衡方程知：(3-20)把式(3-18)代入式(3-20)，可得：(3-21)把式(3-19)和(3-10)代入式(3-21)，可得：(3-22)由随机变量对应的系数相等可整理为：(3-23)(3-24)计算模型经过修正后的竖向位移的均值和方差可表示为：(3-25)(3-26)通过式(3-16)和(3-17)可以求得修正系数的统计特性，通过式(3-25)和(3-26)可以求得理论计算模型经过修正后竖向位移的统计特性。3.3数值算例图3.1简支梁结构模型图如图3.1所示矩形截面简支梁，给定材料各参数为：梁长，弹性模量为，截面面积，转动惯性矩。把简支梁离散为10个等间距平面梁单元，每个单元节点有竖向平动和转角两个自由度，共有22个自由度。假设简支梁刚度的随机性是由弹性模量的随机性引起的，数值算例中以梁单元弹性模量的改变代表单元刚度的变化。静力测量时，在节点6施加竖向集中试验荷载，由于在修正过程中用静力凝聚法消去了转动自由度，故只量测各节点的竖向挠度值。1.假定单元4的弹性模量降低10%，理论计算模型修正后的位移响应和实际结构的位移响应如表3-1和表3-2，修正系数的计算结果如表3-3所示，并画出均值直方图如图3.2所示：表3-1理论计算模型修正后位移值的统计特性节点号123456挠度均值（*10e-6m）0.0000-0.1756-0.3372-0.4709-0.5602-0.5908挠度方差（*10e-7m）0.0000-0.2634-0.5058-0.7064-0.8403-0.8863节点号7891011挠度均值（*10e-6m）-0.5564-0.4661-0.3340-0.17400.0000挠度方差（*10e-7m）-0.8346-0.6992-0.5010-0.26100.0000表3-2实测结构位移值的统计特性节点号123456挠度均值（*10e-6m）0.0000-0.1756-0.3372-0.4709-0.5602-0.5908挠度方差（*10e-7m）0.0000-0.2634-0.5058-0.7064-0.8403-0.8863节点号7891011挠度均值（*10e-6m）-0.5564-0.4661-0.3340-0.17400.0000挠度方差（*10e-7m）-0.8346-0.6992-0.5010-0.26100.0000表3-3各个单元修正系数的统计特性单元号12345修正量均值（%）0.88-0.450.3110.120.24修正量均方差0.14950.15020.14980.13460.1499单元号678910修正量均值（%）-0.240.28-0.350.49-0.99修正